Пусть
\[
\frac{d x}{d t}=A(t) x
\]
– линейная дифференциальная система, где $A(t) \in C(a, \infty)$.

Теорема Ляпунова (охарактеристических показателях решений линейной системы). Если матрица линейной системы (3.3.1) ограничена,
\[
\|A(t)\| \leqslant c<\infty,
\]

то каждое действительное или комплексное нетривиальное ее решение $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}(t)\left(a<t_{0} \leqslant t<\infty\right)$ имеет конечный характеристический показатель.
Доказательство. Пусть
\[
\boldsymbol{x}=\operatorname{colon}\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]
eq 0
\]

и $t_{0}, t \in(a, \infty)$. Из уравнения (3.3.1) получаем
\[
\boldsymbol{x}(t)=\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)+\int_{t_{0}}^{t} A\left(t_{1}\right) \boldsymbol{x}\left(t_{1}\right) d t_{1} .
\]

Отсюда
\[
\|\boldsymbol{x}(t)\| \leqslant\left\|\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)\right\|+\int_{t_{0}}^{t}\left\|A\left(t_{1}\right)\right\|\left\|\boldsymbol{x}\left(t_{1}\right)\right\|\left|d t_{1}\right| .
\]

Применяя обобщение леммы Гронуолла – Беллмана (гл. II, $\S 11)$, при $t \geqslant t_{0}$ будем иметь
\[
\begin{aligned}
\left\|\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)\right\| \exp \left[-\int_{t_{0}}^{t}\left\|A\left(t_{1}\right)\right\| d t_{1}\right] \leqslant & \\
& \leqslant\|\boldsymbol{x}(t)\| \leqslant\left\|\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)\right\| \exp \left[\int_{t_{0}}^{t}\left\|A\left(t_{1}\right)\right\| d t_{1}\right] .
\end{aligned}
\]

Следовательно, учитывая, что
\[
\chi\left[\frac{\|x(t)\|}{\left\|x\left(t_{0}\right)\right\|}\right]=\chi[x(t)],
\]

получим
\[
\chi\left\{\exp \left[-\int_{t_{0}}^{t}\left\|A\left(t_{1}\right)\right\| d t_{1}\right]\right\} \leqslant \chi[\boldsymbol{x}(t)] \leqslant \chi\left\{\exp \int_{t_{0}}^{t}\left\|A\left(t_{1}\right)\right\| d t_{1}\right\},
\]
T. e.
\[
-\underline{A} \leqslant \chi[\boldsymbol{x}(t)] \leqslant \bar{A},
\]

где
\[
\underline{A}=\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \int_{i_{0}}^{t}\left\|A\left(t_{1}\right)\right\| d t_{1}
\]

и
\[
\vec{A}=\varlimsup_{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \int_{0}^{t}\left\|A\left(t_{1}\right)\right\| d t_{1} .
\]

Таким образом, все характеристические числа нетривиальных решений $\boldsymbol{x}(t)$ линейной системы (3.3.1) содержатся в конечном отрезке $[-A, \bar{A}] \subset[-c, c]$.
Теорема Ляпунова доказана.
3амечание. Если матрица $A(t)$ линейной системы (3.3.1) действительна и некоторое комплексное решение ее
\[
\boldsymbol{z}=\boldsymbol{\xi}_{1}(t)+i \xi_{2}(t)
\]
$\left(\xi_{k}(t)\right.$ действительны; $k=1,2$ ) имеет характеристический показатель
\[
\chi[z]=\alpha,
\]

то существует действительное решение $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}(t)$ этой системы, имеющее тот же характеристический показатель: $\chi[\boldsymbol{x}]=\alpha$.
В самом деле, так как
\[
\frac{d}{d t}\left[\xi_{1}(t)+i \xi_{2}(t)\right]=A(t)\left[\xi_{1}(t)+i \xi_{2}(t)\right],
\]
ro
\[
\frac{d \xi_{k}(t)}{d t}=A(t) \xi_{k}(t) \quad(k=1,2),
\]
т. е. действительная и мнимая части комплексного решения $\boldsymbol{z}$ являются решениями системы (3.3.1). Положим $\boldsymbol{x}=\xi_{s}(t)$, где
\[
\chi\left[\xi_{s}(t)\right]=\max _{\bar{k}} \chi\left[\xi_{k}(t)\right] .
\]

Так как
\[
\chi\left[\xi_{k}(t)\right] \leqslant \chi[z] \leqslant \max _{k} \chi\left[\xi_{k}(t)\right] \quad(k=1,2),
\]

то, очевидно, имеем
\[
\chi\left[\xi_{s}(t)\right]=\chi[z]=\alpha,
\]

что и требовалось доказать.
Без нарушения общности рассуждения можно предполагать, что
\[
\boldsymbol{\xi}_{s}(t)=\operatorname{Re} \boldsymbol{z},
\]

так как в случае необходимости можно использовать решение
\[
\hat{z}=-i z(t)=\xi_{2}(t)-i \xi_{1}(t) .
\]

Изучим более точно структуру множества характеристических показателей решений линейной дифференциальной системы с ограниченной матрицей $A(t)$.

Лемма. Вектор-функции $\boldsymbol{x}^{(k)}(t) \quad(k=1, \ldots, m)$, определенные на $\left[t_{0}, \infty\right)$ и обладающие различными характеристическими показателями, линейно независимы.
Доказательство. Пусть
\[
\chi\left[\boldsymbol{x}^{(k)}(t)\right]=\alpha_{k} \quad(k=1, \ldots, m)
\]

и для определенности
\[
\alpha_{1}<\alpha_{2}<\ldots<\alpha_{m} .
\]

Предположим, что
\[
\sum_{k=1}^{m} c_{k} \boldsymbol{x}^{(k)}(t) \equiv 0 \text { при } t_{0} \leqslant t<\infty,
\]

причем $c_{p}
eq 0$, где $1 \leqslant p \leqslant m$, и $c_{q}=0$ при $q>p$. Тогда из соотно-. шения (3.3.5) имеем
\[
\boldsymbol{x}^{(p)}(t)=\sum_{k=1}^{p-1}\left[-\frac{c_{k}}{c_{p}} \boldsymbol{x}^{(k)}(t)\right]
\]

и, следовательно, на основании следствия теоремы 2 из 1 получаем
\[
\alpha_{p}=\chi\left[\boldsymbol{x}^{(p)}(t)\right] \leqslant \max _{k<p} \chi\left[\boldsymbol{x}^{(k)}(t)\right]=\sigma_{p-1},
\]

что противоречит условию (3.3.4).
Таким образом, $\boldsymbol{x}^{(1)}(t), \ldots, \boldsymbol{x}^{(m)}(t)$ линейно независимы.
Определение. Множество всех собственных характеристических показателей (т. е. отличных от $-\infty$ и $+\infty$ ) решений дифференциальной системы будем называть ее спектром.

Из приведенного выше замечания следует, что если матрица $A(t)$ линейной однородной системы действительна, то спектр ее может быть реализован на множестве действительных решений.

Теорема. Спектр линейной однородной дифференциальной системы с непрерывной ограниченной матрицей состоит из конечного числа элементов
\[
\alpha_{1}<\alpha_{2}<\ldots<\alpha_{m} \quad(m \leqslant n) .
\]

Доказательство теоремы непосредственно вытекает из леммы и того обстоятельства, что линейная дифференциальная система порядка $n$ имеет самое большее $n$ линейно независимых решений.

Заметим, что характеристические показатели $\alpha_{j}(j=1, \ldots, m)$ нетривиальных решений линейной системы
\[
\frac{d x}{d t}=A x
\]

с постоянной матрицей $A$ являются вещественными частями характеристических корней матрицы $A$, т. е.
\[
\alpha_{j}=\operatorname{Re} \lambda_{j}(A)(j=1, \ldots, m),
\]

где $\lambda_{j}=\lambda_{j}(A)$ – корни векового уравнения
\[
\operatorname{det}(A-\lambda E)=0
\]

с различными вещественными частями (гл. II, §8).
Замечание. Нелинейная дифференциальная система может иметь спектр произвольной природы, например, содержащий бесконечное множество элементов.
Пример. Скалярное дифференциальное уравнение
\[
\frac{d x}{d t}=\frac{x}{t} \ln x \quad(t>0, x>0)
\]

имеет общее решение
\[
x=e^{c t}
\]

и, следовательно, это уравнение обладает сплошным спектром – $-\alpha<\infty$.