Рассмотрим линейную дифференциальную систему
\[
\frac{d x}{d t}=A(t) x
\]

с ограниченной действительной непрерывной матрицей $A(t)$ :
\[
A(t) \in C\left[t_{0}, \infty\right) \text { и } \sup _{t}\|A(t)\|<\infty .
\]

Пусть
\[
\sigma=\sum_{k=1}^{m} n_{k} x_{k}
\]
— сумма характеристических показателей (с учетом их кратностей $n_{k}$ ) решений системы (3.11.1), входяцих в некоторую ее нормальную фундаментальную систему.

Определение. Действительная линейная.система называется правильной по Ляпунову (см. [13]), если сумма характеристических показателей ее совпадает с нижним пределом среднего значения следа матрицы системы, т. е. если имеет место равенство
\[
\sigma=\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \int_{t_{0}}^{t} \operatorname{Sp} A\left(t_{1}\right) d t_{1} .
\]

Замечание. Если матрица $A(t)$ комплексная, то условие правильности линейной системы записывается следующим образом:
\[
\sigma=\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \int_{t_{0}}^{t} \operatorname{Re} \operatorname{Sp} A\left(t_{1}\right) d t_{1} .
\]

Лемма. Линейная дифференццальная система (3.11.1) является правильной тогда и только тогда, когда 1) существует предел среднего значения вещественной части следа матриць системы
\[
S=\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \int_{t_{i}}^{t} \operatorname{ReSp} A\left(t_{1}\right) d t_{1} ;
\]
2) выполнено равенство Ляпунова
\[
\sigma=S \text {. }
\]

Достаточность леммы очевидна. Докажем необходимость еe.
Действительно, если система правильная и
\[
\begin{array}{l}
S=\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \int_{t_{0}}^{t} \operatorname{Re} \operatorname{Sp} A\left(t_{1}\right) d t_{1}, \\
\bar{S}=\varlimsup_{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \int_{t_{0}}^{t} \operatorname{Re} S p A\left(t_{1}\right) d t_{1},
\end{array}
\]

то, используя формулу (3.11.3) и неравенство Ляпунова (§7), имеем
\[
\bar{S} \leqslant \sigma=S .
\]

С другой стороны, очевидно,
\[
S \leqslant \bar{S} .
\]

Отсюда получаем
\[
S=\bar{S}=S=0,
\]

что и доказывает лемму.
Связь между правильными и приводимыми системами установлена Ляпуновым.

Теорема. Всякая приводимая линейная дифференциальная система является правильной.

Доказательство. Пусть система (3.11.1) приводима ( $\$ 8$ ) и $X(t)$ — ее нормальная фундаментальная матрица. Согласно определению приводимости существует матрица Ляпунова $L(t)$ такая, что
\[
X(t)=L(t) \gamma(t),
\]

где $Y(t)$ — фундаментальная матрица некоторой системы
\[
\frac{d y}{d t}=B y
\]

с постоянной матрицей $B$. Из соотнзшения (3.11.6) имеем
\[
\operatorname{det} X(t)=\operatorname{det} L(t) \cdot \operatorname{det} Y(t) .
\]

Используя формулу Остроградского — Лиувилля (гл. II, §3), получим
\[
\operatorname{det} X\left(t_{0}\right) e^{\int_{t_{0}}^{t} \operatorname{Sp} A\left(t_{1}\right) d t_{1}}=\operatorname{det} L(t) \cdot \operatorname{det} Y\left(t_{0}\right) e^{\left(t-t_{0}\right) \mathrm{Sp} B} .
\]

Отсюда
\[
\left|e^{\int_{0}^{t} \operatorname{sp} A\left(t_{1}\right) d t_{1}}\right|=c\left(t_{0}\right)|\operatorname{det} L(t)|\left|e^{\left.i t-t_{0}\right\rangle \mathrm{Sp} B}\right|,
\]

где
\[
c\left(t_{0}\right)=\left|\operatorname{det}\left[Y\left(t_{0}\right) X^{-1}\left(t_{0}\right)\right]\right|,
\]
T. e.
\[
e^{\int_{t_{0}}^{t} \operatorname{Re} \operatorname{Sp} A\left(t_{1}\right) d t_{1}}=c\left(t_{0}\right)|\operatorname{det} L(t)| e^{\left(t-t_{0}\right) \operatorname{Re} \mathrm{Sp} B} .
\]

Следовательно,
\[
\frac{1}{t} \int_{t_{0}}^{t} \operatorname{ReSp} A\left(t_{1}\right) d t_{1}=\frac{1}{t} \ln \left\{c\left(t_{0}\right)|\operatorname{det} L(t)|\right\}+\left(1-\frac{t_{0}}{t}\right) \operatorname{Re} \operatorname{Sp} B .
\]

Так как $\ln |\operatorname{det} L(t)|$ есть величина, ограниченная на промежутке $\left[t_{0}, \infty\right)$, то из формулы (3.11.7) вытекает, что существует предел
\[
S=\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \int_{t_{0}}^{t} \operatorname{ReSp} A\left(t_{1}\right) d t_{1}=\operatorname{ReSp} B .
\]

Кроме того, пусть $\sigma_{X}$ и $\sigma_{Y}$ — суммы характеристических показателей решений фундаментальных матриц $X$ и $Y$ соответственно. Так как при преобразовании Ляпунова характеристические показатели сохраняются, то, очевидно, имеем
\[
\sigma_{X}=\sigma_{Y},
\]

причем, если матрица $X$ нормальная, то матрица $Y$ также нормальная. Но для нормальной матрицы $Y$ характеристическими показателями являются вещественные части корней $\lambda_{i}$ векового уравнения
\[
\operatorname{det}(B-\lambda E)=0 \text {, }
\]

где каждый корень повторяется столько раз, какова его кратность. Поэтому
\[
\sigma_{\gamma}=\sum_{i} \operatorname{Re} \lambda_{j}=\operatorname{Re} \sum_{j} \lambda_{j}=\operatorname{ReSp} B .
\]

Таким образом, справедливо равенство Ляпунова
\[
\sigma_{X}=\operatorname{ReSp} B=S
\]

и, значит, на основании леммы система (3.10.2) правильная.
3амечание. Если матрица $A(i)$ действительная, то матрицы $L(t)$ и $B$ можно полагать также действительными.

Покажем на примере, что правильная система может быть неприводимой.
Пример. Скалярное уравнение
\[
\frac{d x}{d t}=\frac{x}{2 \sqrt{t}} \quad(t>0)
\]

является правияьным в смысле определения этого параграфа, так как обнее рсшение его есть
\[
x=c e^{\sqrt{\bar{t}}}
\]

и при $c
eq 0$ имеем
\[
\chi[x]=0=\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \int_{t_{0}}^{t} \frac{d t_{1}}{2 \sqrt{t_{1}}}\left(t_{0}>0\right) .
\]

Однако это уравненис не будет приводимым, так как его общее решение (3.11.10) не имеет вида, предписываемого теоремой Еругина (\$ 8).