Если степень полинома $f(z)$ сравнительно большая, то применение критерия Гурвица становится затруднительным ввиду необходимости подсчета определителей высоких порядков. В этом случае для определения расположения корней $z_{1}, \ldots, z_{n}$ полинома $f(z)$ на комплексной плоскости иногда оказываются более удобными геометрические признаки, эквивалентные критерию Гурвица. Мы здесь изложим один из них, так называемый частотный критерий А. В. Михайлова.

Пусть
\[
f(z)=a_{0}+a_{1} z+\ldots+a_{n} z^{n}
\]
– стандартный полином степени $n(n \geqslant 1)$, т. е. коэффициенты $a_{0}, \ldots, a_{n}$ действительны, $a_{0}>0$ и $a_{n}
eq 0$. Кривая
\[
w=f(i \omega)
\]

где $\omega$ – действительный положительный параметр $(0 \leqslant \omega \leqslant+\infty$ ) и $i=\sqrt{-1}$, называется годографом Михайлова функции $f(z)$.

Докажем одну лемму, из которой непосредственно следует принцип Михайлова.

Лемма. Пусть $f(z)$-стандартный полином степени $n$, не имеющий чисто мнимых корней. Тогда угол поворота против хода часовой стрелки ненулевого вектора $f(i \omega)$ при $0 \leqslant \omega \leqslant+\infty$ равен
\[
\Phi=\frac{\pi}{2}(n-2 m),
\]

где $m$-число корней полинома $f(z)$ с положительной вещественной частью $(0 \leqslant m \leqslant n)$, с учетом их кратностей.

Обратно, если справедлива формула (2.10.2), то на положительной полуплоскости $\operatorname{Re} z>0$ расположено точно $m$ корней полинома $f(z)$, где каждый корень считается столько раз, какова его кратность.

Доказательст.во. Доказательство леммы проведем, следуя в основном А. А. Фельдбауму (см. А. А. Фельдбаум, Электрические системы автоматического регулирования, Оборонгиз, 1954, гл. VII).
1) Пусть стандартный полином $f(z)$ (2.10.1) степени $n$ имеет всего $2 p$ комплексно-сопряженных корней $\alpha_{j} \mp i \beta_{j}(j=1, \ldots, p$; $\left.\alpha_{j}
eq 0, \quad \beta_{j}>0\right)$ и $q$ действительных корней $\gamma_{k}(k=1, \ldots, q$; $\gamma_{k}
eq 0$ ), где каждый корень считается столько раз, какова его кратность, т. е.
\[
2 p+q=n .
\]

В частном случае, возможно $p=0$ или $q=0$.
Разлагая полином $f(z)$ на тинейные множители и учитывая, что ввиду действительности его коэффициентов комплексно-сопряженные множители могут быть попарно объединены, получим
\[
f(z)=a_{n} \prod_{j=1}^{p}\left(z-\alpha_{j}+i \beta_{j}\right)\left(z-\alpha_{j}-i \beta_{j}\right) \prod_{k=1}^{q}\left(z-\gamma_{k}\right) .
\]

Отсюда
\[
f(i \omega)=a_{n} \prod_{j=1}^{p}\left(i \omega-\alpha_{j}+i \beta_{j}\right)\left(i \omega-\alpha_{j}-i \beta_{j}\right) \prod_{k=1}^{q}\left(i \omega-\gamma_{k}\right) .
\]

Интересующий нас угол поворота вектора $f(i \omega)$, очевидно, равен
\[
\Phi=\Delta_{\Gamma} \operatorname{Arg} f(i \omega),
\]

где $\Delta_{\Gamma}$ обозначает приращение соответствующей функции ьдоль годографа Михайлова $\Gamma$, когда параметр $\omega$ изменяется от 0 до $+\infty$. Тақ как при $0 \leqslant \omega \leqslant+\infty$ все множители произведения (2.10.3) ненулевые, то в силу известных теорем об аргументе произведения имеем
\[
\begin{array}{l}
\Phi_{p}=\Delta_{\mathrm{T}} \operatorname{Arg} a_{n}+\sum_{j=1}^{p} \Delta_{\mathrm{Y}}\left[\operatorname{Arg}\left(i \omega-\alpha_{j}+i \beta_{j}\right)+\right. \\
+\left.\operatorname{Arg}\left(i \omega-\alpha_{j}-i \beta_{j}\right)\right]+\sum_{k=1}^{k} \Delta_{\Gamma} \operatorname{Arg}\left(i \omega-\gamma_{k}\right),
\end{array}
\]

где под $\operatorname{Arg} z$ понимается некоторая непрерывная ветвь многозначной функции $\arg z+2 k \pi(k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots$ и $\arg z-$ главное значение аргумента: $-\pi<\arg z \leqslant \pi$ ). Для определенности будем считать, что при $\omega=0$ аргументы всех слагаемых формулы (2.10.4) равны их главным значениям.
Очевидно,
\[
\Delta_{\Gamma} \operatorname{Arg} a_{n}=0 .
\]

Пусть
\[
\left.\operatorname{Arg}\left(i \omega-\alpha_{j}+i \beta_{j}\right)\right|_{\omega=0}=\arg \left(-\alpha_{j}+i \beta_{j}\right)=\varphi_{j} \quad\left(0<\varphi_{j}<\pi\right) .
\]

Тогда
$\left.\operatorname{Arg}\left(i \omega-\alpha_{j}-i \beta_{j}\right)\right|_{\omega=0}=\arg \left(-a_{j}-i \beta_{j}\right)=\arg \overline{\left(-\alpha_{j}+i \beta_{j}\right)}=-\varphi_{j}$.
Поэтому
\[
\left.\left\{\operatorname{Arg}\left(i \omega-\alpha_{j}+i \beta_{j}\right)+\operatorname{Arg}\left(i \omega-\alpha_{j}-i \beta_{j}\right)\right\}\right|_{\omega=0}=0 \quad(j=1, \ldots, p) .
\]

Так как $\beta_{j}>0$, то при увеличении параметра $\omega$, как ясно из геометрических соображений, $\operatorname{Arg}\left(i \omega-\alpha_{j}+i \beta_{j}\right)$, оставаясь в пределах от 0 до $\pi$, будет монотонно возрастать, если $\alpha_{j}<0$, и монотонно убывать, если $\alpha_{j}>0$; при этом
\[
\begin{array}{l}
\left.\operatorname{Arg}\left(i \omega-\alpha_{j}+i \beta_{j}\right)\right|_{\omega=+\infty}=\lim _{\omega \rightarrow+\infty} \arg \left(i \omega-\alpha_{j}+i \beta_{j}\right)= \\
\quad=\lim _{\omega \rightarrow+\infty}\left[\arg i \omega+\arg \left(1-\frac{\alpha_{j}-i \beta_{j}}{i \omega}\right)\right]=\frac{\pi}{2} \quad(j=1, \ldots, p)
\end{array}
\]

при $a_{j}
eq 0$.

Рассмотрим, теперь поведение $\operatorname{Arg}\left(i \omega-\alpha_{j}-i \beta_{j}\right)$ при $\omega>0$. Если $\omega=\beta_{j}-0>0$, то получаем
$\left.\operatorname{Arg}\left(i \omega-\alpha_{j}-i \beta_{j}\right)\right|_{\omega=\beta,-0=}=\lim _{\varepsilon \rightarrow+\infty} \arg \left(-\alpha_{j}-i \varepsilon \omega\right)=$
\[
=\left\{\begin{array}{lll}
0 & \text { при } & \alpha_{j}<0, \\
\pi & \text { при } & \alpha_{j}>0 .
\end{array}\right.
\]

Если же $\omega \geqslant \beta_{j}+0$, то в силу свойства непрерывности $\operatorname{Arg} z$ следует положить
\[
\operatorname{Arg}\left(i \omega-\alpha_{j}-i \beta_{j}\right)=\left\{\begin{array}{ll}
\arg \left(i \omega-\alpha_{j}-i \beta_{j}\right) & \text { при } \alpha_{j}<0, \\
-2 \pi+\arg \left(i \omega-\alpha_{j}-i \beta_{j}\right) & \text { при } \alpha_{j}>0 .
\end{array}\right.
\]

Отсюда
\[
\left.\operatorname{Arg}\left(i \omega-\alpha_{j}-i \beta_{j}\right)\right|_{\omega=+\infty}=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{\pi}{2}, & \text { если } \alpha_{j}<0, \\
-\frac{3 \pi}{2}, & \text { если } \alpha_{j}>0 .
\end{array}\right.
\]

Таким образом, из формул (2.10.7) и (2.10.8) находим
\[
\begin{aligned}
\left\{\operatorname{Arg}\left(i \omega-\alpha_{j}+i \beta_{j}\right)+\operatorname{Arg}\left(i \omega-\alpha_{j}-i \beta_{j}\right)\right\}_{\omega=+\infty}= & \\
& =\left\{\begin{array}{rll}
\pi, & \text { если } & \alpha_{j}<0, \\
-\pi, & \text { если } \alpha_{j}>0 .
\end{array}\right.
\end{aligned}
\]

Следовательно,
\[
\begin{array}{l}
\Delta_{\Gamma}\left[\operatorname{Arg}\left(i \omega-\alpha_{j}+i \beta_{j}\right)+\operatorname{Arg}\left(i \omega-\alpha_{j}-i \beta_{j}\right)\right]= \\
=\left\{\operatorname{Arg}\left(i \omega-\alpha_{j}+i \beta_{j}\right)+\operatorname{Arg}\left(i \omega-\alpha_{j}-i \beta_{j}\right)\right\}_{\omega=0}^{\omega=-\infty}= \\
=\left\{\begin{array}{rl}
\pi, & \text { если } \alpha_{j}<0, \\
-\pi, & \text { если } \cdot \alpha_{j}>0
\end{array} \quad(j=1, \ldots, p) .\right. \\
\end{array}
\]

Пусть тедерь $z_{k}=\gamma_{k}$ – ненулевой действительный корень полинома $f(z)$. Имеем
\[
\left.\operatorname{Arg}\left(i \omega-\gamma_{k}\right)\right|_{\omega
eq 0}=\arg \left(-\gamma_{k}\right)=\left\{\begin{array}{lll}
0, & \text { если } \gamma_{k}<0, \\
\pi, & \text { если } \gamma_{k}>0,
\end{array}\right.
\]

и
\[
\left.\operatorname{Arg}\left(i \omega-\gamma_{k}\right)\right|_{\omega=+\infty}=\lim _{\omega \rightarrow+\infty} \arg \left(i \omega-\gamma_{k}\right)=\frac{\pi}{2} .
\]

Поэтому
\[
\Delta_{\Gamma} \operatorname{Arg}\left(i \omega-\gamma_{k}\right)=\left\{\begin{array}{rll}
\frac{\pi}{2}, & \text { если } & \gamma_{k}<0, \\
-\frac{\pi}{2}, & \text { если } & \gamma_{k}>0
\end{array} \quad(k=1, \ldots, q)\right.
\]

Из формул (2.10.9) и (2.10.10) вытекает, что каждый корень с отрицательной вещественной частью стандартного полинома $f(z)$ обеспечивает при $0 \leqslant \omega \leqslant+\infty$ поворот вектора $f(i \omega)$ «в среднем» на $+\frac{\pi}{2}$, а каждый корень этого полинома с положительной вещественной частью создает при $0 \leqslant \omega \leqslant+\infty$ поворот вектора $f(i \omega)$ «в среднем» на ${ }^{2}-\frac{\pi}{2}$.

Пусть $m$-число корней нашего стандартного полинома $f(z)$ с положительной вещественной частью. Тогда число корней этого полинома с отрицательной вещественной частью ввиду отсутствия чисто мнимых корней равно $n-m$. Поэтому для суммарного поворота вектора $f(i \omega)$ при $0 \leqslant \omega \leqslant \infty$ получаем следующее выражение:
\[
\Phi=(n-m) \frac{\pi}{2}+m\left(-\frac{\pi}{2}\right)=(n-2 m) \frac{\pi}{2},
\]

что и требовалось доказать.
2) Пусть теперь для стандартного полинома $f(z)$ степени $n$ без чисто мнимых корней угол поворота при $0 \leqslant \omega \leqslant \infty$ вектора $f(i \omega)$ определяется формулой (2.10.2) и $\tilde{m}-$ число его корней с положительной вещественной частью. Тогда согласно доказанному имеем
\[
\Phi=\frac{\pi}{2}(n-2 \tilde{m}) .
\]

Сравнивая формулы (2.10.11) и (2.10.2), получаем
\[
\tilde{m}=m \text {, }
\]
т. е. в этом случае полином $f(z)$ имеет в точности $m$ корней на положительной полуплоскости $\operatorname{Re} z>0$.
Лемма доказана полностью.
Критерий Михайлова. Для того чтобы стандартный полином $f(z)$ (2.10.1), не имеющий чисто мнимых корней, являлся полиномом Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы угол поворота против хода часовой стрелки вектора $f(i \omega)$ при $0 \leqslant \omega \leqslant \infty$ был бы равен
\[
\Phi=\frac{\pi}{2} n,
\]

где $n$-степень полинома ( $n \geqslant 1$ ).
Действительно, пөлагая $m=0$ в формуле (2.10.2), получим соотношение (2.10.12).

Следствие. Если для стандартного полинома степени $n$ имеет место неравенство
\[
\Phi<\frac{\pi}{2} n, .
\]

то $f(z)$ не г. .яется полиномом Гурвица.
3амечание. Если стандартный полином $f(z)$ есть полином Гурвица степени $n$, то, как следует из формулы (2.10.4), вектор $f(i \omega)$ при $0 \leqslant \omega \leqslant \infty$ монотонно поворачивается против хода часовой стрелки на угол $\frac{n \pi}{2}$. Так как $f(0)=a_{0}>0$, то годограф $\Gamma$ Михайлова полинома $f(z)$, выходя из точки $a_{0}$ положительной полуоси $\operatorname{Re} z>0$, при $0 \leqslant \omega \leqslant \infty$ будет последовательно пересекать полуоси $\operatorname{Im} z>0, \operatorname{Re} z<0, \operatorname{Im} z<0, \ldots$, проходя через $n$ квадрантов.

Обратно, если годограф $\Gamma$ Михайлова стандартного полинома $f(z)$ степени $n$ без чисто мнимых корней, выходя из точки $f(0)=a_{0}>0$ положительной полуоси $\operatorname{Re} z>0$, при $0<\omega \leqslant \infty$ последовательно по одному разу пересекает $n-1$ полуосей $\operatorname{Im} z>0$, $\operatorname{Re} z<0, \operatorname{Im} z<0, \ldots$, асимптотически стремясь к $n$-й по счету полуоси, то угол поворота вектора $f(i \omega)$, очевидно, равен $\frac{n \pi}{2}$ и, следовательно, полином $f(z)$ есть полином Гурвица. На практике это обстоятсльство можно проверить, построив график годографа Г полинөма $f(z)$.

Пример. Пользуясь критерием Михайлова, получить условия Гурвица для полинома
\[
f(z)=z^{3}+p z^{2}+q z+r
\]
( $p, q, r$ действительны). Имеем
\[
f(i \omega)=\left(-p \omega^{2}+r\right)+i \omega\left(-\omega^{2}+q\right) .
\]

Отсюда точки пересечения годографа $\Gamma(0 \leqslant \omega \leqslant \infty)$ полинома $f(z)$ с полуосями $\operatorname{Re} z>0, \operatorname{Im} z>0$, Re $z<0$ последовательно суть $i \omega_{k}(k=0,1,2)$, где
\[
\omega_{0}=0, \quad \omega_{1}=\sqrt{\frac{r}{p}}, \quad \omega_{2}=\sqrt{q} .
\]

Так как $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ должны быть действительны, то
\[
\frac{r}{p}>0 \text { и } \quad q>0 .
\]

Далее, имеем
\[
\begin{aligned}
f\left(i \omega_{0}\right) & =r, \\
f\left(i \omega_{1}\right) & =i \sqrt{\frac{r}{p}}\left(q-\frac{r}{p}\right), \\
f\left(i \omega_{2}\right) & =-(p q-r) .
\end{aligned}
\]

Отсюда, учитывая направления векторов $f\left(i \omega_{k}\right)(k=0,1,2, \ldots)$ для случая полинома Гурвица, находим
\[
r>0, \quad q-\frac{r}{p}>0, \quad p q-r>0 .
\]

Сверх того, полагая $\operatorname{Arg} f(i \omega)=0$ при $\omega=0$, очевидно, получаем
\[
\lim _{\omega \rightarrow+\infty} \operatorname{Arg} f(i \omega)=\frac{3 \pi}{2} \text {. }
\]

Объединяя иеравенства (2.10.14) и (2.10.15), получим искомые условия Гурвица:
\[
p>0, \quad q>0, \quad 0<r<p q,
\]

что согласуется с результатами, полученными ранее (см. § 9, пример 1 ).