Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений
\[
\frac{d x}{d t}=[\Lambda(t)+Q(t)] \boldsymbol{x},
\]

где $x=\operatorname{colon}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$,
\[
\Lambda(t)=\operatorname{diag}\left[\lambda_{1}(t), \ldots, \lambda_{n}(t)\right] \in C\left[t_{0}, \infty\right)
\]

и $Q(t) \in L\left[t_{0}, \infty\right.$ ), т. е. $Q(t)$ измерима (например, кусочно-непрерывна) и
\[
\int_{t_{0}}^{\infty}\|Q(t)\| d t<\infty,
\]

причем интеграл (5.7.2) понимагтся или в элементарном смысле, или в смысле интеграла Лебега. В уравнении (5.7.1) искомый вектор $\boldsymbol{x}$ и матрицы $\Lambda(t)$ и $Q(t)$ будем считать, вообще говоря, комплексными.

Будем предполагать, что элементы диагональной матрицы $\Lambda(t)$ асимптотически разделены, т. е. выполнено условие $A$ : величина
\[
\operatorname{Re}\left[\lambda_{j}(t)-\lambda_{k}(t)\right]
\]

для всех $j$ и $k$ не меняет знака на $T \leqslant t<\infty$, где $T \geqslant t_{0}$ – некоторое число, которое можно предполагать произвольно большим.

Это означает, что кривые
\[
z_{j}=\operatorname{Re} \lambda_{j}(t) \text { и } z_{k}=\operatorname{Re} \lambda_{k}(t) \quad(j
eq k)
\]

не пересекаются при $t \geqslant T$, причем касание их не возбраняется (рис. 53). Из условия $A$ следует, что для каждой пары $(j, k)$ существует конечный или бесконечный интеграл
\[
\int_{i_{0}}^{\infty} \operatorname{Re}\left[\lambda_{j}(t)-\lambda_{k}(t)\right] d t .
\]

Система (5.7.1) называется $L$-диагональной. Такими системами занимались ІШпет [57] и Перрон [58] при $\Lambda(t)=$ const и Левинсон [59] при $\Lambda(t)$ переменной.
Рис. 53.
Изучим поведение решений $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}(t)$ системы (5.7.1) при $t \rightarrow \infty$, причем в основном будем придерживаться изложения Рапопорта [60].
Пусть
\[
\mu_{s}(t)=\int_{t_{0}}^{t} \lambda_{s}\left(t_{1}\right) d t_{1}
\]
$(s=1, \ldots, n)$. Фиксируя индекс $s$ в системе (5.7.1), произведем замену переменных
\[
\boldsymbol{x}=e^{p_{s}(t)} \boldsymbol{y}_{s} .
\]

Имеем

Отсюда, учитывая, что $e^{\left(s^{(t)}\right.}-$ скалярная функция, получаем
\[
\frac{d y_{s}}{d t}=\left[\Lambda(t)-\lambda_{s}(t) E\right] y_{s}+Q(t) y_{s} .
\]

Введем матричную функцию
\[
K^{(s)}(t, \tau)=\exp \int_{\tau}^{t}\left[\Lambda\left(t_{1}\right)-\lambda_{s}\left(t_{1}\right) E\right] d t_{1},
\]

являющуюся нормированным при $t=\tau$ решением однородной системы
\[
\dot{K}_{t}^{(s)}(t, \tau)=\left[\Lambda(t)-\lambda_{s}(t) E\right] K^{(s)}(t, \tau),
\]

удовлетворяющим начальному условию:
\[
K^{(s)}(\tau, \tau)=E .
\]

Рассмотрим систему сингулярных интегральных уравнений
\[
y_{s}(t)=e_{s}+\int_{a}^{t} K^{(s)}(t, \tau) Q(\tau) y_{s}(\tau) d \tau,
\]

где
\[
\boldsymbol{e}_{s}=\left[\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
1 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right], \quad \boldsymbol{a}=\left[\begin{array}{c}
a_{1} \\
\vdots \\
a_{n}
\end{array}\right] \text {, }
\]

причем координаты вектора $\boldsymbol{a}$ выбираются следующим образом:
1) если
\[
\int_{t_{0}}^{\infty} \operatorname{Re}\left[\lambda_{j}(t)-\lambda_{s}(t)\right] d t=-\infty
\]
(коротко, $j \in \mathrm{I}$ ), то полагают $a_{j}=T$, где $T \geqslant t_{0}$ конечно;
2) если же
\[
\int_{t_{0}}^{\infty} \operatorname{Re}\left[\lambda_{j}(t)-\lambda_{s}(t)\right] d t>-\infty
\]
(коротко, $j \in \mathrm{II}$ ), то принимают $a_{j}=\infty$.
Непрерывное решение $\boldsymbol{y}_{s}(t)$ системы интегральных уравнений (5.7.9) удовлетворяет дифференциальному уравнению (5.7.6). Действительно, дифференцируя равенство (5.7.9) по параметру $t$ и учитывая формулу (5.7.8), будем иметь
\[
\begin{aligned}
\frac{d y_{s}}{d t}=K^{(s)}( & , t) Q(t) y_{s}(t)+ \\
& +\int_{a}^{t}\left[\Lambda(t)-\lambda_{s}(t) E\right] K^{(s)}(t, \tau) Q(\tau) y_{s}(\tau) d \tau \equiv \\
& \equiv Q(t) y_{s}(t)+\left[\dot{\Lambda}(t)-\lambda_{s}(t) E\right]\left[y_{s}(t)-e_{s}\right] .
\end{aligned}
\]

Так как
\[
\begin{aligned}
\left\{1(t)-\lambda_{s}(t) E\right] e_{s}= & \operatorname{diag}\left[\lambda_{i_{1}}(t), \ldots, \lambda_{s-1}(t), 0, \lambda_{s+1}(t), \ldots\right. \\
& \left.\ldots, \lambda_{n}(t)\right] \cdot \operatorname{diag}(0, \ldots, 0,1,0, \ldots, 0)=0,
\end{aligned}
\]

то уравнение (5.7.12) совпадает с дифференциальным уравнением (5.7.6).

Докажем, что система интегральных уравнений (5.7.9) удовлетворяет условиям теоремы из § 6. Для этого достаточно показать, что элементы строк матрицы
\[
K^{(s)}(t, \tau)=\operatorname{diag}\left[K_{1}^{(s)}(t, \tau), \ldots, K_{n}^{(s)}(t, \tau)\right]
\]

ограничены в областях: $\omega_{j}=\{T \leqslant t<\infty, \tau \in[T, t]$ при $j \in \mathrm{I}$ и $\omega_{j}=\{T \leqslant t<\infty\}, \tau \in[t, \infty)$ при $j \in$ II.
Действительно, если $j \in I$, то из (5.7.10) имеем
\[
\operatorname{Re}\left[\lambda_{j}(t)-\lambda_{s}\left(t_{i}\right] \leqslant 0 \text { при } t \geqslant T,\right.
\]

причем $\tau \leqslant t$. Следовательно,
\[
\left|K_{j}^{(s)}(t, \tau)\right|=\exp \left\{\int_{\tau}^{t} \operatorname{Re}\left[\lambda_{j}\left(t_{1}\right)-\lambda_{s}\left(t_{1}\right)\right] d t_{1}\right\} \leqslant 1 .
\]

Пусть теперь $j \in I$, тогда $\tau \geqslant t$, и, значит,
\[
\left|K_{j}^{(s)}(t, \tau)\right|=\exp \left\{-\int_{i}^{1} \operatorname{Re}\left[\lambda_{j}\left(t_{1}\right)-\lambda_{s}\left(t_{1}\right)\right] d t_{1}\right\} .
\]

Если
\[
\operatorname{Re}\left[\lambda_{j}(t)-\lambda_{s}(t)\right] \geqslant 0 \text { при } t \geqslant T,
\]

то, очевидно,
\[
\left|K_{j}^{(s)}(t, \tau)\right| \leqslant 1 .
\]

Если же
\[
\operatorname{Re}\left[\lambda_{j}(t)-\lambda_{s}(t)\right] \leqslant 0,
\]

то в силу неравенства (5.7.11) получаем
\[
\left.\left.\mid K_{j}^{(s)}(t,:): \leqslant \exp \left\{-\int_{T}^{\infty} \operatorname{Re}\right] \lambda_{j}\left(t_{1}\right)-\lambda_{s}\left(t_{1}\right)\right] d t_{1}\right\}<\infty .
\]

Таким образом,
\[
\left|K_{j}^{(s)}(t, \tau)\right| \leqslant c<\infty
\]

в каждой из областей $\omega_{j}$.

Следовательно, если $T$ таково, что выполнено неравенство
\[
c \int_{T}^{\infty}\|Q(\tau)\| d \tau \leqslant q<1
\]

то при $t \geqslant T$ существует непрерывное ограниченное решение интегрального уравнения (5.7.9), которое (см. замечание к теореме из § 6) можно, согласно методу последовательных приближений, изобразить в виде абсолютно и равномерно сходяцегося ряда
\[
y_{s}(t)=e_{s}+\sum_{p=1}^{\infty}\left[y_{s}^{(p)}(t)-y_{s}^{(p-1)}(t)\right],
\]

где
\[
y_{s}^{(p)}(t)=e_{s}+\int_{a}^{t} K^{(s)}(t, \tau) Q(\tau) y_{s}^{(p-1)}(\tau) d \tau \quad(p=1,2, \ldots)
\]

и
\[
y_{s}^{\prime 0 !}(t)=e_{s} \text {. }
\]

Из уравнения (5.7.9), учитызая, что $\left[a_{j}, t\right] \subset[T, \infty]$, имеем оценку:
\[
\left\|\boldsymbol{y}_{s}(t)\right\| \leqslant\left\|\boldsymbol{e}_{s}\right\|+c \int_{T}^{\infty}\|Q(\tau)\|\left\|\boldsymbol{y}_{s}(\tau)\right\| d \tau
\]

отсюда, используя неравенство (5.7.13), получаем
\[
\left\|\boldsymbol{y}_{s}(t)\right\| \leqslant 1+q \sup _{\boldsymbol{t}}\left\|\boldsymbol{y}_{s}(t)\right\|
\]

и, поэтому
\[
\sup _{\boldsymbol{t}}\left\|\boldsymbol{y}_{s}(t)\right\| \leqslant \frac{1}{1-q}
\]

при $T \leqslant t<\infty$.
Докажем, что
\[
y_{s}(\infty)=\lim _{t \rightarrow \infty} y_{s}(t)=e_{s} \text {. }
\]

Полагая
\[
\boldsymbol{y}_{s}(t)=\operatorname{colon}\left[y_{1 s}(t), \ldots, y_{n s}(t)\right] \text {, }
\]

из уравнения (5.7.9) получаем
\[
y_{j_{s}}(t)=\delta_{j_{s}}+\int_{a_{j}}^{t} \exp \int_{i}^{t}\left[\lambda_{j}\left(t_{1}\right)-\lambda_{j}\left(t_{1}\right)\right] d t_{1} \sum_{k} Q_{j k}(\tau) y_{k s}(\tau) d \tau,(5.7 .16)
\]

где $\delta_{j s}$ – символ Кронекера.

Если $j \in I$, то, очевидно, $j
eq s$ и, значит, $\dot{\partial}_{i s}=0$. При $T \leqslant t^{\prime} \leqslant t$ будем иметь
\[
\begin{array}{c}
y_{j s}(t)=\int_{T}^{t^{\prime}} \exp \int_{\tau}^{t^{\prime}}\left[\lambda_{j}\left(t_{1}\right)-\lambda_{s}\left(t_{1}\right)\right] d t_{1} \cdot \exp \int_{t^{\prime}}^{t}\left[\lambda_{j}\left(t_{1}\right)-\lambda_{s}\left(t_{1}\right)\right] d t_{1} \times \\
\times \sum_{k} Q_{j k}(\tau) y_{k s}(\tau) d \tau+\int_{t^{\prime}}^{t} \exp \int_{\tau}^{t}\left[\lambda_{j}\left(t_{1}\right)-\lambda_{s}\left(t_{1}\right)\right] d t \cdot \sum_{k} Q_{j k}(\tau) y_{k s}(\tau) d \tau= \\
=\exp \int_{t^{\prime}}^{t}\left[\lambda_{j}\left(t_{1}\right)-\lambda_{s}\left(t_{1}\right)\right] d t_{1} \cdot y_{j s}\left(t^{\prime}\right)+ \\
\quad+\int_{t^{\prime}}^{t} K_{j}^{(s)}(t, \tau) \sum_{k} Q_{j k}(\tau) y_{k s}(\tau) d \tau .
\end{array}
\]

Так как для $j \in \mathrm{I}$, как указано выше, выполнено неравенство
\[
\left|K_{j}^{(s)}(t, \bar{\tau})\right| \leqslant 1,
\]

то, выбирая $t^{\prime}$ достаточно большим, при $t \geqslant t^{\prime}$ имеем
\[
\begin{aligned}
\left|\int_{t^{\prime}}^{t} K_{j}^{(s)}(t, \tau) \cdot \sum_{k} Q_{j k}(\tau) y_{k s}(\tau) d \tau\right| \leqslant & \int_{t^{\prime}}^{t} \sum_{k}\left|Q_{j k}(\tau)\right|\left|y_{k_{s}}(\tau)\right| d \tau \leqslant \\
& \leqslant \sup _{t}\left|y_{k_{s}}(l)\right| \cdot \int_{t^{\prime}}^{\infty}|| Q(\tau) \| d \tau<\frac{\varepsilon}{2} .
\end{aligned}
\]

Фиксируя $t^{\prime}$ и учитьвая, что
\[
\int_{t^{\prime}}^{t} \operatorname{Re}\left[\lambda_{j}\left(t_{1}\right)-\lambda_{s}\left(t_{1}\right)\right] d \tau_{1} \rightarrow-\infty
\]

при $t \rightarrow \infty$, получаем
\[
\left|\exp \int_{t^{\prime}}^{t}\left[\lambda_{j}\left(t_{1}\right)-\lambda_{s}\left(t_{1}\right)\right] d t_{1} \cdot y_{j s}\left(t^{\prime}\right)\right|<\frac{\varepsilon}{2},
\]

если $t>t^{\prime \prime}$.
Следовательно, из формулы (5.7.17) находим

и, значит,
\[
\begin{array}{c}
\left|y_{j_{s}}(t)\right|<\varepsilon \text { прн } t>\max \left(t^{\prime}, t^{\prime \prime}\right) \\
\lim _{t \rightarrow \infty} y_{j s}(t)=0=\delta_{j s} .
\end{array}
\]

Если же $j \in I$, то на основании формулы (5.7.16), учитывая ограниченность подинтегральной функции при $t \rightarrow \infty$, имеем
\[
y_{j_{s}}(t)=\delta_{j s}-\int_{i}^{\infty} \exp \int_{\tau}^{t}\left[\lambda_{j}\left(t_{1}\right)-\lambda_{s}\left(t_{1}\right)\right] d t_{1} \sum_{k} Q_{j k}(\tau) y_{k s}(\tau) d \tau \rightarrow \delta_{j s} .
\]

Таким образом, равенство (5.7.15) доказано. Следовательно,
\[
y_{s}(t)=e_{s}+\eta_{s}(t),
\]

где $\boldsymbol{\eta}_{s}(t) \rightarrow 0$ при $t \rightarrow \infty$.
Возвращаясь к переменной $\boldsymbol{x}$, в силу формулы (5.7.5) получаем, что $L$-диагональная система (5.7.1) имеет систему решений вида
\[
\boldsymbol{x}_{s}(t)=\exp \int_{i_{0}}^{t} \lambda_{s}\left(t_{1}\right) d t_{1} \cdot\left[e_{s}+\eta_{s}(i)\right] \quad(s=1, \ldots, n ; t \geqslant T) .
\]

Эта система будет фундаментальной, так как при достаточно большом $t$, очевидно, детерминант Вронского
\[
W(t)=\operatorname{det}\left[x_{j_{s}}(t)\right]=\exp \int_{t_{0}}^{t} \sum_{s} \lambda_{s}\left(t_{1}\right) d t_{1} \cdot \operatorname{det}\left[\hat{\delta}_{j_{s}}+\eta_{j_{s}}(t)\right]
eq 0 .
\]

Ввиду того, что линейная система (5.7.1) для каждого начального условия $\boldsymbol{x}_{s}(T)=\boldsymbol{c}_{s}$ допусхает единственное решение, определенное в промежутке $\left[t_{0}, \infty\right)$, оундаментальную систему (5.7.18) можно однозначно продолжить на промежуток $\left[t_{0}, \infty\right)$.

Следствие. Если для L-диагональной системы (5.7.1) существуют предель
\[
\alpha_{s}=\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \int_{t_{0}}^{t} \operatorname{Re} \lambda_{s}\left(t_{1}\right) d t_{1} \quad(s=1, \ldots, n),
\]

то эта система является правильной, причем совокупность чисел $a_{s}$ представляет собой ее полный спектр.
Действительно, на основании формулы (5.7.18) будем иметь
\[
\chi\left[x_{s}(t)\right]=\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \int_{t_{0}}^{t} \operatorname{Re} \lambda_{s}\left(t_{1}\right) d t_{1}=\alpha_{s} \quad(s=1, \ldots, n) .
\]

Кроме того, так как
\[
\begin{array}{l}
\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \int_{t_{0}}^{t} \operatorname{ReSp}\left[\Lambda\left(t_{1}\right)+Q\left(t_{1}\right)\right] d t_{1}=\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \int_{t_{0}}^{t} \sum_{s} \operatorname{Re} \lambda_{s}\left(t_{1}\right) d t_{1}+ \\
+\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \int_{t_{0}}^{t} \operatorname{Re} \operatorname{Sp} Q\left(t_{1}\right) d t_{1}=\sum_{s} \alpha_{s}+0=\sum_{s=1}^{n} \alpha_{s},
\end{array}
\]

то система (5.7.1) правильная (гл. III, $\S 7$ и 11) и $\left\{\alpha_{s}\right\}$ есть ее спектр.