Рассмотрим действительную нелинейную систему
\[
\frac{d x}{d t}=A(t) x+f(t, x),
\]

где
\[
\begin{array}{c}
A(t) \in C\left[t_{0}, \infty\right), \sup _{t}\|A(t)\|<\infty, \text { и } \quad f(t, \boldsymbol{x}) \in C_{t x}^{(0,1)} \\
\left(t_{0} \leq t<\infty,\|x\|<h\right),
\end{array}
\]

причем
\[
\|\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{x})\|(t)\|\boldsymbol{x}\|^{m} \quad(m>1)
\]

и $\psi(t)-$ непрерывная положительная функция при $t_{0} \leqslant t<\infty$ такая, что $^{3}$ )
\[
\chi\left[\psi\left(t_{i}\right]=0 .\right.
\]

Норма матрицы $A=\left[a_{j k}\right]$ здесь понимается в смысле $I$ нормы (г.л. I, § 4):
\[
\|A\|=\max _{i} \sum_{k}\left|a_{j k}\right|
\]

Теорема (критерий Ляпунова). Ecлu cucmeма первого приближения
\[
\frac{d \xi}{d t}=A(t) \xi
\]

правильная (см. гл. III, § 11) и все ее характеристические показапели $x_{k}(k=1, \ldots, n)$ отрицапельны, причем выполнено условие нелинейности (4.12.2), то тризиальное ренение $\boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ полной rовı $n$ pи $t \rightarrow+\infty$.
Рис. 40.
Доказательство (см. [14]). Пусть
\[
x_{k} \leqslant-x<0 \quad(k=1, \ldots, n) .
\]

В системе (4.12.1) выполним преобразование
\[
\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y} e^{-\gamma\left(t-t_{0} \mathrm{i}\right.},
\]

где $0<\gamma<\alpha$ (рис. 40). Тогда будем иметь
\[
\frac{d y}{d t}=B(t) y+g(t, y),
\]

где
\[
B(t)=A(t)+\gamma E
\]

H
\[
\boldsymbol{g}(t, \boldsymbol{y})=e^{\gamma\left(t-t_{0}\right.} \boldsymbol{f}\left(t, \boldsymbol{y} e^{-\gamma\left(t-t_{0}\right)}\right),
\]
1) При формулировке Ляпунова $\psi(t)$ – нотожигельная ностоянная.

причем
\[
\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)=\boldsymbol{y}\left(t_{0}\right) \text { и } \boldsymbol{g}(t, y) \in C_{t \boldsymbol{y}}^{0.1}\left(t_{0} \leqslant t<\infty,\|\boldsymbol{y}\|<h e^{\text {Ү } \left.t-t_{0}\right)}\right) .
\]

Легко видеть, что для системы (4.12.6) система первого приближения
\[
\frac{d \eta}{d t}=B(t) \eta
\]

правильная. Действительно, пусть $\beta_{k}(k=1, \ldots, n)$-характеристические показатели линейной системы (4.12.9). Очевидно,
\[
\beta_{k}=\alpha_{k}+\gamma<0 \quad(k=1, \ldots, n) .
\]

Учитывая правильность системы (4.12.3) и формулу (4.12.7), имеем
$\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \int_{t_{0}}^{t} \mathrm{Sp} B\left(t_{1}\right) d t_{1}=$
\[
=\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \int_{t_{0}}^{t}\left[\mathrm{Sp} A\left(t_{1}\right)+n \gamma\right] d t_{1}=\sum_{k} \alpha_{k}+n \gamma=\sum_{k} \beta_{k}
\]

Следовательно, система (4.12.9) правильная.
Пусть $\mathrm{H}(t) \quad\left(\mathrm{H}\left(t_{0}\right)=E\right)$ – нормированная фундаментальная матрица системы (4.12.9) Используя метод вариаций произвольных постоянных, нелинейное дифференциальное уравнение (4.12.6) при начальных условиях: $\boldsymbol{y}\left(t_{0}\right)=\boldsymbol{x}_{0}$ – можно заменить равносильным интегральным уравнением
\[
y(t)=\mathrm{H}(t) \boldsymbol{y}\left(t_{0}\right)+\int_{t_{0}}^{t} K(t, \tau) g(\tau, y(\tau)) d \tau,
\]

где
\[
K(t, \tau)=\mathrm{H}(t) \mathrm{H}^{-1}(\tau) .
\]

Согласно локальной теореме существования ренений, для любой пары $\left(t_{0}, \boldsymbol{x}_{0}\right)$, где $\left\|\boldsymbol{x}_{0}\right\|<h$, существует решение $\boldsymbol{y}(t)$ дифференциального уравнения (4.12.6), а следовательно, и интегрального уравнения (4.12.10), удовлетворяющее начальному условию:
\[
y\left(t_{0}\right)=x\left(t_{0}\right)=x_{0},
\]

определенное в некотором интервале $t_{0} \leqslant t<t_{0}+l$, причем $\|\boldsymbol{y}(t)\|<h$ при $t \in\left[t_{0}, t_{0}+t\right]$ и число $l$, вообще говоря, зависит от решения $\boldsymbol{y}(t)$.

Так как все характеристические показатели $3,(k=1, \ldots, n)$ линейной системы (4.12.9) отрицательны, то существует положительная постоянная $c_{1}$ такая, что
\[
\|\mathrm{H}(t)\|<c_{1} \text { при } t_{1} \leq t<\infty\left(c_{1} \geqslant 1\right) .
\]

Кроме того, на основании оценки матриц Коши $K(t, \tau)$ для правильной системы с отрицательными характеристическими показателями ( $\$ 11$, следствие) имеем
\[
\|K(t, \tau)\|<c_{2} e^{\varepsilon\left(\tau-t_{0}\right)}
\]

при $t_{0} \leqslant \tau \leqslant t<\infty$.
Далее, на основании формул (4.12.8) и (4.12.2) при $t_{0}<t<t_{0}-1$ получаем
\[
\|\boldsymbol{g}(t, \boldsymbol{y})\|=e^{\gamma\left(t-t_{0}\right)}\left\|\boldsymbol{f}\left(t, \boldsymbol{y} e^{-\gamma\left(t-t_{0}\right)}\right)\right\|<c_{3} e^{(\varepsilon-i m-1) \gamma\left(t-t_{0}\right)}\|\boldsymbol{y}\|^{m},
\]

где $c_{3}$– достаточно большая положительная постояниая. Отсюда, оценивая по норме при $t_{0} \leqslant t<t_{0}+l$ левую и правую части интегрального уравнения (4.12.10), будем иметь
\[
y(t)\|\leqslant\| H(t)\|\| y\left(t_{0}\right)\left\|+\int_{t_{0}}^{t}\right\| K(t, \tau)\|\| g(\tau, \zeta \prime(i)) \| d \tau,
\]

нли
\[
\|\boldsymbol{y}(t)\| \leqslant c_{1}\left\|\boldsymbol{y}\left(t_{0}\right)\right\|+\int_{t_{0}}^{t} c_{2} c_{3} e^{[2 \varepsilon-(m-1) \eta\}\left(\tau-t_{0}\right)}\|\boldsymbol{y}(\tau)\|^{m} d \tau .
\]

Выберем положительное число є столь малым, чтобы имело место неравенство
\[
\delta=(m-1) \gamma-2 \varepsilon>0 .
\]

Тогда из неравенства (4.12.13) при $t_{0} \leq t<t_{0}-t$ выводпм
\[
\|y(t)\| \leqslant c_{1}\left\|\boldsymbol{y}\left(t_{0}\right)\right\|+\int_{t_{0}}^{t} c_{4} e^{-\delta\left(\tau-t_{0}\right)}\|\boldsymbol{y}(\tau)\|^{m} d \tau,
\]

где
\[
c_{4}=c_{3} c_{3} .
\]

Из неравенства (4.12.14), используя лемму Бихари (следствие 2 из $\S 2$ гл. II), находим если только
\[
(m-1) c_{1}^{m-1} \| \boldsymbol{y}\left(t_{0}\right){ }_{1}^{m-1} \int_{t_{0}}^{t} c_{4} e^{-\delta\left(\tau-t_{0}\right)} d \tau<1 .
\]

TaK как
\[
\int_{t_{0}}^{t} e^{-\delta\left(\tau-t_{0}\right)} d t<\frac{1}{\delta}<\infty,
\]

то неравенство (4.12.16) всегда можно считать вынотненным за счет выбора окрестности начальных данных $\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)=\boldsymbol{y}\left(t_{0}\right)$. Из формулы (4.12.15) следует, что если $\left\|\boldsymbol{y}\left(t_{0}\right)\right\|$ достаточно мало, то при любом $t \in\left[t_{0}, t_{0}-()\right.$ точка $y(t)$ является внутренней точкой области $Z=\left\{t_{0} \leqslant t<\infty, \mid y \| \leqslant \frac{h}{2}<h\right\}$ и, следовательно, решение $\boldsymbol{y}(t)$ бесконечно продолжаемо вправо, т. е. можно положить $l=\infty$. Таким образом, в бесконечном промежутке $t_{0} \leqslant t<\infty$ выполнено неравенство
\[
\|y(t)\| \leqslant N^{y}\left\|y\left(t_{0}\right)\right\|<\frac{h}{2},
\]

где $N$-некоторая постоянная, зависящая от начального момента $t_{0}$.

Возвращаясь к переменной $x$, в силу формулы (4.12.5) при $t_{0} \leq t<\infty$ и $\left\|\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)\right\|<\Delta<h$ будем иметь
\[
\|\boldsymbol{x}(t)\| \leqslant N\left\|\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)\right\| e^{-\gamma\left(t-t_{0}\right)},
\]

где постоянная $\Delta$ достаточно мала.
Отсюда следует, что тривиальное решение $\boldsymbol{x} \equiv 0$ нелинейной системы (4.12.1) экспоненциально устойчиво по Ляпунову при $t \rightarrow \infty$.
Теорема доказана,
Следствие. Любое решение $\boldsymbol{x}(t)$ нелинейной дифференциальной систены-(4.12.1) с начальными данными $\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)$, принадлежацими достаточно палой окрестности $\left\|\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)\right\|<\Delta$, uмеет характеристический показатель, удоелетворяюций неравенству
\[
y[\boldsymbol{x}(t)] \leqslant \max _{k} \alpha_{k}
\]
ной системы (4.12.3).
Действительно, из неравенстза (4.12.18) получаем
\[
\gamma_{t}[\boldsymbol{x}(t)] \leqslant-\gamma,
\]

а так как число – $\gamma$ может быть выбрано сколь угодно близким
к $\max _{k} x_{k}$, то отсюда следует неравенство (4.12.19).