Рассмотрим систему
\[
\frac{d y}{d t}=A y+f(t),
\]

где $\boldsymbol{y}$ – $(n \times 1)$-вектор, $A=\left[a_{j_{k}}\right]$ – постоянная $(n \times n)$-матрица и $\boldsymbol{f}(t)$ – почти периодический $(n \times 1)$-вектор.

Мы будем изучать свойства решений $\eta(t)$, ограниченных на всей действительной оси, т. е. таких, что
\[
\sup _{\boldsymbol{t}}\|\boldsymbol{\eta}(t)\|=M<\infty .
\]

Лемма. Если скалярное уравнение
\[
\frac{d y}{d t}=\lambda y+f(t)
\]

где $\lambda=\mu+i
u-$ комплексное число и $f(t)-$ п. п. функция, имеет ограниченное решение
\[
y=\eta(t),
\]

то это решение почти периодическое.
Доказательство (см. [73]). Общее решение уравнения (17.3) имеет вид
\[
y(t)=e^{\lambda t}\left[c+\int_{0}^{t} e^{-\lambda s} f(s) d s\right]
\]

где $c$ – произвольная постоянная,

1) Пусть $\alpha=\operatorname{Re} \lambda>0$. Тогда $\left\|e^{\lambda t}\right\|=e^{\alpha t} \rightarrow \infty$ при $t \rightarrow \infty$. Из формулы (17.4) вытекает, что для того, чтобы $y(t)$ было ограниченным, необходимо, чтобы
\[
\lim _{t \rightarrow \infty}\left[c+\int_{0}^{t} e^{-\lambda s} f(s) d s\right]=c+\int_{0}^{\infty} e^{-\lambda s} f(s) d s=0 .
\]

Отсюда
\[
c=-\int_{0}^{\infty} e^{-\lambda s} f(s) d s
\]

причем, так как
\[
\left|e^{-\lambda s} f(s)\right| \leqslant \Gamma e^{-\alpha s} \quad(s \geqslant 0),
\]

где
\[
\Gamma=\sup _{s}|f(s)|,
\]

то интеграл (17.5) сходится. Поэтому ограниченное решение существует и имеет вид
\[
\eta(t)=-\int_{t}^{\infty} e^{\lambda(t-s)} f(s) d s,
\]

причем
\[
|\eta(t)| \leqslant \int_{0}^{\infty}\left|e^{\lambda(t-s)}\right||f(s)| d s \leqslant \Gamma \int_{0}^{\infty} e^{\alpha(t-s)} d s=\frac{\Gamma}{\alpha} .
\]

Если $\tau=\tau_{f}(\varepsilon)$ есть $\varepsilon$-почти период функции $f(t)$, то имеем
\[
\eta(t+\tau)=-\int_{t+\tau}^{\infty} e^{\lambda(t+\tau-s)} f(s) d s=-\int_{0}^{\infty} e^{\lambda(t-s)} f(s+\tau) d s ;
\]

отсюда
\[
\begin{array}{l}
|\eta(t+\tau)-\eta(t)|= \\
=\left|\int_{t}^{\infty} e^{\lambda(t-s)}[f(s+\tau)-f(s)] d s\right| \leqslant \\
\leqslant \sup _{s}|f(s+\tau)-f(s)| \cdot \int_{t}^{\infty} e^{\alpha(t-s)} d s<\frac{\varepsilon}{\alpha} .
\end{array}
\]

Следовательно, функция $\eta(t)$ почти периодическая.

2) Пусть $\alpha=\operatorname{Re} \lambda<0$. Tогда $\left|e^{\lambda t}\right|=e^{a t} \rightarrow \infty$ при $t \rightarrow-\infty$. Аналогично случаю 1) получаем, что ограниченное решение имеет вид
\[
\begin{array}{c}
\eta(t)=\int_{-\infty}^{t} e^{\lambda(t-s)} f(s) d s \\
\left(|\eta(t)| \leqslant \frac{\Gamma}{|\alpha|}\right)
\end{array}
\]

и является почти периодическим.
3) Пусть $\alpha=\operatorname{Re} \lambda=0, \lambda=i v$ и существует ограниченное решение
\[
\eta(t)=e^{i v t}\left[c_{0}+\int_{0}^{t} e^{-i v s} f(s) d s\right] .
\]

Тогда
\[
\int_{0}^{t} e^{-i v s} f(s) d s
\]

ограничен и, следовательно, представляет собой п. п. функцию (§7). Таким образом, в этом случае все решения
\[
y(t)=e^{i v t}\left[c+\int_{0}^{t} e^{-i v s} f(s) d s\right] \quad(|c|<\infty)
\]

ограничены и почти периодические.
Замечание. Если однородное уравнение
\[
\frac{d x}{d t}=\lambda x
\]

не имеет нетривиальных ограниченных на $(-\infty, \infty)$ решений, т. е. $\operatorname{Re} \lambda
eq 0$, то неоднородное уравнение (17.3) допускает единственное ограниченное и почти периодическое решение.

Если же однородное уравнение (17.6) имеет нетривиальные ограниченные решения, т. е. $\operatorname{Re} \lambda=0$, то неоднородное уравнение (17.3) или не имеет ограниченных на ( $-\infty, \infty$ ) решений, или существует бесконечное множество ограниченных и почти периодических решений.

Обобщенная теорема Бора-Нейгебауэра. Всякое ограниченное решение линейной дифференциальной систекы (17.1) с постоянной матрицей и почти периодическим свободным членом является почти периодическим ${ }^{1}$ ).
1) Эта теорема обобщает аналогичный результат Бора и Нейгебауэра [74], полученный ими для линейного дифференциального уравнения с, постоянными коэффициентами и почти периодическим свободным членом.

С помощью неособенного преобразования
\[
\boldsymbol{y}=S \boldsymbol{x}
\]
(det $S
eq 0$ ) систему (17.1) можно перевести в систему с постоянной нижней треугольной матрицей
\[
B=S^{-1} A S=\left[\begin{array}{ccccc}
\lambda_{1} & & & \\
b_{21} & \lambda_{2} & 0 \\
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\
b_{n 1} & b_{n 2} & \ldots & \lambda_{n}
\end{array}\right]
\]

Имеем
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d z_{1}}{d t}=\lambda_{1} z_{1}+g_{1}(t), \\
\frac{d z_{2}}{d t}=b_{21} z_{1}+\lambda_{2} z_{2}+g_{2}(t), \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \\
\frac{d z_{n}}{d t}=b_{n 1} z_{1}+b_{n 2} z_{2}+\cdots+\lambda_{n} z_{n}+g_{n}(t),
\end{array}\right\}
\]

где
\[
\boldsymbol{g}(t)=\operatorname{colon}\left[g_{1}(t), \ldots, g_{n}(t)\right]=S^{-1} \boldsymbol{f}(t)
\]
— очевидно, п. п. вектор-функция. Пусть
\[
\eta(t)=\left[\begin{array}{c}
\eta_{1}(t) \\
\cdot \\
\eta_{n}(t)
\end{array}\right]
\]
— ограниченное решение системы (17.1), тогда
\[
\boldsymbol{z}^{(0)}(t)=S^{-1} \eta(t)=\left[\begin{array}{c}
z_{1}^{(0)}(t) \\
\cdot \\
z_{n}^{(0)}(t)
\end{array}\right]
\]

будет являться ограниченным решњнием треугольной системы (17.7). Так как
\[
\frac{d z_{1}^{(0)}}{d t}=\lambda_{1} z_{1}^{(0)}+g_{1}(t),
\]

то в силу леммы имеем, что функция $z_{1}^{\text {i0 }^{\prime}}(t)$ почти периодическая. Далее, так как
\[
\frac{d z_{2}^{(0)}}{d t}=\lambda_{2} z_{2}^{(0)}+\left[b_{21} z_{1}^{(0)}(t)+g_{2}(t)\right],
\]

то на основании леммы функция $z_{2}^{(0)}(t)$ также почти периодическая. Продолжая это рассуждение, находим, что все функции $z_{k}^{(0)}(t)(k=1, \ldots, n)$ являются почти периодическими, а следовательно, решения $\boldsymbol{z}^{(0)}(t)$ и $\boldsymbol{\eta}(t)$ также почти периодические.
Теорема доказана.
Следствие. Если корни $\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots, \mu_{n}$ характеристического уравнения
\[
\operatorname{det}(A-\mu E)=0
\]

не имеют нулевых вещественных частей:
\[
\operatorname{Re} \mu_{j}
eq 0 \quad(j=1, \ldots, n),
\]

то система (17.1) допускает единственное почти периодическое решение (см. гл. IV, § 10).
В этом случае, предполагая, что
\[
\boldsymbol{f}(t) \propto \sum_{\lambda} \boldsymbol{b}(\lambda) e^{i \lambda t},
\]

нетрудно построить ряд Фурье ограниченного п. п. решения
\[
\eta(t) \propto \sum_{\lambda} c(\lambda) e^{i \lambda t} .
\]

Формально подставляя ( $\$ 10$ ) эти ряды в систему (17.1), будем иметь
\[
\sum_{\lambda} i \lambda c(\lambda) e^{i \lambda t}=\sum_{\lambda} A c(\lambda) e^{i \lambda t}+\sum_{\lambda} \boldsymbol{b}(\lambda) e^{i \lambda t} .
\]

Отсюда
\[
\boldsymbol{c}(\lambda)=-(A-i \lambda E)^{-1} \boldsymbol{b}(\lambda) \quad(\operatorname{det}(A-i \lambda E)
eq 0)
\]

и, следовательно,
\[
\boldsymbol{\eta}(t) \propto \sum_{\lambda}(i \lambda E-A)^{-1} \boldsymbol{b}(\lambda) e^{i \lambda t} .
\]