1. Методом вариации произвольных постоянных Лагранжа найти частное решение уравнения
\[
\ddot{y}+2 p \hat{y}+\left(p^{2}+q^{2}\right) y=f(t)
\]
( $p, q$ — постоянные; $f(t) \in C[0, \infty)$ ), удовлетворяющее условиям:
\[
y(0)=0, \quad \dot{y}(0)=0 .
\]

2. Доказать, что полином
\[
f(z)=z^{4}+p z+q
\]
( $p, q$ действительны) есть полином Гурвица тогда и только тогда, когда $p>0$ и $q>0$.

Вывести условия Гурвица для полинома $f(z)$, если его коэффициенты $p$ и $q$ — комплексные числа.
3. Пусть $f(z)$ — стандартный поляном и $f(-\delta)>0(\delta>0)$, причем для полинома
\[
g(z)=f(z-\delta)
\]

выполнены условия Гурвица.
Доказать, что корни $z_{\text {; }}$ полинома $f(z)$ удовлетворяют усиленному условию:
\[
\operatorname{Re} z_{j}<-\delta \text {. }
\]
4. Написать условия Гурвица для возвратного уравнения
\[
z^{4}+p z^{3}+q z^{2}+p z+1=0
\]
(p и $q$ действительны).
5. Найти область асимптотической устойчивости для скалярной системы
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=-x+\alpha y+\beta z, \\
\frac{d y}{d t}=-\alpha x-y+\alpha z, \\
\frac{d z}{d t}=-\beta x-\alpha y-z
\end{array}\right\}
\]
(а и $\beta$ — действительные постоянные).
6. Используя следствие теоремы 2 , указать достаточные условия асимитотической устойчивости линейной скалярной системы
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=(a+\alpha t) x+(b+\beta t) y, \\
\frac{d y}{d t}=(c+\gamma t) x+(d+\delta t) y
\end{array}\right\}
\]
( $a, b, c, d, \alpha, \beta, \gamma, 8$ — действительные постоянные).
7. Определить область устойчивости системы
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=a x+b y \\
\frac{d y}{d t}=c x+d y
\end{array}\right\}
\]
( $a, b, c$, и $d$ — действительные постоянные).
8. Построить годограф Михайлова для полинома
\[
f(z)=z^{3}+z^{2}+z+2
\]

и определить расположение его корней на комплексной плоскости.
9. Методом Михайлова вывести условия Гурвица для полинома
\[
f(z)=z^{9} \mp p z+q
\]
(р и q действительны).

10. Доказать аналог леммы Гронуолла. Пусть $\varphi(t), \psi(t) \chi \mathcal{\chi}(t) \in C[a, b]$. и $\chi(t)>0$, при $a \leqslant t \leqslant b$, причем
\[
\varphi(t) \leqslant \psi(t)+\int_{a}^{t} \varphi(s) \chi(s) d s \quad(a \leqslant t<b),
\]

Тогда
\[
\varphi(t) \leqslant \psi(t)+\int_{a}^{t} \psi(s) \exp \left[\int_{s}^{t} \chi(u) d u\right] d s
\]

при $a \leqslant t \leqslant b$.
11. Пусть
\[
\frac{d x}{d t}=A(t) x
\]

где $A(t) \in C\left[t_{0}, \infty\right)$.
Доказать, что
\[
\left\|\dot{x}\left(t_{0}\right)\right\| \exp \left[-\int_{t_{0}}^{t}\left\|A\left(t_{1}\right)\right\| d t_{1}\right] \leqslant\|x(t)\| \leqslant\left\|x\left(t_{0}\right)\right\| \exp \int_{t_{0}}^{t}\left\|A\left(t_{1}\right)\right\| d t_{1}
\]

при $t \geqslant t_{0}$.
12. Доказать, что если
\[
\int_{t_{0}}^{\infty}\left\|A\left(t_{1}\right)+A^{T}\left(t_{1}\right)\right\| d t_{1}<\infty,
\]

то все решения действительной системы (*) из 11 ограничены на $\left[t_{0}, \infty\right.$ ).
13. Доказать, что если $a>0$ и
\[
\int_{t_{0}}^{\infty}\left\|b\left(t_{1}\right)\right\| d t_{1}<\infty,
\]

то все решения скалярного уравнения
\[
\ddot{x}+[a+b(t)] x=0
\]

ограничены на $\left[t_{0}, \infty\right)$.
14. Доказать, что линейная система
\[
\frac{d x}{d t}=A(t) x
\]

равномерно устойчива в области $T<t_{0}<\infty$ тогда и только тогда, когда ее матрица Коши
\[
K\left(t, t_{0}\right)=X(t) X^{-1}\left(t_{0}\right)
\]

ограничена в области $Z\left\{t_{0} \leqslant t<\infty, T<t_{0}<\infty\right\}$ (К онти).
15. Пусть система
\[
\frac{d x}{d t}=A x
\]
( $A=$ const) устойчива.

Показать, что если
\[
B(t) \in C[0, \infty) \text { и } \int_{0}^{\infty}\|B(t)\| d t<\infty,
\]

то система
\[
\frac{d y}{d t}=[A+B(t)] y
\]

равномерно устойчива в области $[0, \infty)$.
16. Показать, что все решения скалярной системы
\[
\frac{d \dot{x}}{d t}=y, \quad \frac{d y}{d t}=-\frac{2 y}{t} \quad(t \geqslant 1)
\]

ограничены на $[1, \infty)$; однако эта система не является равномерно устойчивой в области $1 \leqslant t, t_{0}<\infty$.
17. Пусть система
\[
\frac{d x}{d t}=A(t) x,
\]

где $A(t) \in C\left[t_{0}, \infty\right)$, устойчива при $t \rightarrow \infty$ и
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} \int_{t_{0}}^{t} \operatorname{Sp} A\left(t_{1}\right) d t_{1}>-\infty, \quad \int_{t_{0}}^{\infty}\left\|f\left(t_{1}\right)\right\| d t_{1}<\infty .
\]

Доказать, /что все решения неоднородной системы
\[
\frac{d y}{d t}=A(t) y+f(t)
\]

ограничены на $[t, \infty)$.
18. Пусть $A(t) \in C\left\{t_{0}, \infty\right)$ и все решения системы
\[
\frac{d x}{d t}=A(t) x
\]

ограничены на $\left[t_{0}, \infty\right)$, причем
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} \int_{t_{0}}^{t} \operatorname{Sp} A(t) d t>-\infty .
\]

Тогда, если
\[
\int_{t_{0}}^{\infty}\|B(t)\| d t<\infty,
\]

то все решения системы
\[
\frac{d y}{d t}=[A(t)+B(t)] y
\]

также ограничены на $\left[t_{0}, \infty\right.$ ) (см. [6]).
Рассмотреть случай скалярного уравнения
\[
\ddot{x}+a(t) x=0 .
\]