Определение. Алгебраический полином
$$\begin{array}{c}f(z)=a_0{z}^n+a_1{z}^{n-1}+\dots +a_n\\ (a_{0}eq0,z=x+iy)\end{array}$$

пазывается возвратным, если коэффициенты его, симметричные относительно крайних членов полинома, равны между собой, т. е.
$$a_k=a_{n-k}(k=0,1,\dots ,E\left(\frac{n}{2}\right)).$$

Отсюда вытекает, что для возвратного полинома $f(z)$ степени $n$ справедливо тождество
$$f\left(\frac{1}{z}\right)\equiv \frac{1}{z^n}f(z)(zeq0).$$

Обратно, если для полинома $f(z)$ выполнено тождество (3.21.3), то этот полином возвратный.

Приравняв нулю возвратный полином, получим возвратное цравнение
$$f(z)\equiv a_0{z}^n+a_1{z}^{n-1}+\dots +a_{1}z+a_0=0.$$

Если степень $n$ возвратного уравнения четная, то с помощью подстановки
$$t=z+\frac{1}{z}$$

его можно свести к уравнению степени $\frac{n}{2}$ относительно неизвестного $t$.

Возвратное уравнение нечетной степени $n$ имеет корень $z_1=$ $=—1$, выделив который получим возвратное уравнение четной степени $n-1$. Таким образом, указанная выше подстановка позволяет привести возвратное уравнение нечетной степени $n$ к алгебраическому уравнению степени $\frac{n-1}{2}$.

Лемма. Если уравнение (3.21.4) возвратное, то каждому корню его $z_{s}eq\pm 1$ соответствует взаимно обратный корень
$$z_t=\frac{1}{z_s}$$

пой же кратности. Если, сверх того, данное уравнение имеет корень $z=1$, то кратность этого корня четная; если же оно имеет корень $z=-1$, то кратность последнего сравнима со степенью уравнения п по модулю два ${}^1$ ).

Доказательство. Дейстзительно, корни возвратного уравнения удовлетворяют условию (3.21.5), так как, если
$$f\left(z_s\right)=0\left(z_{s}eq0\right),$$

то на основании тождества (3.21.3) имеем
$$f\left(\frac{1}{z_s}\right)=\frac{1}{z_s^n}f\left(z_s\right)=0.$$

Таким образом, $\frac{1}{z_s}=z_t$ есть также корень уравнения (рис. 27). Заметим, что в случае $z_s=\pm 1$ получаем очевидный результат $z_t=\pm 1$.
Покажем теперь, что кратности взаимно обратных корней возвратного уравнения одинаковы.
Обозначим через ${\alpha }_s$ кратности корней ${\tilde{z}}_s(s=1,\dots ,m)$, расположенных внутри единичного круга $|z|<1$ и на верхней полуокружности $|z|=1$, $\mathrm{Im}z>0$, а через ${\beta }_s$ кратности соответствующих взаимно обратных корней $\frac{1}{z_s}$, расположенных, очевидно, вне единичРис. 27. ного круга $|z|>1$ и на нижней полуокружности $|z|=1$, Im $z<0$. Кроме того, кратности возможных корней $z=1$ и $z=-1$, лежащих на окружности $|z|=1$ ( $\mathrm{Im}z=0$ ), обозначим, соответственно, через $\gamma$ и $\delta$. Если какие-нибудь из указанных корней отсутствуют, то мы условно считаем, что кратность их равна нулю. Отсюда разложение многочлена $f(z)$ на множители будет иметь вид
$$\begin{array}{r}f(z)=a_0{(z-z_1)}^{{\alpha }_1}\dots {(z-z_m)}^{{\alpha }_m}{(z-\frac{1}{z_1})}^{{\beta }_1}\dots \\ \dots {(z+\frac{1}{z_m})}^{{\beta }_m}(z-1{)}^{\gamma }(z+1{)}^{\circ },\end{array}$$

где
$${\alpha }_1+\dots +{\alpha }_m+{\beta }_1+\dots +{\beta }_m+\gamma +\delta =n.$$
1) То есть кратность корня $z=-1$ чегная, если $n$ четно, и нечетная, если $n$ нечетно.

Так как полином $f(z)$ возвратный, то в силу тождества (3.21.3) инеем
$$\begin{array}{c}f(z)=z^{n}f\left(\frac{1}{z}\right)=a_0{z}^n{(\frac{1}{z}-z_1)}^{{\alpha }_1}\dots {(\frac{1}{z}-z_m)}^{{\alpha }_m}{(\frac{1}{z}-\frac{1}{z_1})}^{{\beta }_1}\dots \\ \dots {(\frac{1}{z}-\frac{1}{z_m})}^{\beta }{(\frac{1}{z}-1)}^{\gamma }{(\frac{1}{z}-1)}^{\delta }=a_0{(-z_1)}^{{\alpha }_1-{\beta }_1}\dots \\ \dots {(-z_m)}^{{\alpha }_m-{\xi }_m}(-1{)}^{\gamma }{(z-z_1)}^{{\beta }_1}\dots {(z-z_m)}^{\gamma }m{(z-\frac{1}{z_1})}^{{\alpha }_1}\dots \\ \cdots {(z-\frac{1}{z_m})}^{{\alpha }_m}(z-1{)}^{\gamma }(z+1{)}^{\delta }.\end{array}$$

В силу свойства единственности разложения (3.21.6) и (3.21.8) должны совпадать между собой; поэтому
$${\beta }_1={\alpha }_1,\dots ,{\beta }_m={\alpha }_m$$

и $\gamma$ четно.
Қроме того, из соотношения (3.21.7) получаем
$$\delta \equiv n(mod2{)}^1)\text{. }$$

Лемма доказана.
Следствие. Если еозвратное уравнение четной степени имеет корень $z=1$ или корень $z=-1$, то эти корни четной кратности.