Определение. Алгебраический полином
\[
\begin{array}{c}
f(z)=a_{0} z^{n}+a_{1} z^{n-1}+\ldots+a_{n} \\
\left(a_{0}
eq 0, \quad z=x+i y\right)
\end{array}
\]

пазывается возвратным, если коэффициенты его, симметричные относительно крайних членов полинома, равны между собой, т. е.
\[
a_{k}=a_{n-k} \quad\left(k=0,1, \ldots, E\left(\frac{n}{2}\right)\right) .
\]

Отсюда вытекает, что для возвратного полинома $f(z)$ степени $n$ справедливо тождество
\[
f\left(\frac{1}{z}\right) \equiv \frac{1}{z^{n}} f(z) \quad(z
eq 0) .
\]

Обратно, если для полинома $f(z)$ выполнено тождество (3.21.3), то этот полином возвратный.

Приравняв нулю возвратный полином, получим возвратное цравнение
\[
f(z) \equiv a_{0} z^{n}+a_{1} z^{n-1}+\ldots+a_{1} z+a_{0}=0 .
\]

Если степень $n$ возвратного уравнения четная, то с помощью подстановки
\[
t=z+\frac{1}{z}
\]

его можно свести к уравнению степени $\frac{n}{2}$ относительно неизвестного $t$.

Возвратное уравнение нечетной степени $n$ имеет корень $z_{1}=$ $=–1$, выделив который получим возвратное уравнение четной степени $n-1$. Таким образом, указанная выше подстановка позволяет привести возвратное уравнение нечетной степени $n$ к алгебраическому уравнению степени $\frac{n-1}{2}$.

Лемма. Если уравнение (3.21.4) возвратное, то каждому корню его $z_{s}
eq \pm 1$ соответствует взаимно обратный корень
\[
z_{t}=\frac{1}{z_{s}}
\]

пой же кратности. Если, сверх того, данное уравнение имеет корень $z=1$, то кратность этого корня четная; если же оно имеет корень $z=-1$, то кратность последнего сравнима со степенью уравнения п по модулю два ${ }^{1}$ ).

Доказательство. Дейстзительно, корни возвратного уравнения удовлетворяют условию (3.21.5), так как, если
\[
f\left(z_{s}\right)=0 \quad\left(z_{s}
eq 0\right),
\]

то на основании тождества (3.21.3) имеем
\[
f\left(\frac{1}{z_{s}}\right)=\frac{1}{z_{s}^{n}} f\left(z_{s}\right)=0 .
\]

Таким образом, $\frac{1}{z_{s}}=z_{t}$ есть также корень уравнения (рис. 27). Заметим, что в случае $z_{s}= \pm 1$ получаем очевидный результат $z_{t}= \pm 1$.
Покажем теперь, что кратности взаимно обратных корней возвратного уравнения одинаковы.
Обозначим через $\alpha_{s}$ кратности корней $\tilde{z}_{s}(s=1, \ldots, m)$, расположенных внутри единичного круга $|z|<1$ и на верхней полуокружности $|z|=1$, $\operatorname{Im} z>0$, а через $\beta_{s}$ кратности соответствующих взаимно обратных корней $\frac{1}{z_{s}}$, расположенных, очевидно, вне единичРис. 27. ного круга $|z|>1$ и на нижней полуокружности $|z|=1$, Im $z<0$. Кроме того, кратности возможных корней $z=1$ и $z=-1$, лежащих на окружности $|z|=1$ ( $\operatorname{Im} z=0$ ), обозначим, соответственно, через $\gamma$ и $\delta$. Если какие-нибудь из указанных корней отсутствуют, то мы условно считаем, что кратность их равна нулю. Отсюда разложение многочлена $f(z)$ на множители будет иметь вид
\[
\begin{array}{r}
f(z)=a_{0}\left(z-z_{1}\right)^{\alpha_{1}} \ldots\left(z-z_{m}\right)^{\alpha_{m}}\left(z-\frac{1}{z_{1}}\right)^{\beta_{1}} \ldots \\
\ldots\left(z+\frac{1}{z_{m}}\right)^{\beta_{m}}(z-1)^{\gamma}(z+1)^{\circ},
\end{array}
\]

где
\[
\alpha_{1}+\ldots+\alpha_{m}+\beta_{1}+\ldots+\beta_{m}+\gamma+\delta=n .
\]
1) То есть кратность корня $z=-1$ чегная, если $n$ четно, и нечетная, если $n$ нечетно.

Так как полином $f(z)$ возвратный, то в силу тождества (3.21.3) инеем
\[
\begin{array}{c}
f(z)=z^{n} f\left(\frac{1}{z}\right)=a_{0} z^{n}\left(\frac{1}{z}-z_{1}\right)^{\alpha_{1}} \ldots\left(\frac{1}{z}-z_{m}\right)^{\alpha_{m}}\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{z_{1}}\right)^{\beta_{1}} \ldots \\
\ldots\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{z_{m}}\right)^{\beta}\left(\frac{1}{z}-1\right)^{\gamma}\left(\frac{1}{z}-1\right)^{\delta}=a_{0}\left(-z_{1}\right)^{\alpha_{1}-\beta_{1}} \ldots \\
\ldots\left(-z_{m}\right)^{\alpha_{m}-\xi_{m}}(-1)^{\gamma}\left(z-z_{1}\right)^{\beta_{1}} \ldots\left(z-z_{m}\right)^{\gamma} m\left(z-\frac{1}{z_{1}}\right)^{\alpha_{1}} \ldots \\
\cdots\left(z-\frac{1}{z_{m}}\right)^{\alpha_{m}}(z-1)^{\gamma}(z+1)^{\delta} .
\end{array}
\]

В силу свойства единственности разложения (3.21.6) и (3.21.8) должны совпадать между собой; поэтому
\[
\beta_{1}=\alpha_{1}, \ldots, \quad \beta_{m}=\alpha_{m}
\]

и $\gamma$ четно.
Қроме того, из соотношения (3.21.7) получаем
\[
\left.\delta \equiv n(\bmod 2)^{1}\right) \text {. }
\]

Лемма доказана.
Следствие. Если еозвратное уравнение четной степени имеет корень $z=1$ или корень $z=-1$, то эти корни четной кратности.