Пусть в области $Q=\left\{0 \leqslant t<\infty, x \in D \subset \mathscr{R}^{n}\right\} \quad$ ( $D$-область) определена нелинейная система
\[
\frac{d x}{d t}=\varepsilon X(t, x),
\]

зависящая от малого положительного параметра $\varepsilon$, где
\[
\boldsymbol{X}(t, \boldsymbol{x}) \in C_{t}(\Omega) \cap \operatorname{Lip}_{x}(\mathbf{Q}),
\]

причем $\boldsymbol{X}(t, \boldsymbol{x})$ равномерно ограничена в $\mathrm{Q}$ :
\[
\|\boldsymbol{X}(t, \boldsymbol{x})\| \leqslant M
\]
$(\|\boldsymbol{X}\|$ – евклидова норма). Теорема Боголюбова (см. [56]). Пусть 1) для каждого $\boldsymbol{x} \in D$ существует равномерный по $\boldsymbol{x}$ конечный предел
\[
\boldsymbol{Y}(\boldsymbol{x})=\lim _{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N} \int_{0}^{N} \boldsymbol{X}(t, \boldsymbol{x}) d t \in C(D) ;
\]
2) усредненное уравнение
\[
\frac{d y}{d t}=\varepsilon \boldsymbol{Y}(\boldsymbol{y}), \boldsymbol{y}(0, \varepsilon)=\boldsymbol{x}_{0} \in D,
\]

имеет единственное решение $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}(t, \varepsilon) \subset D$, определенное при $\varepsilon=1$ на сегменте $\left[0, T_{1}\right]$. Тогда для каждого $\eta>0$ существует $\varepsilon_{0}=\varepsilon_{0}(\eta)>0$ такое, \”то решеніе $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}(t, \varepsilon)$ данного уравнения (5.4.1) и решение усредненного уравнения (5.4.4) с одинаковыми начальными условиями: $\boldsymbol{x}(0, \varepsilon)=\boldsymbol{y}(0, \varepsilon)=\boldsymbol{x}_{0}$ при $0 \leqslant \varepsilon<\hat{\varepsilon}_{0}$, будут удовлетворять неравенству
\[
\|\boldsymbol{x}(t, \varepsilon)-\boldsymbol{y}(t, \varepsilon)\|<\eta
\]

на некотором отрезке $0 \leqslant t \leqslant \frac{T}{\varepsilon}$, где $0<T \leqslant T_{1}$.
Доказательство. Пусть $\rho>0$ – расстояние начальной точки $\boldsymbol{x}_{0}$ от границы области $D$. Тогда в силу неравенства (5.4.2) решение $\boldsymbol{x}(t, \varepsilon)$ уравнения (5.4.1) с начальным условием: $\boldsymbol{x}(0, \varepsilon)=\boldsymbol{x}_{0}$, будет определено по меньшей мере в промежутке $0 \leqslant t \leqslant \frac{\rho}{M \varepsilon \sqrt{n}}$ (см. [12]). Примем
\[
T=\min \left(T_{1}, \frac{\rho}{M \sqrt{n}}\right) .
\]

Введем «медленное время»
\[
\tau=\varepsilon t \text {. }
\]

В таком случае уравнения (5.4.1) и (5.4.4) при $\varepsilon>0$ можно записать следующим образом:
\[
\frac{d \boldsymbol{x}}{d \tau}=\boldsymbol{X}\left(\frac{\tau}{\varepsilon}, \boldsymbol{x}\right) \equiv \boldsymbol{Y}(\tau, \boldsymbol{x}, \varepsilon)
\]

и
\[
\frac{d y}{d \tau}=Y(y) .
\]

Если положить
\[
\boldsymbol{Y}(t, \boldsymbol{x}, 0)=\boldsymbol{Y}(\boldsymbol{x}),
\]

то функция $\boldsymbol{Y}(t, \boldsymbol{x}, \varepsilon)$ будет в $\boldsymbol{\Omega}$ интегрально непрерывна по параметру $\varepsilon$ при $\varepsilon=0$. Действительно, на основании условия (5.4.3) при $0 \leqslant t<\infty$ и $\boldsymbol{x} \in D$ имеем
\[
\begin{array}{l}
\lim _{\varepsilon \rightarrow+0} \int_{0}^{t} Y(\tau, x, \varepsilon) d \tau= \lim _{\varepsilon \rightarrow+0} \int_{0}^{t} X\left(\frac{\tau}{\varepsilon}, x\right) d \tau= \\
=\lim _{\varepsilon \rightarrow+0} \varepsilon \int_{0}^{\frac{t}{\varepsilon}} X(\theta, x) d \theta=t \lim _{\varepsilon \rightarrow+0} \frac{1}{t / \varepsilon} \int_{0}^{\bar{\varepsilon}} X(\theta, x) d \theta= \\
=t \boldsymbol{Y}(\boldsymbol{x})=\int_{0}^{t} \boldsymbol{Y}(\boldsymbol{x}) d \tau=\int_{0}^{t} \boldsymbol{Y}(\tau, \boldsymbol{x}, 0) d \tau .
\end{array}
\]

Записывая уравнения (5.4.6) и (5.4.7) в интегральной форме при $0 \leqslant \tau \leqslant T$ и $\varepsilon>0$, получим
\[
\boldsymbol{x}(\tau, \varepsilon)=\boldsymbol{X}_{0}+\int_{0}^{\tau} \boldsymbol{Y}(\theta, \boldsymbol{x}(\theta, \varepsilon), \varepsilon) d \theta
\]

и
\[
\boldsymbol{y}(\tau)=\boldsymbol{x}_{0}+\int_{0}^{\tau} \boldsymbol{Y}(\boldsymbol{y}(\theta)) d \theta
\]

Отсюда, полагая
\[
\boldsymbol{x}(\tau, 0) \equiv y(\tau),
\]

будем иметь, что уравнение (5.4.8) справедливо при $\varepsilon \supseteqq 0$ и $\tau \in[0, T]$.

Рассмотрим семейство решений $\{x(\tau, \varepsilon)\}$, где $0 \leqslant \tau \leqslant T$ и $\varepsilon>0$. Это семейство равномерно ограничено на $[0, T]$, так как в силу неравенства (5.4.2), учитывая, что $\boldsymbol{Y}(\theta, \boldsymbol{x}, \varepsilon)=\boldsymbol{X}\left(\frac{\theta}{\varepsilon}, \boldsymbol{x}\right)$ при $\varepsilon>0$, из уравнения (5.4.8) получаем
\[
\|\boldsymbol{x}(\tau, \varepsilon)\| \leqslant\left\|\boldsymbol{x}_{0}\right\|+\int_{0}^{\tau}\|\boldsymbol{Y}(\theta, \boldsymbol{x}(\theta, \varepsilon), \varepsilon)\| d \theta \leqslant\left\|\boldsymbol{x}_{0}\right\|+M T .
\]

Кроме того, данное семейство является равностепенно непрерывным по $\tau$ на $[0, T]$ ввиду того, что на основании уравнений (5.4.6) и (5.4.7) производная $\frac{d x}{d \tau}$ равномерно ограничена на $[0, T]$ (см. пример из § 2).

В силу теоремы Арцеля из каждой последовательности $\boldsymbol{x}\left(\tau, \varepsilon_{k}\right)(k=1,2, \ldots)$, где $\varepsilon_{k} \rightarrow+0$, можно выделить равномерно сходящуюся на [0, T] подпоследовательность
\[
\boldsymbol{x}\left(\tau, \varepsilon_{p_{k}}\right) \underset{\tau}{\rightarrow} \tilde{y}(\tau)(0 \leqslant \tau \leqslant T) \text { при } \varepsilon_{p_{k}} \rightarrow 0 .
\]

Очевидно, имеем
\[
\boldsymbol{x}\left(\tau, \varepsilon_{p_{k}}\right)=\boldsymbol{x}_{0}+\int_{0}^{\tau} \boldsymbol{Y}\left(\theta, \boldsymbol{x}\left(\theta, \varepsilon_{p_{k}}\right), \varepsilon_{p_{k}}\right) d \theta \quad(k=1,2, \ldots) .
\]

Переходя к пределу при $k \rightarrow \infty$ в этом равенстве и используя теорему Красносельского – Крейна, получим
\[
\tilde{\boldsymbol{y}}(\tau)=\boldsymbol{x}_{0}+\int_{0}^{\bar{\gamma}} \boldsymbol{Y}(\theta, \tilde{\boldsymbol{y}}(\theta), 0) d \theta \equiv \boldsymbol{x}_{0}+\int_{0}^{\tau} \boldsymbol{Y}(\tilde{\boldsymbol{y}}(\theta)) d \theta \quad(0 \leqslant \tau \leqslant T) .
\]

Отсюда
\[
\frac{d y}{d \tau}=Y(\tilde{\boldsymbol{y}}(\tau))
\]

и $\tilde{y}(0)=x_{0}$. Так как уравнение (5.4.7) в силу условия теоремы при $0 \leqslant \tau \leqslant T$ имеет единственное решение $y(\tau)$, удовлетворяющее начальному условию: $\boldsymbol{y}(0)=x_{0}$, то
\[
\tilde{y}(\tau) \equiv y(\tau) \text { при } 0 \leqslant \tau \leqslant T .
\]

Следовательно, из лю бо й последовательности
\[
\boldsymbol{x}\left(\tau, \varepsilon_{k}\right)(k=1,2, \ldots) \text {, где } \varepsilon_{k} \rightarrow+0, \text { можно выбрать }
\]
подпоследовательность $\boldsymbol{x}\left(\tau, \varepsilon_{p_{k}}\right)$ ( $\left.k=1,2, \ldots\right)$, равномерно сходящуюся на $[0, T]$ к одной и той же предельной вектор-функции $y(\tau)$. На основании теоремы $§ 1$ отсюда следует, что семейство решений $\boldsymbol{x}(\tau, \varepsilon)$ при $\varepsilon \rightarrow+0$ равномерно на $[0, T]$ сходится к решению $y(\tau)$ усредненного уравнения (5.4.7), т. е.
\[
\|\boldsymbol{x}(\tau, \varepsilon)-\boldsymbol{y}(\tau)\|<\eta \text { при } \quad 0 \leqslant \tau \leqslant T, \quad 0 \leqslant \varepsilon<\varepsilon_{0}(\eta) .
\]

Возвращаясь к прежней перєменной $t$, окончательно получим
\[
\|\boldsymbol{x}(t, \varepsilon)-\boldsymbol{y}(t)\|<\eta \text { при } 0 \leqslant t<\frac{T}{\varepsilon}, \quad 0 \leqslant \varepsilon<\varepsilon_{0}(\eta),
\]

что и требовалось доказать.