Пусть в области $Q=\{0⩽t<\mathrm{\infty },x\in D\subset {\mathcal{R}}^n\}$ ( $D$-область) определена нелинейная система
$$\frac{dx}{dt}=\epsilon X(t,x),$$

зависящая от малого положительного параметра $\epsilon$, где
$$\mathit{X}(t,\mathit{x})\in C_t(\mathrm{\Omega })\cap {\mathrm{Lip}}_x(\mathbf{Q}),$$

причем $\mathit{X}(t,\mathit{x})$ равномерно ограничена в $\mathrm{Q}$ :
$$\Vert \mathit{X}(t,\mathit{x})\Vert ⩽M$$
$(\Vert \mathit{X}\Vert$ — евклидова норма). Теорема Боголюбова (см. [56]). Пусть 1) для каждого $\mathit{x}\in D$ существует равномерный по $\mathit{x}$ конечный предел
$$\mathit{Y}(\mathit{x})=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{N}{\int }_0^N\mathit{X}(t,\mathit{x})dt\in C(D);$$
2) усредненное уравнение
$$\frac{dy}{dt}=\epsilon \mathit{Y}(\mathit{y}),\mathit{y}(0,\epsilon )={\mathit{x}}_0\in D,$$

имеет единственное решение $\mathit{y}=\mathit{y}(t,\epsilon )\subset D$, определенное при $\epsilon =1$ на сегменте $[0,T_1]$. Тогда для каждого $\eta >0$ существует ${\epsilon }_0={\epsilon }_0(\eta )>0$ такое, \»то решеніе $\mathit{x}=\mathit{x}(t,\epsilon )$ данного уравнения (5.4.1) и решение усредненного уравнения (5.4.4) с одинаковыми начальными условиями: $\mathit{x}(0,\epsilon )=\mathit{y}(0,\epsilon )={\mathit{x}}_0$ при $0⩽\epsilon <{\hat{\epsilon }}_0$, будут удовлетворять неравенству
$$\Vert \mathit{x}(t,\epsilon )-\mathit{y}(t,\epsilon )\Vert <\eta$$

на некотором отрезке $0⩽t⩽\frac{T}{\epsilon }$, где $0<T⩽T_1$.
Доказательство. Пусть $\rho >0$ — расстояние начальной точки ${\mathit{x}}_0$ от границы области $D$. Тогда в силу неравенства (5.4.2) решение $\mathit{x}(t,\epsilon )$ уравнения (5.4.1) с начальным условием: $\mathit{x}(0,\epsilon )={\mathit{x}}_0$, будет определено по меньшей мере в промежутке $0⩽t⩽\frac{\rho }{M\epsilon \sqrt{n}}$ (см. [12]). Примем
$$T=min(T_1,\frac{\rho }{M\sqrt{n}}).$$

Введем «медленное время»
$$\tau =\epsilon t\text{. }$$

В таком случае уравнения (5.4.1) и (5.4.4) при $\epsilon >0$ можно записать следующим образом:
$$\frac{d\mathit{x}}{d\tau }=\mathit{X}(\frac{\tau }{\epsilon },\mathit{x})\equiv \mathit{Y}(\tau ,\mathit{x},\epsilon )$$

и
$$\frac{dy}{d\tau }=Y(y).$$

Если положить
$$\mathit{Y}(t,\mathit{x},0)=\mathit{Y}(\mathit{x}),$$

то функция $\mathit{Y}(t,\mathit{x},\epsilon )$ будет в $\mathbf{\Omega }$ интегрально непрерывна по параметру $\epsilon$ при $\epsilon =0$. Действительно, на основании условия (5.4.3) при $0⩽t<\mathrm{\infty }$ и $\mathit{x}\in D$ имеем
$$\begin{array}{l}\underset{\epsilon \to +0}{lim}{\int }_0^{t}Y(\tau ,x,\epsilon )d\tau =\underset{\epsilon \to +0}{lim}{\int }_0^{t}X(\frac{\tau }{\epsilon },x)d\tau =\\ =\underset{\epsilon \to +0}{lim}\epsilon {\int }_0^{\frac{t}{\epsilon }}X(\theta ,x)d\theta =t\underset{\epsilon \to +0}{lim}\frac{1}{t/\epsilon }{\int }_0^{\overline{\epsilon }}X(\theta ,x)d\theta =\\ =t\mathit{Y}(\mathit{x})={\int }_0^t\mathit{Y}(\mathit{x})d\tau ={\int }_0^t\mathit{Y}(\tau ,\mathit{x},0)d\tau .\end{array}$$

Записывая уравнения (5.4.6) и (5.4.7) в интегральной форме при $0⩽\tau ⩽T$ и $\epsilon >0$, получим
$$\mathit{x}(\tau ,\epsilon )={\mathit{X}}_0+{\int }_0^{\tau }\mathit{Y}(\theta ,\mathit{x}(\theta ,\epsilon ),\epsilon )d\theta$$

и
$$\mathit{y}(\tau )={\mathit{x}}_0+{\int }_0^{\tau }\mathit{Y}(\mathit{y}(\theta ))d\theta$$

Отсюда, полагая
$$\mathit{x}(\tau ,0)\equiv y(\tau ),$$

будем иметь, что уравнение (5.4.8) справедливо при $\epsilon ⫆0$ и $\tau \in [0,T]$.

Рассмотрим семейство решений $\{x(\tau ,\epsilon )\}$, где $0⩽\tau ⩽T$ и $\epsilon >0$. Это семейство равномерно ограничено на $[0,T]$, так как в силу неравенства (5.4.2), учитывая, что $\mathit{Y}(\theta ,\mathit{x},\epsilon )=\mathit{X}(\frac{\theta }{\epsilon },\mathit{x})$ при $\epsilon >0$, из уравнения (5.4.8) получаем
$$\Vert \mathit{x}(\tau ,\epsilon )\Vert ⩽\Vert {\mathit{x}}_0\Vert +{\int }_0^{\tau }\Vert \mathit{Y}(\theta ,\mathit{x}(\theta ,\epsilon ),\epsilon )\Vert d\theta ⩽\Vert {\mathit{x}}_0\Vert +MT.$$

Кроме того, данное семейство является равностепенно непрерывным по $\tau$ на $[0,T]$ ввиду того, что на основании уравнений (5.4.6) и (5.4.7) производная $\frac{dx}{d\tau }$ равномерно ограничена на $[0,T]$ (см. пример из § 2).

В силу теоремы Арцеля из каждой последовательности $\mathit{x}(\tau ,{\epsilon }_k)(k=1,2,\dots )$, где ${\epsilon }_k\to +0$, можно выделить равномерно сходящуюся на [0, T] подпоследовательность
$$\mathit{x}(\tau ,{\epsilon }_{p_k})\underset{\tau }{\to }\tilde{y}(\tau )(0⩽\tau ⩽T)\text{ при }{\epsilon }_{p_k}\to 0.$$

Очевидно, имеем
$$\mathit{x}(\tau ,{\epsilon }_{p_k})={\mathit{x}}_0+{\int }_0^{\tau }\mathit{Y}(\theta ,\mathit{x}(\theta ,{\epsilon }_{p_k}),{\epsilon }_{p_k})d\theta (k=1,2,\dots ).$$

Переходя к пределу при $k\to \mathrm{\infty }$ в этом равенстве и используя теорему Красносельского — Крейна, получим
$$\tilde{\mathit{y}}(\tau )={\mathit{x}}_0+{\int }_0^{\overline{\gamma }}\mathit{Y}(\theta ,\tilde{\mathit{y}}(\theta ),0)d\theta \equiv {\mathit{x}}_0+{\int }_0^{\tau }\mathit{Y}(\tilde{\mathit{y}}(\theta ))d\theta (0⩽\tau ⩽T).$$

Отсюда
$$\frac{dy}{d\tau }=Y(\tilde{\mathit{y}}(\tau ))$$

и $\tilde{y}(0)=x_0$. Так как уравнение (5.4.7) в силу условия теоремы при $0⩽\tau ⩽T$ имеет единственное решение $y(\tau )$, удовлетворяющее начальному условию: $\mathit{y}(0)=x_0$, то
$$\tilde{y}(\tau )\equiv y(\tau )\text{ при }0⩽\tau ⩽T.$$

Следовательно, из лю бо й последовательности
$$\mathit{x}(\tau ,{\epsilon }_k)(k=1,2,\dots )\text{, где }{\epsilon }_k\to +0,\text{ можно выбрать }$$
подпоследовательность $\mathit{x}(\tau ,{\epsilon }_{p_k})$ ( $k=1,2,\dots )$, равномерно сходящуюся на $[0,T]$ к одной и той же предельной вектор-функции $y(\tau )$. На основании теоремы $\S 1$ отсюда следует, что семейство решений $\mathit{x}(\tau ,\epsilon )$ при $\epsilon \to +0$ равномерно на $[0,T]$ сходится к решению $y(\tau )$ усредненного уравнения (5.4.7), т. е.
$$\Vert \mathit{x}(\tau ,\epsilon )-\mathit{y}(\tau )\Vert <\eta \text{ при }0⩽\tau ⩽T,0⩽\epsilon <{\epsilon }_0(\eta ).$$

Возвращаясь к прежней перєменной $t$, окончательно получим
$$\Vert \mathit{x}(t,\epsilon )-\mathit{y}(t)\Vert <\eta \text{ при }0⩽t<\frac{T}{\epsilon },0⩽\epsilon <{\epsilon }_0(\eta ),$$

что и требовалось доказать.