Рассмотрим почти периодическую систему $S_{t}$ со свойствами 1) и 2 ).

Пусть $\xi=\xi(t)$ – ограниченное решение системы $S_{t}$, определенное в максимальном интервале $\alpha<t<\beta$ и для всех $t \in(\alpha, \beta)$, принадлежащее некоторому компакту $K_{x} \subset A_{x}$. Тогда из известной теоремы существования решений системы дифференциальных уравнений вытекает, что решение $\xi(t)$ бесконечно продолжаемо влево и вправо, т. е. существует в бесконечном интервале $(-\infty, \infty)$, причем
\[
\sup _{t}\|\xi(t)\|=c<\infty .
\]

Определение. Следуя Америо [76], ограниченное решение $\xi(t) \in \bar{B}_{x}\left(t \in I_{t}\right)$ почти периодической системы $S_{t}$ называется разделенным (separated) в данной области $I_{t} \times \bar{B}_{x}$, если или оно единственно в $\bar{B}_{x}$, или для всякого другого ограниченного решения $\boldsymbol{\eta}(t) \in \bar{B}_{x}$ при $t \in I_{t}$ выполнено неравенство
\[
\inf _{t}\|\boldsymbol{\xi}(t)-\boldsymbol{\eta}(t)\| \geqslant p>0,
\]

где $p$-положительная постоянная, зависящая только от $\xi(t)$ (рис. 66). В дальнейшем мы будем придерживаться изложения Кордуняну [73].
Рис. 66.
Лемма 1. Если өсе ограниченные решения $\xi(t) \in \bar{B}_{\boldsymbol{x}}$ $\bar{B}_{\boldsymbol{x}}$-компакт, то в области $I_{t} \times \bar{B}_{\boldsymbol{x}}$ существует лишь конечное число ограниченных решений.

Доказательство. Пусть $\{\xi(t)\}$ – множество всех ограниченных решений в $I_{t} \times \bar{B}_{x}$. Так как $\bar{B}_{x}$ – компакт, то множество функций $\{\xi(t)\}$ равномерно ограничено, т. е.
\[
\sup _{t, \xi}\|\xi(t)\| \leqslant c_{1}<\infty .
\]

Кроме того, имеем
\[
\dot{\xi}(t)=\boldsymbol{f}(t, \xi(t)),
\]

где $\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{x})$ ограничена в $I_{t} \times \bar{B}_{\boldsymbol{x}}$ (§19), и, значит,
\[
\sup _{t, \xi}\|\boldsymbol{f}(t, \xi(t))\| \leqslant c_{\mathrm{Z}}<\infty .
\]

Отсюда
\[
\left.\left\|\xi\left(t^{\prime}\right)-\xi(t)\right\|=\left\|\int_{t}^{t^{\prime}} \boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{\xi}(t)) d t\right\| \leqslant \int_{t}^{t^{\prime}}\|\boldsymbol{f}(t, \quad \boldsymbol{\xi}(t))\| \mid d t\right\} \leqslant c_{2}\left|t^{\prime}-t\right| .
\]

Следовательно, множество функций $\{\xi(t)\}$ равностепенно непрерывно.

Если множество $\{\xi(t)\}$ бесконечно, то в силу теоремы Арцеля (гл. V, § 2) существует последовательность ограниченных решений $\xi_{p}(t) \in I_{t} \times \bar{B}_{\boldsymbol{x}}(p=1,2, \ldots)$ такая, что
\[
\xi_{p}(t) \underset{i}{\rightarrow} \xi^{*}(t) \quad \text { при } \quad p \rightarrow \infty
\]

равномерно на каждом ограниченном интервале $\alpha<t<\beta$, причем предельная вектор-функция $\xi *(t)$ на основании непрерывной зависимости решений от параметра есть ограниченное решение системы $S_{t}$ в $I_{t} \times \bar{B}_{x}$.
Так как
\[
\inf _{t, p}\left\|\xi^{*}(t)-\xi_{p}(t)\right\|=0,
\]

то решение $\xi^{*}(t)$ не является разделенным в $I_{t} \times \bar{B}_{\boldsymbol{x}}$. Лемма доказана.
Лемма 2. Если почти периодическая система $S_{t}$ допускает ограниченное решение $\xi(t) \in \bar{B}_{x}$ при $t \in I_{t}$, где $\bar{B}_{x}$-компакт, то любая присоединенная система $S_{t_{i h}}$ такэе имеет ограниченные решения $\eta(t) \in \bar{B}_{\boldsymbol{x}}$ при $t \in I_{i}$.
Доказательство. Пусть правая часть системы $S_{t+h}$ есть
\[
\boldsymbol{g}(t, \boldsymbol{x})=\lim _{p \rightarrow \infty} \boldsymbol{f}\left(t+h_{p}, \boldsymbol{x}\right)
\]

где
\[
\boldsymbol{f}\left(t+h_{p}, \boldsymbol{x}\right) \underset{t, \boldsymbol{x}}{\rightarrow} \boldsymbol{g}(t, \boldsymbol{x}) \quad \text { при } \quad p \rightarrow \infty
\]

и $(t, \boldsymbol{x}) \in I_{t} \times \bar{B}_{\boldsymbol{x}}$. Рассмотрим последовательность вектор-функций
\[
\boldsymbol{\eta}_{p}(t)=\boldsymbol{\xi}\left(t+h_{p}\right) \quad(p=1,2, \ldots),
\]

где, очевидно,
\[
\boldsymbol{\eta}_{p}(t) \in \bar{B}_{x} \quad \text { при } \quad t \in I_{t},
\]

причем
\[
\dot{\boldsymbol{\eta}}_{p}(t)=\boldsymbol{f}\left(t+h_{p}, \boldsymbol{\eta}_{p}\right) \quad(p=1,2, \ldots) .
\]

Эта последовательность равномерно ограничена и равностепенно непрерывна. Следовательно, существует предел некоторой ее подпоследовательности
\[
\boldsymbol{\eta}(t)=\lim _{p \rightarrow \infty} \boldsymbol{\eta}_{\alpha_{p}}(t) .
\]

Очевидно, $\boldsymbol{\eta}(t)$ является ограниченным решением системы $S_{t+h}$ и $\eta(t) \in \bar{B}_{x}$ при $t \in I_{t}$.

Лемма 3. Если почти периодическая система $S_{t}$ допускает положительно ограниченное решение $\boldsymbol{\xi}(t) \in \bar{B}_{\boldsymbol{x}}$ при $t \geqslant t_{0}$, где $\bar{B}_{x}$ – некоторый компакт, то каждая присоединенная система $S_{t+h}$ имеет ограниченное решение $\boldsymbol{\eta}(t) \in \bar{B}_{\boldsymbol{x}}$ при $t \in I_{t}$.

Доказательство. Рассмотрим множество вектор-функций
\[
\xi_{p}(t)=\xi(t+p) \quad(p=1,2, \ldots) .
\]

Очевидно, $\xi_{p}(t)$ есть решение системы
\[
\dot{\boldsymbol{\xi}}_{p}(t)=\boldsymbol{f}\left(t+p, \boldsymbol{\xi}_{p}\right) \quad(p=1,2, \ldots),
\]

определенное в промежутке $\left[t_{0}-p, \infty\right)$, причем $\xi_{p}(t) \in \bar{B}_{x}$ при $t \geqslant t_{0}-p$. Поэтому для любого промежутка $[T, \infty)$ существует подпоследовательность $\left\{h_{p}\right\}$, для которой последовательности $\left\{\boldsymbol{\xi}_{h_{p}}(t)\right\}$ и $\left\{\boldsymbol{f}\left(t+h_{p}, \boldsymbol{x}\right)\right\}$ являются сходящимися при $p \rightarrow \infty$ равномерно по $t$ и $\boldsymbol{x}$ в каждой области $\left[T, T^{\prime}\right] \times \bar{B}_{x}\left(T^{\prime}>T\right)$. Полагая $T=-1,-2, \ldots$, диагональным процессом построим последовательность $\left\{\xi_{h_{p}}(t)\right\}$ такую, что на всей оси $-\infty<t<\infty$ имеем
\[
\xi_{h_{p}}(t) \rightarrow \tilde{\xi}(t) \quad \text { при } \quad p \rightarrow \infty
\]

равномерно на каждом ограниченном интервале $(\alpha, \beta) \in I_{t}$, причем
\[
\boldsymbol{f}\left(t+h_{p}, \boldsymbol{x}\right) \underset{t, x}{\rightarrow} \tilde{\boldsymbol{f}}(t, \boldsymbol{x}) \quad \text { при } \quad p \rightarrow \infty
\]

и $(t, \boldsymbol{x}) \in I_{t} \times \bar{B}_{x}$.
Отсюда $\tilde{\boldsymbol{\xi}}(t) \in \bar{B}_{\boldsymbol{x}}$ при $t \in I_{t}$ и $\tilde{\xi}(t)$ является ограниченным решением системы
\[
\frac{d \tilde{x}}{d t}=\tilde{\boldsymbol{f}}(t, \tilde{\boldsymbol{x}}),
\]

входящей в $H$-класс системы $S_{t}$. А так как (§19, лемма) $H$-класс системы $S_{t}$ совпадает с $H$-классом системы $\hat{S}_{t}$, то в силу леммы 2 всякая присоединенная система $S_{t+h}$ также будет иметь ограниченное решение $\boldsymbol{\eta}(t) \in \bar{B}_{\boldsymbol{x}}$ при $t \in{ }_{\mathrm{I}}^{\mathrm{I}}$.

Лемма 4. Если почти периодическая система $S_{t}$ имеет ограниченное решенше $\xi(t) \in \bar{B}_{x}$ при $t \in I_{t}$ и все ограниченные решения $\boldsymbol{\eta}(t) \in \bar{B}_{\boldsymbol{x}}$ при $t \in I_{t}$ присоединенных систем $S_{t+h} \in H\left(S_{t}\right)$ являются разделенными в $I_{t} \times \bar{B}_{\boldsymbol{x}}\left(\bar{B}_{\boldsymbol{x}}\right.$-компакт), то они равноразделенные в $I_{t} \times \bar{B}_{\boldsymbol{x}}$, m. е. существует число $\rho>0$, общее для всего класса $H\left(S_{t}\right)$ и такое, что для любых двух различных ограниченных решений $\eta^{\prime}(t) \in I_{t} \times \bar{B}_{x}$ и $\eta^{\prime \prime}(t) \in I_{t} \times \bar{B}_{x}$ произвольной системы $S_{t+h}$ выполнено неравенство
\[
\inf _{t}\left\|\boldsymbol{\eta}^{\prime}(t)-\boldsymbol{\eta}^{\prime \prime}(t)\right\| \geqslant p>0 .
\]

Доказательство. В силу леммы 1 система $S_{t}$ имеет конечное число ограниченных решений $\xi_{1}(t), \ldots, \xi_{N}(t)$, содержащихся при $t \in I_{t}$ в компакте $\bar{B}_{x}$, причем
\[
\inf _{t, r
eq s}\left\|\xi_{r}(t)-\xi_{s}(t)\right\|=p>0 .
\]

Рассмотрим ограниченные решения $\{\boldsymbol{\eta}(t)\}$ произвольной системы $S_{t+h}$ такие, что $\boldsymbol{\eta}(t) \in I_{t} \times \bar{B}_{x}$. В силу леммы 2 эти решения существуют, а так как они по условию леммы являются разделенными, то число их $N_{1}$ конечно. Так как $S_{t+h} \in H\left(S_{t}\right)$, то для некоторой последовательности $\left\{h_{p}\right\}$ существуют пределы
\[
\boldsymbol{\eta}_{q}(t)=\lim _{p \rightarrow \infty} \frac{i}{}\left(t+h_{p}\right) \quad(q=1, \ldots, N)
\]

равномерно на каждом конечном интервале $\alpha<t<\beta$. Векторфункции $\eta_{q}(t)(q=1, \ldots, N)$ являются ограниченными решениями присоединенной системы $S_{t+h}$, содержащимися при $t \in I_{t}$ в компакте $\bar{B}_{x}$. Очевидно, при $r
eq s$ имеем
\[
\underset{t}{\inf }\left\|\xi_{r}\left(t+h_{p}\right)-\xi_{s}\left(t+h_{p}\right)\right\|=\inf _{t}\left\|\xi_{r}(t)-\xi_{s}(t)\right\| \geqslant p>0
\]

и, следовательно,
\[
\inf _{t, r
eq s}\left\|\boldsymbol{\eta}_{r}(t)-\boldsymbol{\eta}_{s}(t)\right\|=p>0 .
\]

Таким образом, ограниченные решения $\boldsymbol{\eta}_{q}(t)(q=1, \ldots, N)$ попарно различны и, значит, $N_{1} \geqslant N$. Так как (§19) $S_{t} \in H\left(S_{t+h}\right)$, то аналогично имеем $N \geqslant N_{1}$; отсюда $N_{1}=N$, т. е. число ограниченных решений $\boldsymbol{\eta}(t)$, целиком содержащихся в компакте $\bar{B}_{x}$, для всех присоединенных систем $S_{t+h}$ одно и то же, причем все эти решения могут быть получены по формуле (20.2). Отсюда на основании неравенства (20.3) вытекает справедливость леммы.
3амечание. Если ограниченные решения почти периодической системы $S_{t}$ разделены в области $I_{t} \times \bar{B}_{x}$, то отсюда еще не следует, что в этой области являются разделенными и ограниченные решения всех присоединенных систем $S_{t+h}$.
Пример (см. [77], [67]). Рассмотрим скалярное уравнение
\[
\frac{d x}{d t}=f(t) x,
\]

где
\[
f(t)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2 k+1)^{2}} \sin \frac{t}{2 k+1} .
\]

Так как ряд (20.5) равномерно сходится на всей действительной оси $-\infty<t<\infty$, то $f(t)$ – почти периодическая функция (§4), Интегрируя уравнение (20.4), будем иметь
\[
x(t)=c e^{F(t)},
\]

где
\[
\begin{aligned}
F(t)=\int_{0}^{t} f(\xi) d \xi=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{t}{2 k+1}(1 & \left.-\cos \frac{t}{2 k+1}\right)= \\
& =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{2}{2 k+1} \sin ^{2} \frac{t}{2(2 k+1)} .
\end{aligned}
\]

Пусть $n$ – произвольное натуральное число и
\[
t_{n}=1 \cdot 3 \ldots(2 n+1) \pi .
\]

Так как все члены ряда (20.7) неотрицательны, то, учитывая, что $\sin ^{2} \frac{t_{n}}{2(2 k+1)}=1$ при $k=0,1, \ldots, n$, имеем
\[
\begin{aligned}
F\left(t_{n}\right) \geqslant \sum_{k=0}^{n} \frac{2}{2 k+1} \sin ^{2} \frac{t_{n}}{2(2 k+1)}= \\
\quad=\sum_{k=0}^{n} \frac{2}{2 k+1}>2 \int_{0}^{n} \frac{d x}{2 x+1}=\ln (2 n+1) \quad(n=1,2, \ldots) .
\end{aligned}
\]

Следовательно, функция $F(t)$ положительна и неограничена на оси $-\infty<t<\infty$. Отсюда на ссновании формулы (20.6) уравнение (20.4) имеет единственное ограниченное решение
\[
x \equiv 0,
\]

соответствующее $c=0$. Таким образом, решение является разделенным в любой области $I_{t} \times \bar{B}_{x}$.

С другой стороны, для последовательности функций $\left\{f\left(t+t_{n}\right)\right\}$, принимая во внимание, что $\frac{t_{n}}{2 k+1} \geq \pi(2 r+1)$, где $r$-целое число при $0 \leqslant k \leqslant n$, имеем
\[
\begin{array}{c}
f\left(t+t_{n}\right)=\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{(2 k+1)^{2}} \sin \frac{t+t_{n}}{2 k+1}+\sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{1}{(2 k+1)^{2}} \sin \frac{t+t_{n}}{2 k+1}= \\
=-\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{(2 k+1)^{2}} \sin \frac{t}{2 k+1}+\sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{1}{(2 k+1)^{2}} \sin \frac{t+t_{n}}{2 k+1}= \\
=-f(t)+\varepsilon_{n}(t),
\end{array}
\]

причем $\varepsilon_{n}(t) \underset{\boldsymbol{t}}{\rightarrow} 0$ при $n \rightarrow \infty$. Отсюда
\[
g(t)=\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(t+t_{n}\right)=-f(t)
\]

и поэтому уравнение
\[
\frac{d y}{d t}=-f(t) y
\]

является присоединенным к (20.4). Общее решение уравнения (20.8) имеет вид
\[
y(t)=c e^{-F(t)},
\]

причем
\[
|y(b)| \leqslant c
\]

и
\[
\inf _{t}|y(t)|=0 .
\]

Таким образом, все решения уравнения (20.8) ограничены, но, очевидно, не являются разделенными.