Найдем $\operatorname{det} e^{A t}$. На основании формулы (1.13.2) получаем
\[
\operatorname{det} e^{A t}=\operatorname{det} S^{1} \operatorname{det} e^{t J_{1}\left(\lambda_{1}\right)}, \ldots \operatorname{det} e^{t, \prime m^{\left(\lambda_{m}\right.} m^{\prime}} \operatorname{det} S=\prod_{1=1}^{n} \operatorname{det} e^{\left.t q_{q} \lambda_{q}\right)} .
\]

Так как в силу формулы (1.13.4), очевидно, имеем
\[
\operatorname{det} e^{t J_{q}{ }^{(\lambda} q^{\prime}}=e^{e} q^{\lambda} q^{t} \quad(q=1, \ldots, m),
\]

To
\[
\operatorname{det} e^{A t}=\exp \left(t \sum_{q=1}^{m} e_{q} \lambda_{q}\right),
\]

где $e_{1}+\ldots+e_{m}=n$.
Собственные значения $\lambda_{q}$ являются корнями векового уравнения
\[
\operatorname{det}(\lambda E-A)=0 \text {, }
\]

или

Отсюда получаем
\[
\lambda^{n}-\left(a_{11}+a_{22}+\ldots+a_{n n}\right) \lambda^{n-1}+\ldots+(-1)^{n} \operatorname{det} A=0 .(1.14 .2)
\]

Так как выражение $\sum_{q=1}^{m} e_{q} \lambda_{q}$, очевидно, представляет собой сумму всех корней уравнения (1.14.2), где каждый корень берется слагаемым столько раз, какова его кратность, то
\[
\sum_{q=1}^{m} e_{q} \lambda_{q}=a_{11}+a_{22}+\ldots+a_{n n}=\mathrm{Sp} A .
\]

Таким образом, из формулы (1.14.1) имеем
\[
\operatorname{det} e^{A t}=e^{t \mathrm{Sp} A},
\]

где
\[
\mathrm{Sp} A=\sum_{j=1}^{n} a_{j j}
\]
– след матриць $A$.

Найдем производную матричной функции $e^{A t}$ по параметру $t$. Так как элементы матрицы
\[
e^{A t}=\sum_{p=0}^{\infty} \frac{A^{p}}{p !} t^{p}
\]

представляют собой целые функции от $t$, то законно почленное дифференцирование ряда (1.14.3) по $t$ и, следовательно, имеем
\[
\frac{d}{d t} e^{A t}=\sum_{p==1}^{\infty} \frac{A^{p}}{(p-1) !} t^{p-1}=A e^{A t}=e^{A t} A .
\]

Из формулы (1.14.4) вытекает, что матрица
\[
X(t)=e^{A t}
\]

удовлетворяет дифференциальному уравнению
\[
\frac{d X}{d t}=A X
\]

причем $X(0)=E$.
В более общем случае, если $(n \times n)$-матрица $X(t) \in C^{1}$ коммутирует со своей производной $X^{\prime}(t)$, получаем
\[
\begin{aligned}
\frac{d}{d t}\left[e^{X(t)}\right]=\frac{d}{d t} & \left\{\sum_{p=0}^{\infty} \frac{1}{p !}[X(t)]^{p}\right\}= \\
& =\sum_{p=1}^{\infty} \frac{1}{(p-1) !}[X(t)]^{p-1} X^{\prime}(t)=e^{X(t)} X^{\prime}(t)=X^{\prime}(t) e^{X(t)}
\end{aligned}
\]