Пусть $\varphi(t)$ – действительная функция, определенная в интервале $t_{0}<t<\infty$. Если для некоторой последовательности $t_{k} \rightarrow+\infty$ ( $k=1,2, \ldots$ ) существует конечный или бесконечный предел определенного знака
\[
a=\lim _{k \rightarrow \infty} \varphi\left(t_{k}\right),
\]

то число $a$ или символ $-\infty(+\infty)$ называется частичным пределом функции $\varphi(t)$ при $t \rightarrow \infty$.

Определение 1. Наибольший из частичных пределов $\alpha$ функции $\varphi(t)$ при $t \rightarrow \infty$ называется ее верхним пределом:
\[
\alpha=\overline{\lim }_{t \rightarrow \infty} \varphi(t) .
\]

Более точно: а) если для любого отрицательного числа — Е справедливо неравенство
$\varphi(t)<-\mathbf{E}$ при $t>T(\mathbf{E})$,
то полагают
\[
\varlimsup_{t \rightarrow \infty} \varphi(t)=-\infty ;
\]

Рис. 15.
б) если (рис. 15) для некоторого числа $\alpha$ при любом $\varepsilon>0$ выполнено неравенство
\[
\varphi(t)<\alpha+\varepsilon \text { при } t>T(\varepsilon),
\]

причем существует последовательность $t_{k} \rightarrow \infty$ такая, что
\[
\lim _{k \rightarrow \infty} \varphi\left(t_{k}\right)=\alpha,
\]

то считают
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} \varphi(t)=\alpha ;
\]

в) наконец, если функция $\varphi(t)$ не ограничена сверху на любом интервале $(T, \infty)$, то принимают
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} \varphi(t)=+\infty .
\]

Аналогично определяется нижний предел функции $\varphi(t)$ при $t \rightarrow+\infty$ как наименьший из ее частичных пределов $\beta$ при $t \rightarrow \infty$ :
\[
\beta=\lim _{\bar{t} \rightarrow \infty} \varphi(t) .
\]

Можно также положить
\[
\varlimsup_{t \rightarrow \infty} \varphi(t)=-\varlimsup_{t \rightarrow \infty}[-\varphi(t)] .
\]

Очевидно,
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} \varphi(t) \leqslant \varlimsup_{t \rightarrow \infty} \varphi(t),
\]

причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда существует конечный или бесконечный $\lim _{t \rightarrow \infty} \varphi(t)$. В этом случае
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} \varphi(t)=\varlimsup_{t \rightarrow \infty} \varphi(t)=\lim _{t \rightarrow \infty} \varphi(t) .
\]

Легко убедиться, что 1) верхний предел функции обладает свойством монотонности, т. е. если
\[
\varphi(t) \leqslant \psi(t),
\]

то
\[
\varlimsup_{t \rightarrow \infty} \varphi(t) \leqslant \varlimsup_{t \rightarrow \infty} \psi(t) ;
\]
2) справедливо неравенетво
\[
\varlimsup_{t \rightarrow \infty}[\varphi(t)+\psi(t)] \leqslant \varlimsup_{t \rightarrow \infty} \varphi(t)+\varlimsup_{t \rightarrow \infty} \psi(t),
\]

причем это неравенство превращается в равенство, если существует конечный предел при $t \rightarrow+\infty$ хотя бы одной из функций $\varphi(t)$ или $\psi(t)$;
3) если $\varphi(t) \geqslant 0$ и $\psi(t) \geqslant 0$, то
\[
\varlimsup_{t \rightarrow \infty}[\varphi(t) \psi(t)] \leqslant \varlimsup_{t \rightarrow \infty} \varphi(t) \varlimsup_{t \rightarrow \infty} \varlimsup_{i m} \psi(t)
\]

в предположении, что правая часть неравенства имеет смысл, причем, если существует $\lim _{t \rightarrow \infty} \varphi(t)$ или $\lim _{t \rightarrow \infty} \psi(t)$, последнее неравенство превращается в равенство.

Пример 1. Имеем
\[
\varlimsup_{t \rightarrow \infty} \sin ^{2} t=\varlimsup_{t \rightarrow \infty} \cos ^{2} t=1 .
\]

Здесь
Рассмотрим показательную функцию
\[
e^{\alpha t} \text {, }
\]

где $\alpha$ действительно. Множитель $\alpha$ характеризует рост функции $e^{\alpha t}$; если $\alpha>0$, то, очевидно, $e^{\alpha t} \rightarrow \infty$ при $t \rightarrow \infty$; если же $\alpha<0$, то $e^{\alpha t} \rightarrow 0$ при $t \rightarrow+\infty$. Число $\alpha$ будем называть характеристическим показателем функции $e^{\alpha t}$.
В общем случае рассмотрим комплекснозначную функцию
\[
f(t)=f_{1}(t)+i f_{3}(t)
\]

действительного переменного $t$, определенную в интервале $\left(t_{0}, \infty\right)$. Модуль этой функции можно представить в показательном виде
\[
|f(t)|=e^{\alpha(t) . t},
\]

где
\[
\alpha(t)=\frac{1}{t} \ln |f(t)|
\]

играет роль множителя при $t$. Изучая рост функции $|f(t)|$, естественно рассматривать максимальные значения функции $\alpha(t)$.

Определение 2. Число (или символ – $\infty$ или $+\infty$ ), определяемое формулой
\[
\chi[f]=\varlimsup_{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \ln |f(t)|,
\]

будем называть характеристическим показателем Ляпунова (короче, характеристическим показателем).

Это – функционал, ‘определенный на множестве функций $\{f(t)\}$, заданных на полуоси ( $\left.t_{0}, \infty\right)$. Для показательной функции $e^{a t}$, очевидно, имеем
\[
\chi\left[e^{\alpha t}\right]=\alpha .
\]

Характеристический показатель $\alpha$ равен взятому с обратным знаком характеристическому числу функции $f(t)$, введенному Ляпуновым. Изложенные ниже теоремы о характеристических показателях функций аналогичны соответствующим теоремам Ляпунова (см. [15]).

Очевидно, имеем:
a) $\chi[f(t)]=\chi[|f(t)|]$
б) $\chi[c f(t)]=\chi[f(t)](c
eq 0)$.

Приме р 2. На основании формулы (3.1.1) получаем
$\chi\left[t^{m}\right]=0$ (m-любая постоянная);
$\chi\left[e^{t \sin t}\right]=1 ; \chi\left[e^{t^{2}}\right]=+\infty$ и т. п.
Из формулы (3.1.1) вытекает, что характеристический показатель обладает свойством монотонности: если
\[
|f(t)| \leqslant|F(t)| \text { при } t>T,
\]

то
\[
\chi[f] \leqslant \chi[F] .
\]

Заметим, что для любой последовательности $t_{k} \rightarrow+\infty$ имеем
\[
\varlimsup_{k \rightarrow \infty} \frac{1}{t_{k}} \ln \left|f\left(t_{k}\right)\right| \leqslant \chi[f(t)] .
\]

Лемма. Если
\[
\chi[f]=\alpha
eq \pm \infty,
\]

то 1) для любого в>0 справедлива формула
\[
f(t)=c\left[e^{(a+\varepsilon) t}\right]
\]
m. $e$.
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{|f(t)|}{e^{(\alpha+\varepsilon-\varepsilon) t}}=0
\]
2)
\[
\varlimsup_{t \rightarrow \infty} \frac{|f(t)|}{e^{(\alpha-\varepsilon)}}=+\infty,
\]
т. е. существует последовательность $t_{k} \rightarrow \infty$ такая, что
\[
\lim _{k \rightarrow \infty} \frac{\left|f\left(t_{k}\right)\right|}{e^{(\alpha-\varepsilon) t_{i}}}=+\infty .
\]

Обратно, если для некоторсго а при любом $\varepsilon>0$ выполнено соотношение (3.1.4), то
\[
\chi[f] \leqslant \alpha ;
\]

если же имеет место соотношение (3.1.5), то
\[
\chi[f] \geqslant \alpha \text {; }
\]

наконец, если выполнены оба соотношения (3.1.4) и (3.1.5), то
\[
\chi[f]=a \text {. }
\]

Доказательство. 1) Докажем сначала необходимость. Пусть
\[
\chi[f]=\varlimsup_{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \ln |f(t)|=\alpha .
\]

Отсюда
\[
\frac{1}{t} \ln |f(t)|<\alpha+\frac{\varepsilon}{2} \text { при } t>T
\]

и
\[
\lim _{k \rightarrow \infty} \frac{1}{t_{k}} \ln \left|f\left(t_{k}\right)\right|=\alpha,
\]

где $t_{k} \rightarrow \infty$. Следовательно,
\[
|f(t)|<e^{\left(a+\frac{\varepsilon}{2}\right) t} \cdot \text { при } t>T
\]

и
\[
\left|f\left(t_{k}\right)\right|>e^{\left(\alpha-\frac{e}{2}\right) t_{k}} \text { при } k>N \text {. }
\]

Из последних соотношений вытекают формулы (3.1.4) и (3.1.5).
2) Установим теперь достаточность. Если имеет место формула (3.1.4), то, очевидно, имеем
\[
\chi[f] \leqslant \chi\left[e^{(\alpha+\varepsilon) t}\right]=\alpha+\varepsilon .
\]

Отсюда ввиду произвольности числа $\varepsilon$ получаем
\[
\chi[f] \leqslant \alpha ;
\]

если выполнено соотношение (3.1.5), то имеем
\[
\chi[f] \geqslant \varlimsup_{k \rightarrow \infty} \frac{1}{t_{k}} \ln \left|f\left(t_{k}\right)\right| \geqslant \alpha-\varepsilon
\]

и, следовательно,
\[
\chi[f] \geqslant \alpha .
\]

Рис. 16.
Если же имеют место оба соотношения (3.1.4) и (3.1.5), то, очевидно, получаем
\[
\chi[i]=\alpha .
\]

Замечание. Таким образом, если $\chi[f]=\alpha$, то при $t \rightarrow \infty$ модуль функции $y=|f(t)|$ растет медленнее, чем любая показательная функция $y_{2}=e^{(\alpha+\varepsilon) t}$ где $\varepsilon>0$, и по некоторой последовательности $t_{k} \rightarrow \infty$ быстрее, чем $y_{1}=e^{(\alpha-\varepsilon) t}$ (рис. 16).

Теорема 1. Характеристический показатель суммы конечного числа функций $f_{k}(t)(k=1, \ldots, m)$ не превышает наибольшего из характеристических показателей этих функций (в случае их конечности) и совпадает с ким, если наибольшим характеристическим показателем обладает лишь одно из слагаемых, т. е.
\[
\chi\left[\sum_{k=1}^{m} f_{k}(t)\right] \leqslant \max _{k} \chi\left[f_{k}(t)\right] .
\]

Доказательство. 1) Пусть
\[
\max _{k} \chi\left[f_{k}(t)\right]=\alpha
eq \pm \infty .
\]
В. силу леммы при любом $\varepsilon>0$ имеем
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{\left|f_{k}(t)\right|}{e^{(a+\varepsilon) t}}=0 \quad(k=1, \ldots, m) .
\]

Отсюда
\[
\frac{\left|\sum_{k=1}^{m} f_{k}(t)\right|}{e^{(\alpha+\varepsilon) t}} \leqslant \sum_{k=1}^{m} \frac{\left|f_{k_{2}}(t)\right|}{e^{(\alpha+\mathrm{i}) t}}=o(1) \quad \text { при } t \rightarrow \infty .
\]

Следовательно, на основании второй части леммы имеем
\[
\chi\left[\sum_{k} f_{k}(t)\right] \leqslant \alpha=\max _{k} \chi\left[f_{k}(t)\right] .
\]
2) Пусть
\[
\max _{k} \chi\left[f_{k}(t)\right]=\chi\left[f_{p}(t)\right]=\alpha
\]

и
\[
\chi\left[f_{k}(t)\right]=\alpha_{k}<\alpha \text { при } k
eq p .
\]

Допустим, что последовательность $t_{q} \rightarrow \infty$ такова, что
\[
\lim _{q \rightarrow \infty} \frac{\left|f_{p}\left(t_{q}\right)\right|}{e^{(\alpha-\varepsilon)} t_{q}}=+\infty .
\]

При $\alpha_{k}
eq-\infty$ имеем
\[
\frac{\left|\sum_{k=1}^{m} f_{k}\left(t_{q}\right)\right|}{e^{(\alpha-\varepsilon) t_{q}}} \geqslant \frac{\left|f_{p}\left(t_{q}\right)\right|}{e^{(\alpha-\varepsilon) t_{q}}}-\sum_{k
eq p} \frac{\left|f_{k}\left(t_{q}\right)\right|}{e^{(\alpha k+\varepsilon) t_{q}}} \frac{1}{e^{\left(\alpha-\alpha k^{-2 \varepsilon)} t_{q}\right.}} .
\]

Отсюда при $0<\varepsilon<\min _{k
eq p} \frac{\alpha-\alpha_{k}}{2}$ получаем
\[
\lim _{a \rightarrow \infty} \frac{\left|\sum_{k=1}^{m} f_{k}\left(t_{q}\right)\right|}{e^{(\alpha-i-\varepsilon) t_{q}}}=+\infty \text {. }
\]

Гоэтому
\[
\chi\left[\sum_{k} f_{k}(t)\right] \geqslant \alpha .
\]

В сочетании с неравенством (3.1.7) это дает
\[
\chi\left[\sum_{k} f_{k}(t)\right]=a=\max _{k} \chi\left[f_{k}(t)\right] .
\]

Замечание. Неравенство (3.1.6) формально остается верным, если все или некоторые $\alpha_{k}=+\infty$ или – – .

Теорема 2. Характеристический показатель произведения конечного числа функций $f_{k}(t)(k=1, \ldots, m)$ не превышает суммы характеристических показателей этих функций, т. е.
\[
\left.\chi\left[\prod_{k=1}^{m} f_{k}(t)\right] \leqslant \sum_{k=1}^{m} \chi\left[f_{k}(t)\right]^{1}\right) .
\]

Доказательство. Очевидно, имеем
\[
\begin{aligned}
\chi\left[\prod_{k} f_{k}(t)\right]=\varlimsup_{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \ln \left|\prod_{k} f_{k}(t)\right| & =\varlimsup_{t \rightarrow \infty} \sum_{k} \frac{1}{t} \ln \left|f_{k}(t)\right| \leqslant \\
& \leqslant \sum_{k} \prod_{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \ln \left|f_{k}(t)\right|=\sum_{k} \chi\left[f_{k}(t)\right] .
\end{aligned}
\]

Следствие. Характеристический показатель конечной линейной комбинации функций $f_{k}(t)(k=1, \ldots, m)$ с ограниченными коэффициентами $c_{k}(t)$ не превышает наибольшего из характери стических показателей комбинируемых функций, т. е.
\[
\chi\left[\sum_{k=1}^{m} c_{k}(t) f_{k}(t)\right] \leqslant \max _{k} \chi\left[f_{k}(t)\right] .
\]

Действительно, учитывая, что
\[
\chi\left[c_{k}(t)\right] \leqslant 0,
\]

на основании теорем 1 и 2 имеем
\[
\begin{aligned}
\left.\chi \mid \sum_{k} c_{k}(t) f_{k}(t)\right] \leqslant \max _{k} \chi & {\left[c_{k}(t) f_{k}(t)\right] \leqslant } \\
& \leqslant \max _{k}\left\{\chi\left[c_{k}(t)\right]+\chi\left[f_{k}(t)\right]\right\} \leqslant \max _{k} \chi\left[f_{k}(t)\right] .
\end{aligned}
\]
1) Формула (3.1.8) становится неопределенной, если среди функций $f_{k}(t)$ имеются функции $f_{p}(t)$ и $f_{q}(t)$ такие , что $\chi\left[f_{p}(t)\right]=-\infty$ и $\chi\left[f_{q}(t)\right]=+\infty$.

3амечание. Если линейная комбинация функций
\[
\sum_{k=1}^{m} c_{k} f_{k}(t) \quad\left(c_{k}
eq 0\right),
\]

где $c_{k}$ постоянны, содержит лишь одну \”функцию с наибольшим характеристическим показателем, то
\[
\chi\left[\sum_{k=1}^{m} c_{k} f_{k}(t)\right]=\max _{k} \chi\left[f_{k}(t)\right]
\]

Определение 3. Назовем характеристический показатель функции $f(t)\left(t>t_{0}\right)$ строгим, если существует конечный предел
\[
\chi[f]=\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \ln |f(t)| .
\]

В этом случае, очевидно, $f(t)
eq 0$ при $t>T$.
Если функция $f(t)$ имеет строгий характеристический показатель, то из формулы (3.1.9) получаем
\[
\chi\left[\frac{1}{f}\right]=\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \ln \left|\frac{1}{f(t)}\right|=-\chi[f],
\]
т. е.
\[
\chi[f]+\chi\left[\frac{1}{f}\right]=0 .
\]

Обратно, если выполнено равенство (3.1.10), то, учитывая, что
\[
\chi[f]=\varlimsup_{i \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \ln |f(t)|
\]

и
\[
\chi\left[\frac{1}{f}\right]=\varlimsup_{t \rightarrow \infty}\left[-\frac{1}{t} \ln |f(t)|\right]=-\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t}|f(t)|,
\]

будем иметь.
\[
\varlimsup_{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \ln |f(t)|=\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \ln |f(t)|,
\]
т. е. существует предел (3.1.9).

Теорема 3. Если функция $f(t)$ имеет строгий характеристический показатель, то характеристический показатель произведения функций $f(t)$ и $g(t)$ равен сумме характеристических показателей этих функций, т. $е$.
\[
\chi[f(t) g(t)]=\chi[f(t)]+\chi[g(t)] .
\]

Доказательство. На основании теоремы 2 имеем
\[
\chi[f g] \leqslant \chi[f]+\chi[g] .
\]

С другой стороны, учитывая формулу (3.1.10), получаем
\[
\chi[g]=\chi\left[f g \cdot \frac{1}{f}\right] \leqslant \chi[f g]-\chi[f]
\]
т. е.
\[
\chi[f g] \geqslant \chi[i]+\chi[g] .
\]

Из формул (3.1.12) и (3.1.13) вытекает формула (3.1.11).
Следствие. $\chi\left[e^{\alpha t} y\right]=\alpha+\chi[y]$.
Определение 4. Под интегралом функции $f(t)\left(t_{0} \leqslant t<\infty\right)$, следуя Ляпунову (см. [13]), будем понимать
\[
F(t)=\int_{t_{0}}^{t} f\left(t_{1}\right) d t_{1}, \text { если } \chi[f] \geqslant 0,
\]

и
\[
F(t)=\int_{t}^{\infty} f\left(t_{1}\right) d t_{1}, \text { если } \chi[f]<0 .
\]

Теорема 4. Характеристический показатель интеграла не превышает характеристического показателя подинтегральной функции.
Доказательство. Пусть
\[
\chi[f(t)]=\alpha
eq \pm \infty
\]

тогда для любого $\varepsilon>0$ будем иметь
\[
|f(t)| e^{-(\alpha+\varepsilon) t} \rightarrow 0 \text { при } t \rightarrow \infty .
\]

Отсюда
\[
|f(t)| \leqslant M e^{(a+e) t},
\]

где $M$ – некоторая положительная постоянная.
1). Если $\alpha \geqslant 0$, то из (3.1.14) имеем
\[
\begin{aligned}
|F(t)| \leqslant \int_{t_{0}}^{t}\left|f\left(t_{1}\right)\right| d t_{1} & \leqslant \int_{t_{0}}^{t} M e^{(\alpha+\varepsilon) t_{1}} d t_{1}= \\
& =\frac{M}{\alpha+\varepsilon}\left[e^{(\alpha+\varepsilon) t}-e^{(\alpha+\varepsilon) t_{0}}\right]<\frac{M}{\alpha+\varepsilon} e^{(\alpha+\varepsilon) t}\left(t \geqslant t_{0}\right) .
\end{aligned}
\]

Таким образом,
\[
\chi[F(t)]=\chi\left[\left|F(t)^{-}\right|\right] \leqslant \alpha+\varepsilon,
\]

а так как $\varepsilon_{>}>0$ произвольно, то
\[
\chi[F(t)] \leqslant \alpha=\chi[f(t)] .
\]

2) Если $\alpha<0$, то из (3.1.15) при $0<\varepsilon<|\alpha|$ получаем
\[
|F(t)| \leqslant \int_{i}^{\infty}\left|f\left(t_{1}\right)\right| d t_{1} \leqslant M \int_{t}^{\infty} e^{(\alpha+\varepsilon) t_{1}} d t_{1}=\frac{M e^{(\alpha+\varepsilon) t}}{|\alpha+\varepsilon|} .
\]

Отсюда аналогично предыдущему выводим
\[
\chi[F] \leqslant \alpha=\chi[f] .
\]
3) Утверждения теоремы, очевидно, остаются в силе, если $\alpha=-\infty$ или $\alpha=+\infty$.
Следствие. Если
\[
\chi[\varphi] \leqslant \alpha, \quad \chi[\psi] \leqslant \beta \quad(\alpha+\beta \geqslant 0),
\]
mo
\[
\chi\left[\int_{t_{0}}^{t} \varphi\left(t_{1}\right) \psi\left(t_{1}\right) d t_{1}\right] \leqslant \alpha+\beta .
\]

Действительно; используя свойство монотонности характеристических чисел и теорему 4 , имеем
\[
\begin{aligned}
\chi\left[\int_{t_{0}}^{t} \varphi\left(t_{1}\right) \psi\left(t_{1}\right) d t_{1}\right] \leqslant \chi\left[\int_{t_{0}}^{t} M e^{(\alpha+\varepsilon) t_{1}}\left|\psi\left(t_{1}\right)\right| d t_{1}\right] & \leqslant \\
& \leqslant \alpha+\varepsilon+\chi[|\psi|] \leqslant \alpha+\beta+\varepsilon .
\end{aligned}
\]

А так как $\varepsilon>0$ произвольно; то отсюда вытекает неравенство (3.1.16).