Қак известно, две непрерывные периодические функции, имеющие одинаковые ряды Фурье, совпадают между собой, т. е. такие функции однозначно определяются своими коэффициентами Фурье. Докажем, что эта теорема единственности верна также для почти периодических функций. Так как для разности п. п. функций их коэффициенты Фурье равны разностям соответствующих коэффициентов Фурье данных функций, то теорему единственности можно сформулировєть в следующем виде: не существует отличной от тождественного нуля почти периодической функции, все коэффициенты Фурье которой равны нулю.

Теорема единственности нетривиальна, и доказательство ее довольно сложно. Мы приведем здесь незначительно видоизмененное доказательство Бора – де ла Валле-Пуссена (см. [69]). Предварительно понадобится несколько лемм.
Пусть $f(x)$ – п. п. функция и
\[
a(\lambda)=M\left\{f(x) e^{-i \lambda x}\right\} \equiv \lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) e^{-i \lambda x} d x
\]
– ее коэффициенты Фурье. Положим
\[
a_{T}(\lambda)=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) e^{-i \lambda x} d x \quad(0<T \leqslant \infty),
\]

где $a_{\infty}(\lambda)=a(\lambda)$.
Лемма 1. Функция $a_{T}(\lambda)$ разномерно мала при $T>T_{0}>0$ и $|\lambda| \rightarrow \infty$, т. е. для всяких $\varepsilon>0$ и $T_{0}>0$ существует $\Lambda=\widehat{\Lambda}\left(\varepsilon, T_{0}\right)>0$ такое, что
\[
\left|a_{T}(\lambda)\right|=\left|\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) e^{-i \lambda x} d x\right| \leqslant \varepsilon
\]

при $T_{0}<T \leqslant \infty$ и $|\lambda|>\Lambda$.
Доказательство. Выполняя, замену переменной
\[
x=x^{\prime}+\frac{\pi}{\lambda} \quad(\lambda
eq 0)
\]

в интеграле (12.2), будем иметь
\[
\begin{array}{l}
a_{T}(\lambda)=\frac{1}{T} \int_{-\frac{\pi}{\lambda}}^{T-\frac{\pi}{\lambda}} f\left(x^{\prime}+\frac{\pi}{\lambda}\right) e^{-i \lambda\left(x^{\prime}+\frac{\pi}{\lambda}\right)} d x^{\prime}= \\
=-\frac{1}{T} \cdot \int_{-\frac{\pi}{\lambda}}^{T-\frac{\pi}{\lambda}} f\left(x+\frac{\pi}{\lambda}\right) e^{-i \lambda x} d x .
\end{array}
\]

Складывая равенства (12.2) и (12.4), находим (рис. 62)
\[
\begin{array}{l}
2 a_{T}(\lambda)=-\frac{1}{T} \int_{0}^{T}\left[f\left(x+\frac{\pi}{\lambda}\right)-f(x)\right] e^{-i \lambda x} d x+ \\
\quad+\frac{1}{T} \int_{T-\frac{\pi}{\lambda}}^{T} f\left(x+\frac{\pi}{\lambda}\right) e^{-i \lambda x} d x-\frac{1}{T} \int_{-\frac{\pi}{\lambda}}^{0} f\left(x+\frac{\pi}{\lambda}\right) e^{-i \lambda x} d x .
\end{array}
\]

Пусть
\[
\Gamma=\sup _{x}|f(x)|
\]

и $\delta=\delta(\varepsilon)>0$ – число, характеризующее равномерную непрерыв-
Рис. 62.

ность функции $f(x)$. Тогда из равенства (12.5) при $|\lambda|>\frac{\pi}{8}$ и $T>T_{0}$ имеем
\[
\begin{array}{l}
\left|a_{T}(\lambda)\right| \leqslant \frac{1}{2}\left\{\int_{0}^{T}\left|f\left(x+\frac{\pi}{\lambda}\right)-f(x)\right| d x+\right. \\
\left.+\frac{1}{T} \int_{T-\frac{\pi}{\lambda}}^{T}\left|f\left(x+\frac{\pi}{\lambda}\right)\right||d x|+\int_{-\frac{\pi}{\lambda}}^{0}\left|f\left(x+\frac{\pi}{\lambda}\right)\right||d x|\right\}< \\
<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{1}{T_{0}} \cdot \Gamma \cdot \frac{\pi}{|\lambda|}<\varepsilon, \\
\text { если }|\lambda|>\max \left(\frac{\pi}{\delta}, \frac{2 \Gamma \pi}{T_{0} \varepsilon}\right)=\Lambda \text {. } \\
\end{array}
\]

Следствие. Нз (12.6) при $T \rightarrow \infty$ получаем
\[
\left|a_{\infty}(\lambda)\right|=|a(\lambda)| \leqslant \varepsilon \text { при }|\lambda|>\Lambda .
\]

Лемма 2. Пусть все коэффициенты Фурье почти периодической функции $f(x)$ равны нулю, $m$. $е$.
\[
a(\lambda)=M\left\{f(x) e^{-i \lambda x}\right\}=0
\]

при $-\infty<\lambda<\infty$. Тогда для всякого $\varepsilon>0$ существует $T_{0}=$ $=T_{0}(\varepsilon)>0$ такое, что
\[
\left|a_{T}(\lambda)\right|=\left|\frac{1}{T^{-}} \int_{0}^{T} f(x) e^{-i \lambda x} d x\right|<\varepsilon
\]

при $T>T_{0}$ и $\lambda \in(-\infty, \infty)$.
Доказательство. В силу леммы 1 для заданного $\varepsilon>0$ можно выбрать число $\Lambda$ так, чтобы
\[
\left|a_{T}(\lambda)\right|<\varepsilon \text { при } T \geqslant 1 \text { и }|\lambda|>\Lambda .
\]

Поэтому для больших $|\lambda|$ неравенство (12.7) выполнено.
Пусть теперь $|\lambda| \leqslant \Lambda$. Так как
\[
a(\lambda)=\lim _{T \rightarrow \infty} a_{T}(\lambda)=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) e^{-i \lambda x} d x=0,
\]

то на основании усиленной теоремы о среднем (§6) для всякого фиксированного $\lambda \in[-\Lambda, \Lambda]$ существует $T_{\varepsilon}(\lambda) \geqslant 1$ такое, что
\[
\left|\frac{1}{T} \int_{a}^{T+a} f(x) e^{-i \lambda x} d x\right|<\frac{\varepsilon}{2} \text { при } T \geqslant T_{\varepsilon}(\lambda),
\]

где $a \in(-\infty, \infty)$ произвольно. Для точки $\lambda$ рассмотрим ее окрестность
\[
I_{\lambda}=\left\{\left|\lambda^{\prime}-\lambda\right|<\frac{\varepsilon}{4 \Gamma T_{\varepsilon}(\lambda)}\right\},
\]

где $\Gamma=\sup _{x}|f(x)|$.
Заметим, что для любых действительных $\alpha$ и $\beta$ имеем
\[
\left|e^{-i \alpha}-e^{-i \beta}\right|=\left|\int_{\beta}^{\alpha} \frac{d}{d x}\left(e^{-i x}\right) d x\right| \leqslant\left|\int_{\beta}^{\alpha}\right| \frac{d}{d x}\left(e^{-i x}\right)|d x|=|\alpha-\beta| .
\]

Поэтому, если $\lambda^{\prime} \in I_{\lambda}$, то для каждого $H \in\left[T_{\varepsilon}(\lambda), 2 T_{\varepsilon}(\lambda)\right]$ получаем
\[
\begin{array}{r}
\left|\frac{1}{H} \int_{a}^{H+a} f(x) e^{-\lambda^{\prime} x} d x\right|=\left|\frac{1}{H} \int_{a}^{H+a} f(x) e^{-i \lambda x} \cdot e^{-i\left(\lambda^{\prime}-\lambda\right) x} d x\right| \leqslant \\
\leqslant\left|\frac{1}{H} \int_{a}^{H+a} f(x) \cdot e^{-i \lambda x} \cdot e^{-\left(\lambda^{\prime}-\lambda\right) a} d x\right|+ \\
+\left|\frac{1}{H} \int_{a}^{H+a} f(x) e^{-i \lambda x}\left[e^{-i\left(\lambda^{\prime}-\lambda\right) x}-e^{-i\left(\lambda^{\prime}-a\right)}\right] d x\right|< \\
<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{1}{H} \Gamma\left|\lambda^{\prime}-\lambda\right||x-a| \cdot H \leqslant \\
\leqslant \frac{\varepsilon}{2}+\Gamma \cdot \frac{\varepsilon}{4 \Gamma T_{\varepsilon}(\lambda)} \cdot H \leqslant \varepsilon,
\end{array}
\]

так как
\[
1 \leqslant \frac{H}{T_{\varepsilon}(\lambda)} \leqslant 2 \text {. }
\]

Пусть теперь $T>T_{\varepsilon}(\lambda)$ и $k \geqslant 0$ – целое число, удовлетворяющее условию:
\[
2^{k} T_{\varepsilon}(\lambda) \leqslant T<2^{k+1} T_{\varepsilon}(\lambda) .
\]

Тогда, полагая $H=\frac{T}{n}$, где $n=2^{k}$, будем иметь
\[
T_{\varepsilon}(\lambda) \leqslant H<2 T_{\varepsilon}(\lambda) .
\]

Отсюда, представляя $a_{T}\left(\lambda^{\prime}\right)$ в виде среднего арифметического, в силу неравенства (12.9) получим
\[
\begin{array}{c}
\left|a_{T}\left(\lambda^{\prime}\right)\right|=\left|\frac{1}{n H} \int_{0}^{n H} f(x) e^{-i \lambda^{\prime} x} d x\right|=\frac{1}{n}\left|\sum_{
u=1}^{n} \int_{(v-1) H}^{v H} f(x) e^{-i \lambda^{\prime} x} d x\right| \leqslant \\
\leqslant \frac{1}{n} \sum_{v=1}^{n}\left|\int_{(
u-1) H}^{
u H} f(x) e^{-i \lambda^{\prime} x} d x\right|<\frac{1}{n} \sum_{v=1}^{n} \varepsilon=\varepsilon, \quad(12.10)
\end{array}
\]

если только $\lambda^{\prime} \in I_{\lambda}$. Таким образом, для каждого $\lambda \in[-\Lambda, \Lambda]$ существует окрестность $I_{\lambda}$, для любой точки которой $\lambda^{\prime} \in I_{\lambda}$ при $T>T_{\varepsilon}(\lambda)$ выполнено неравенство (12.10). Система $\left\{I_{\lambda}\right\}$ покрывает отрезок $[-\Lambda, \Lambda]$. В силу леммы Гейне – Бореля можно выбрать конечную систему $I_{\lambda_{1}}, I_{\lambda_{2}}, \ldots, I_{\lambda_{N}}$, также покрывающую отрезок $[-\Lambda, \Lambda]$. Полагая
\[
T_{0}(\varepsilon)=\max _{k=1, \ldots, N} T_{\varepsilon}\left(\lambda_{k}\right) \geqslant 1,
\]

находим, что для любой точки $\lambda \in[-\Lambda, \Lambda]$ выполнено неравенство
\[
\left|a_{T}(\lambda)\right|=\left|\frac{1}{T} \int^{T} f(x) e^{-i \lambda x} d x\right|<\varepsilon
\]

при $T>T_{0}(\varepsilon)$.
Отсюда с учетом неравенства (12.8) получаем полнде докә зательство леммы.

Теорема единственности. Если все коэффициенты Фурье почти периодической функции $f(x)$ равны нулю, то эта функция тождественно равна нулю, т. е. из условия
\[
\begin{array}{c}
a(\lambda)=M\left\{f(x) e^{-i \lambda x}\right\}=0 \\
(-\infty<\lambda<\infty)
\end{array}
\]

следует, что
\[
f(x) \equiv 0 \text { при }-\infty<x<+\infty .
\]

Иными словами, п. п. функция $f(x)$, ортогональная ко всем чистым колебаниям $e_{\lambda}=e^{i \lambda x}(-\infty<\lambda<\infty)$, тождественно равна нулю.

Доказательство. Предположим противное, что $f(x)
ot \equiv 0$, т. е.
\[
\sup _{x}|f(x)|=\Gamma>0 .
\]

Рассмотрим свертку (§ 11)
\[
F(x)=\operatorname{M}_{t}\{f(x+t) \overline{f(t)}\}=\lim _{T \rightarrow \infty}\left[-\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x+t) \overline{f(t)} d t\right],
\]

которая также является п. п. функцией.
Имеем
\[
\underset{x}{M}\left\{|F(x)|^{2}\right\}=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T}|F(x)|^{2} d x=\alpha>0,
\]

так как если $\alpha=0$, то (§9, лемма 1) $F(x) \equiv 0$ и, значит,
\[
F(0)=M_{t}\left\{|f(t)|^{2}\right\}=0,
\]

отсюда $f(x) \equiv 0$, что противоречит предположению.
Из формулы (12.14) получаем
\[
\frac{1}{T} \int_{0}^{T}|F(x)|^{2} d x \geqslant \frac{\alpha}{2} \text { при } T \geqslant T_{0}>0 .
\]

Так как (§11, лемма 1 )
\[
F_{T}(x)=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x+t) \overline{f(t)} d x \underset{x}{\rightrightarrows} F(x)
\]

при $T \rightarrow \infty$ и $F(x)$ ограничена, то
\[
\left|F_{T}(x)\right|^{2} \underset{x}{\rightrightarrows}|F(x)|^{2} \text { при } T \rightarrow \infty,
\]

и, следовательно, число $T_{0}$ можно выбрать столь большим, чтобы при $T>T_{0}$ имело место неравенство
\[
\frac{1}{T} \int_{0}^{T}\left|F_{T}(x)\right|^{2} d x \geqslant \frac{\alpha}{4} .
\]

Рассмотрим функцию
\[
\Phi_{T}(x)=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} \tilde{f}_{T}(x+t) \overline{f(t)} d t,
\]

где
\[
\tilde{f}_{T}(x)=f(x) \text { при } 0<x<2 T
\]

и $\tilde{f}_{T}(x+2 T) \equiv \tilde{f}_{T}(x)$ (рис. 63).
Рис. 63.
Легко видеть, что функция $\Phi_{T}(x)$ непрерывна и $2 T$-периодична. Полагая
\[
\mu=\frac{m \pi}{T} \quad(m=0, \pm 1, \pm 2, \ldots)
\]

для $2 T$-периодической функции $\Phi_{T}(x)$, получим ее обычный ряд Фурье:
\[
\Phi_{T}(x) \propto \sum_{\mu} c_{T}(\mu) e^{-i \mu x} .
\]

Вводя обозначения
\[
\begin{array}{l}
\alpha_{T}(\mu)=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) e^{-i \mu x} d x, \\
\beta_{T}(\mu)=\frac{1}{2 T} \int_{0}^{27} f(x) e^{-i \mu x} d x
\end{array}
\]

и используя $2 T$-периодичность функции $\dot{\Phi}_{T}(x)$, для ее коэффициентов Фурье $c_{T}(\mu)$ получим следующие выражения:
\[
\begin{array}{c}
c_{T}(\mu)=\frac{1}{2 T} \int_{0}^{2 T} \Phi_{T}(x) e^{-i \mu x} d x= \\
=\frac{1}{2 T^{2}} \int_{0}^{2 T} d x \int_{0}^{T} \tilde{f}_{T}(x+T) \overline{f(t)} e^{-i \mu x} d t= \\
=\frac{1}{2 T^{2}} \int_{0}^{T} \overline{f(t)} e^{i \mu t} d t \int_{0}^{2 T} \tilde{f}_{T}(x+t) e^{-i \mu(x+t)} d x= \\
=\frac{1}{2 T^{2}} \int_{0}^{T} \overline{f(t)} e^{i \mu t} d t \int_{t}^{2 T+t} \tilde{f}_{T}(x) e^{-i \mu x} d x= \\
=\frac{1}{2 T^{2}} \int_{0}^{T} \overline{f(t)} e^{i \mu t} d t \int_{0}^{2 T} f(x) e^{-i \mu x} d x=\overline{\alpha_{T}(\mu)} \cdot \beta_{T}(\mu) .
\end{array}
\]

Для непрерывной периодической функции $\Phi_{T}(x)$ имеет место известное равенство Парсеваля:
\[
\frac{1}{2 T} \int_{0}^{2 T}\left|\Phi_{T}(x)\right|^{2} d x=\sum_{\mu}\left|c_{T}(\mu)\right|^{2}=\sum_{\mu}\left|\alpha_{T}(\mu)\right|^{2}\left|\beta_{T}(\mu)\right|^{2} .
\]

Так как согласно условию теоремы функция $f(x)$ почти периодическая с нулевыми коэффициентами Фурье, то в силу леммы 2 при достаточно большом $T$ равномерно по $\mu$ справедлива оценка:
\[
\left|\alpha_{T}(\mu)\right|<\varepsilon \quad\left(T>T_{0}\right),
\]

где $\varepsilon>0$ произвольно мало. Далее, так как $\beta_{T}(\mu)$ представляет собой коэффициенты Фурье ограниченной кусочно-непрерывной $2 T$-периодической функции $\tilde{f}_{T}(x)$, то выполнено неравенство Бесселя:
\[
\sum_{\mu}\left|\beta_{T}(\mu)\right|^{2} \leqslant \frac{1}{2 T} \int_{0}^{2 T}\left|f_{T}(x)\right|^{2} d x \leqslant \Gamma^{2} .
\]

Поэтому
\[
\sum_{\mu}\left|\alpha_{T}(\mu)\right|^{2}\left|\beta_{T}(\mu)\right|^{2}<\varepsilon^{2} \sum_{\mu}\left|\beta_{T}(\mu)\right|^{2} \leqslant \varepsilon^{2} \Gamma^{2}
\]

и, значит,
\[
\frac{1}{2 T} \int_{0}^{2 T}\left|\Phi_{T}(x)\right|^{2} d x<\varepsilon^{2} \Gamma^{2} .
\]

Отсюда и подавно
\[
\frac{1}{2 T} \int_{0}^{T}\left|\Phi_{T}(x)\right|^{2} d x<\varepsilon^{2} \Gamma^{2} \text { при } T>T_{0} .
\]

С другой стороны, при $0<x<T$ и $0<t<T$ имеем $0<x+t<2 T$ и, следовательно,
\[
\Phi_{T}(x)=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} \tilde{f}_{T}(x+t) \overline{f(t)} d t=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x+t) \overline{f(t)} d t=F_{T}(x) .
\]

Отсюда на основании неравенства (12.15) получаем
\[
\frac{1}{2 T} \int_{0}^{T}\left|\Phi_{T}(x)\right|^{2} d x=\frac{1}{2 T} \int_{0}^{T}\left|F_{T}(x)\right|^{2} d x \geqslant \frac{\alpha}{8} \text { при } T>T_{0} .
\]

Неравенства (12.16) и (12.17) противоречивы, если выбрать $\varepsilon$ достаточно малым. Таким сбразом, теорема единственности доказана.

Следствие. Две почти периодические функции, имеющие одинаковые ряды Фурье, совпадают между собой.
3амечание. Если $f(x)^{\prime}$ не п. п. функция, то функциональное уравнение
\[
M\left\{f(x) e^{-i \lambda x}\right\}=0 \quad(-\infty<\lambda<-\infty)
\]

может допускать нетривиальныє решения. Например, если $f(x)$ абсолютно интегрируема на $[0, \infty)$, т. е.
\[
\int_{0}^{\infty}|f(x)| d x<\infty
\]

то для всякого действительного $\lambda$, очевидно, имеем
\[
M\left\{f(x) e^{-i \lambda x}\right\}=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{7} f(x) e^{-i \lambda x} d x=0 .
\]

Отметим один важный вывод из теоремы единственности.
Теорема. Если для почти периодической функции $f(x)$ ее ряд Фурье
\[
f(x) \propto \infty \sum_{n} A_{n} e^{i \lambda_{n} x}
\]

сходится равномерно, то сумма его равна данной функции, т. е.
\[
f(x)=\sum_{n} \dot{A}_{n} e^{i \lambda_{n} x} .
\]

Доказательство. Как известно (§9, теорема 2), равномерно сходящийся тригонометрический ряд (12.18) является рядом Фурье своей суммы $S(x)$, т. е.
\[
S(x) \propto \sum_{n} A_{n} e^{i \lambda_{n} x} .
\]

Таким образом, функции $f(x)$ и $S(x)$ имеют одинаковые ряды Фурье и, следовательно, в силу теоремы единственности они совпадают. Отсюда вытекает формула (12.19).

Следствие. Если для почти периодической функции $f(x)$ ее ряд Фурье
\[
f(x) \propto \sum_{n} A_{n} e^{i \lambda_{n} x}
\]

сходится абсолютно, т. е.
\[
\sum_{n}\left|A_{n}\right|<\infty,
\]

то справедливо разложение
\[
f(x)=\sum_{n} A_{n} e^{i \lambda_{n} x} .
\]