Теорема 1. Почти периодическая функция равномерно ограничена на действительной оси.

Доказательство. Пусть $f(x)-$ п. п. функция и $l_{1}=l(1)-$ соответствуюее число из определения 3 (§1) для $\varepsilon=1$. Так как $f(x)$ непрерывна на отрезке $\left[0, l_{1}\right]$, то
\[
\sup _{0 \leqslant x \leqslant l_{1}}|f(x)|=M<\infty .
\]

В силу замечания ( $\$ 1$ ) для любой точки $x \in(-\infty, \infty$ ) и $\varepsilon=1$ существует $\varepsilon$-конгруэнтная ей точка $x^{\prime}=x+\tau \in\left[0, l_{1}\right]$. Отсюда
\[
|f(x)| \leqslant\left|f\left(x^{\prime}\right)\right|+\left|f(x)-f\left(x^{\prime}\right)\right|<M+1<\infty .
\]

Следовательно, $f(x)$ ограничена на $(-\infty, \infty)$.
Теорема 2. Почти периодическая функция равномерно непрерывна на дейстеительнсй оси.

Доказательство. Пусть $f(x)-$ п. п. функция и $l=l_{f}\left(\frac{\varepsilon}{3}\right)$, где $\varepsilon>0$, пронзвольно.

Рассмотрим отрезок $I=[-1, l+1]$ (рис. 55). Так как функция $f(x)$, будучи непрерывной на ( $-\infty, \infty$ ), равномерно непрерывна на $I$, то существует $\delta=\delta\left(\frac{\varepsilon}{3}\right)>0(\delta<1)$ такое, что для
любых точек $x_{1}, x_{2} \in I$, для которых $\left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta$, справедливо неравенство
\[
\left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|<\frac{\varepsilon}{2} .
\]

Пусть теперь $x$ и $y$-произвольная пара точек из $(-\infty, \infty)$, удовлетворяющая условию:
\[
|x-y|<\delta .
\]

Для точки $x$ найдется $\frac{\varepsilon}{3}$-конгруэнтная точка $x^{\prime}=x+\tau \in[0, l]$. Тогда, так как $\delta<1$, то для $y$ имеется $\frac{\varepsilon}{3}$-конгруэнтная точка $y^{\prime}=y+\tau \in I$.
Рис. 55.
Учитывая неравенство (2.1), имеем
\[
\begin{array}{l}
f(x)-f(y)|\leqslant| f(x)-f\left(x^{\prime}\right)|+| f\left(x^{\prime}\right)-f\left(y^{\prime}\right)|+| f\left(y^{\prime}\right)-f(y) \mid< \\
<\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}=\varepsilon .
\end{array}
\]

Следовательно, $f(x)$ равномерно непрерывна на ( $-\infty, \infty$ ).
Следствие 1. Для каждого \&>0 множество в-почти периплотное множество отрезков фиксированной длиньь $\eta=\eta(\varepsilon)$, m. е. существует число $L=L(\varepsilon)$ такое, что на любом отрезке $[a, a+L]$ имеется подотрезок $[x, \alpha+\eta]$, все точки которого $\xi \in\left[\alpha, \alpha+\gamma_{i}\right]$ являются в-почти периодами функции $f(x)$.

Действительно, пусть $\eta=\delta\left(\frac{\varepsilon}{2}\right)$, где $\delta$ определяется из свойства равномерной непрерывности функции $f(x)$. Положим
\[
L=l\left(\frac{\varepsilon}{2}\right)+\eta,
\]

где $l\left(\frac{\varepsilon}{2}\right)$ – число из определения п. п. функции (\$1).
Рассмотрим произвольный отрезок $[a, a+L]$. Из определения п. п. следует, что существует $\frac{\varepsilon}{2}$-почти период $\tau \in\left[a+\frac{\eta}{2}, a+L-\frac{\eta}{2}\right]$. Тогда $\left[\tau-\frac{\eta}{2}, \tau+\frac{\eta}{2}\right] \subset[a, a+L]$ (рис. 56). Отсюда при любом $\xi \in\left[\tau-\frac{\eta}{2}, \tau+\frac{r_{i}}{2}\right]$, учитьвая неравенство $|\xi-\tau|<\delta\left(\frac{\varepsilon}{2}\right)$, по-. лучим
\[
\begin{aligned}
|f(x+\xi)-f(x)| \leqslant|f(x+\xi)-f(x+\tau)|+\mid f(x+\tau) & -f(x) \mid< \\
& <\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon .
\end{aligned}
\]

Таким образом, отрезок $\left[\alpha, \alpha+r_{i}\right]$, где $\alpha=\tau-\frac{\eta}{2}$, целиком состоит из в-почти периодов функции $f(x)$.
Рис: 56.
Следствие 2. Для почти периодической функции $f(x)$ для каждого в $>0$ существует относительно плотное множество в-почти периодов т, являющихся целыми кратными числа $\eta=\eta(\varepsilon)$.