Пусть
\[
X(t, \boldsymbol{x}, \lambda)
\]
– вектор-функция, определенная в области
\[
Q=\left\{t \in[0, T] \times \boldsymbol{x} \in D \subset \mathscr{R}^{n} \times \lambda \in \Lambda\right\}
\]

и имеющая значения $X(t, \boldsymbol{x}, \lambda) \in \Re^{n}$.
Определение. Будем говорить, что данная вектор-функция $X(t, \boldsymbol{x}, \lambda)$ интегрально непрерывна в $\Omega$ по параметру $\lambda$ в точке сгущения $\lambda_{0} \in \Lambda$, если для любых $t \in[0, T]$ и $x \in D$ имеет место предельное соотношение
\[
\lim _{\lambda \rightarrow \lambda_{0}} \int_{0}^{t} \boldsymbol{X}(\tau, \boldsymbol{x}, \lambda) d \tau=\int_{0}^{t} \boldsymbol{X}\left(\tau, \boldsymbol{x}, \lambda_{0}\right) d \tau .
\]

Замечание. Условие интерральной непрерывности не эквивалентно обычной непрерывности. Например, функция
\[
X(t, \lambda)=\left\{\begin{aligned}
\sin \frac{t}{\lambda} & \text { при } \lambda
eq 0, \\
0 & \text { при } \lambda=0
\end{aligned}\right.
\]

не является в области $\{0 \leqslant t \leqslant T,-\infty<\lambda<\infty\}$ непрерывной по $\lambda$ при $\lambda=0$. Однако эта функция интегрально непрерывна по $\lambda$ при $\lambda=0$, так как для каждого отрезка $[0, t] \subset[0, T]$ имеем
\[
\begin{aligned}
\lim _{\lambda \rightarrow 0} \int_{0}^{t} X(\tau, \lambda) d \tau=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \int_{0}^{t} \sin \frac{\tau}{\lambda} d \tau=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \lambda\left(1-\cos \frac{t}{\lambda}\right) & = \\
=0 & =\int_{0}^{t} X(\tau, 0) d \tau .
\end{aligned}
\]

Теорема Красносельского и Крейна (см. [55]). (Обобщение теоремы о переходе к пределу под знаком интеграла.) пусть
1) $\boldsymbol{X}(t, \boldsymbol{x}, \lambda) \in C_{t}(\Omega)$, где $\boldsymbol{Q}=[0, T] \times D \times \Lambda$;
2) $\boldsymbol{X}(t, \boldsymbol{x}, \lambda) \in C_{\boldsymbol{x}}(\Omega)$ равномерно по совокупности переменных $t, \boldsymbol{x}, \lambda$ в $\boldsymbol{Q}, \mathrm{m}$. е. для $\forall \varepsilon>0 \quad \exists \delta=\delta(\varepsilon)>0$ mакое, что для любых $t \in[0, T], x \in D, x^{\prime} \in D$ и $\lambda \in \Lambda$ справедливо неравенство
\[
\left\|\boldsymbol{X}\left(t, \boldsymbol{x}^{\prime}, \lambda\right)-\boldsymbol{X}(t, \boldsymbol{x}, \lambda)\right\|<\varepsilon,
\]

если только $\left\|\boldsymbol{x}^{\prime}-\boldsymbol{x}\right\|<\hat{\delta}$;
3) $X(t, x, \lambda)$ в $\Omega$ интегрально непрерывна по параметру $\lambda в$ точке сгущения $\lambda_{0} \in \Lambda$, m. е. при любых $t \in[0, T]$ и $\boldsymbol{x} \in D$ справедлива формула (5.3.2).

Тогда, если $\boldsymbol{x}_{\lambda}(t)=\boldsymbol{x}(t, \lambda)$-семейство вектор-функций, кусочно-непрерывных по $t$ на $[0, T]$ со значениями $\boldsymbol{x}_{\lambda}(t) \in D n р и$ $t \in[0, T] u \lambda \in \Lambda$, причем
\[
\boldsymbol{x}_{\lambda}(t) \underset{t}{\overrightarrow{3}} \boldsymbol{x}_{\lambda_{0}}(t) n p u \lambda \lambda_{0} \quad(t \in[0, T]),
\]
mo
\[
\begin{array}{l}
\lim _{\lambda \rightarrow \lambda_{0}} \int_{0}^{t} \boldsymbol{X}\left(\tau, \boldsymbol{x}_{\lambda}(\tau), \lambda\right) d \tau= \\
=\int_{0}^{t} \boldsymbol{X}\left(\tau, \boldsymbol{x}_{\lambda_{9}}(\tau), \lambda_{0}\right) d \tau \quad(0 \leqslant t \leqslant T) .
\end{array}
\]

Доказательство (см. [55]). 1) Докажем сначала, что формула (5.3.2) справедлива для любой кусочно-постоянной вектор-
Рис. 50.

функции $\boldsymbol{x}=\hat{\boldsymbol{x}}(\tau)$ где $\hat{\boldsymbol{x}}(\tau)=\boldsymbol{x}_{v}=\mathrm{const}$ при $t_{v-1}<\tau \leqslant t_{\mathrm{v}}$ $\left(v=1,2, \ldots, m ; 0=t_{0}<t_{1}<t_{2}<\ldots<t_{m}=T\right)$, причем $x_{v} \in D$ $(
u=1,2, \ldots, m$ ) (рис. 50 ).

Пусть
\[
t_{k}<t \leqslant t_{k+1} \quad(k \leqslant m-1) .
\]

Имеем
\[
\begin{array}{c}
\int_{0}^{1} \boldsymbol{X}(\tau, \hat{\boldsymbol{x}}(\tau), \lambda) d \tau=\sum_{v=1}^{k} \int_{t_{y-1}}^{t_{y}} \boldsymbol{X}\left(\tau, \boldsymbol{x}_{v}, \lambda\right) d \tau+\int_{t_{k}}^{t} \boldsymbol{X}\left(\tau, \boldsymbol{x}_{k+1}, \lambda\right) d \tau= \\
=\sum_{v=1}^{k}\left[\int_{0}^{t} \boldsymbol{X}\left(\tau, \boldsymbol{x}_{v}, \lambda\right) d \tau-\int_{0}^{t_{y-1}} \boldsymbol{X}\left(\tau, \boldsymbol{x}_{v}, \lambda\right) d \tau\right]+ \\
\quad+\left[\int_{0}^{t} \boldsymbol{X}\left(\tau, \boldsymbol{x}_{k+1}, \lambda\right) d \tau-\int_{0}^{t_{k}} \boldsymbol{X}\left(\tau, \boldsymbol{x}_{k+1}, \lambda\right) d \tau\right] .
\end{array}
\]

Переходя к пределу при $\lambda \rightarrow \lambda_{0}$ в этом равенстве и учитывая условие (5.3.2), при $0 \leqslant t \leqslant T$ получаем
\[
\begin{aligned}
\lim _{\lambda \rightarrow \lambda_{0}} \int_{0}^{t} \boldsymbol{X}(\tau, & \hat{\boldsymbol{x}}(\tau), \lambda) d \tau= \\
= & \sum_{v=1}^{k}\left[\int_{0}^{t} \boldsymbol{X}\left(\tau, \boldsymbol{x}_{v}, \lambda_{0}\right) d \tau-\int_{0}^{t} \boldsymbol{X}\left(\tau, \boldsymbol{x}_{v}, \lambda_{0}\right) d \tau\right]+ \\
& +\left[\int_{0}^{t} \boldsymbol{X}\left(\tau, \boldsymbol{x}_{k+1}, \lambda_{0}\right) d \tau-\int_{0}^{t_{k}} \boldsymbol{X}\left(\tau, \boldsymbol{x}_{k+1}, \lambda_{0}\right) d \tau\right]= \\
& =\int_{0}^{t} \boldsymbol{X}\left(\tau, \hat{\boldsymbol{x}}(\tau), \lambda_{0}\right) d \tau .
\end{aligned}
\]
2) Пусть теперь для вектор-функции $\boldsymbol{x}_{2}(t)$ выполнено условие (5.3.3). Рассмотрим произвольно малое число $\varepsilon>0$ и выберем $0<\varepsilon_{1}<\varepsilon$. Так как $\boldsymbol{X}(t, \boldsymbol{x}, \lambda)$ равномерно непрерывна по $\boldsymbol{x}$ в области $\omega$, то существует $\delta>0$ такое, что
\[
\left\|\boldsymbol{X}\left(t, \boldsymbol{x}_{1}, \lambda\right)-\boldsymbol{X}\left(t, \boldsymbol{x}_{3}, \lambda\right)\right\|<\varepsilon_{1}
\]

при $\left\|\boldsymbol{x}_{1}-\boldsymbol{x}_{2}\right\|<\delta$, если только $t \in[0, T], \boldsymbol{x}_{1} \in D, \quad \boldsymbol{x}_{2} \in D$ и $\lambda \in \Lambda$. Из равномерной сходимости семейства $\boldsymbol{x}_{\lambda}(t)$ к вектор-функции $\boldsymbol{x}_{\lambda_{0}}(t)$ следует, что
\[
\left\|\boldsymbol{x}_{\lambda}(t)-\boldsymbol{x}_{\lambda_{0}}(t)\right\|<\delta
\]

при $0 \leqslant t \leqslant T$ и $\lambda \in U\left(\lambda_{0}\right)$.
Наконец, ввиду кусочной непрерывности предельной векторфункции $\boldsymbol{x}_{\lambda_{0}}(t)$ найдется кусочнс-постоянная вектор-функция $\hat{\boldsymbol{x}}(t)$ такая, что
\[
\left\|\boldsymbol{x}_{\lambda_{0}}(t)-\dot{\boldsymbol{x}}(t)\right\|<\delta
\]

при $0 \leqslant t \leqslant T$ (рис. 51 ). Для $t \in[0, T]$ имеем
\[
\begin{array}{l}
I=\| \int_{0}^{t} \boldsymbol{X}(\tau,\left.\boldsymbol{x}_{\lambda}(\tau), \lambda\right) d \tau-\int_{0}^{t} \boldsymbol{X}\left(\tau, \boldsymbol{x}_{\lambda_{0}}(\tau), \lambda_{0}\right) d \tau \| \leqslant \\
\leqslant \int_{0}^{t}\left\|\boldsymbol{X}\left(\tau, \boldsymbol{x}_{\lambda}(\tau), \lambda\right)-\boldsymbol{X}\left(\tau, \boldsymbol{x}_{\lambda_{j}}(\tau), \lambda\right)\right\| d \tau+ \\
+\int_{0}^{t}\left\|\boldsymbol{X}\left(\tau, \boldsymbol{x}_{\lambda_{0}}(\tau), \lambda\right)-\boldsymbol{X}(\tau, \hat{\boldsymbol{x}}(\tau), \lambda)\right\| d \tau+ \\
+\left\|\int_{0}^{t}\left[\boldsymbol{X}(\tau, \hat{\boldsymbol{x}}(\tau), \lambda)-\boldsymbol{X}\left(\tau, \hat{\boldsymbol{x}}(\tau), \lambda_{0}\right)\right] d \tau\right\|+ \\
+\int_{0}^{t}\left\|\boldsymbol{X}\left(\tau, \hat{\boldsymbol{x}}(\tau), \lambda_{0}\right)-\boldsymbol{X}_{0}\left(\tau, \boldsymbol{x}_{\lambda_{0}}(\tau), \lambda_{0}\right)\right\| d \tau= \\
=I_{1}+I_{2}+I_{3}+I_{4} .
\end{array}
\]

Так как вектор-функция $\hat{x}(\tau)$ кусочно-постоянная, то в силу
Рис. 51.

формулы (5.3.5) при любом фиксированном $t \in[0, T]$ окрестность $U\left(\lambda_{0} ; t\right)$ можно выбрать так, чтобы
\[
I_{3}=\left\|\int_{0}^{t}\left[\boldsymbol{X}(\tau, \hat{\boldsymbol{x}}(\tau), \lambda)-\boldsymbol{X}\left(\tau, \hat{\boldsymbol{x}}(\tau), \lambda_{0}\right)\right] d \tau\right\|<\varepsilon_{1}
\]

при $\lambda \in U\left(\lambda_{0} ; t\right)$.
Далее, на основании неравенства (5.3.6), учитывая неравенства (5.3.7) и (5.3.8), получаем
\[
\begin{array}{l}
I_{1}=\int_{0}^{t}\left\|\boldsymbol{X}\left(\tau, \boldsymbol{x}_{\lambda}(\tau), \lambda\right)-\boldsymbol{X}\left(\tau, \boldsymbol{x}_{\lambda_{0}}(\tau), \lambda\right)\right\| d \tau<\varepsilon_{1} t \leqslant \varepsilon_{1} T ; \\
I_{2}=\int_{0}^{t}\left\|\boldsymbol{X}\left(\tau, \boldsymbol{x}_{\lambda_{0}}(\tau), \lambda\right)-\boldsymbol{X}(\tau, \hat{\boldsymbol{x}}(\tau), \lambda)\right\| d \tau<\varepsilon_{1} t \leqslant \varepsilon_{1} T
\end{array}
\]

И
\[
I_{4}=\int_{0}^{t}\left\|\boldsymbol{X}\left(\tau, \hat{\boldsymbol{x}}(\tau), \lambda_{0}\right)-\boldsymbol{X}\left(\tau, \boldsymbol{x}_{\lambda_{0}}(\tau), \lambda_{0}\right)\right\| d \tau<\varepsilon_{1} t \leqslant \varepsilon_{1} T .
\]

Таким образом, из (5.3.9) и (5.3.10) имеем
\[
I<\varepsilon_{1}(1+3 T)<\varepsilon,
\]

если принять $\varepsilon_{1}<\frac{\varepsilon}{1+3 T}$, где $\lambda \in U\left(\lambda_{0} ; t\right)$. Следовательно,
\[
\lim _{\lambda \rightarrow \lambda_{i}} \int_{0}^{t} \boldsymbol{X}\left(\tau, \boldsymbol{X}_{\lambda}(\tau), \lambda\right) d \tau=\int_{0}^{t} \boldsymbol{X}\left(\tau, \boldsymbol{x}_{\lambda_{0}}(\tau), \lambda_{0}\right) d \tau
\]

для любого $t \in[0, T]$.