Пусть
$$\frac{dx}{dt}=A(t)x$$
— линейная система с действительной или комплексной непрерывной матрицей $A(t)$.
Определение. Система
$$\frac{dy}{dt}=-A\ast (t)y,$$

где $A^{\ast }(t)=\overline{A^T(t)}$ — эрмитово-сопряженная матрица для $A(t)$, называется сопряженной для системы (3.12.1). Если матрица $A(t)$ действительная, то $A^{\ast }(t)=A^T(i)$, и, сиедовательно, для действительной системы (3.12.1) ее сопряженная система имеет вид
$$\frac{dy}{dt}=-A^T(t)y.$$

Очевидно, систему (3.12.1) можно рассматривать как сопряжепную для системы (3.12.2), т. е. системы (3.12.1) и (3.12.2) взаимно сопряженные.

Лемма. Для эюбых решений $\mathit{x}$ и $\mathit{y}$ взаимно сопряженных систем (3.12.1) и (3.12.2) справедливо тождество
$$y\ast x\equiv (x,y)\equiv c,$$

где $y^{\ast }$ — эрмитово-сопряженный вектор для у и с-некоторая постоянная.

Аналогично для фундаментальньх матриц решений $X=X(t)$ и $Y=Y(t)$ этих систем имеет место соотнойсие
$$Y^{\ast }X\equiv C,$$

где $Y^{\ast }$ — эрмитово-сопряженная матрица для $Y$ и $C$ — постоянная матрица.

Обратно, если выполнено соотношение (3.12.4), где $C$-неособенная постоянная матрица (det $Ceq0$ ) и $X-$ фундаментальная матрица системь (3.12.1), то $Y$ есть фундаментальная матрица сопряженной системы (3.12.2).
Доказательство. 1) Пусть вектор-столбец
$$\mathit{y}=\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right]$$

является решением системы (3.12.2). Тогда вектор-строка
$$y^{\ast }=[{\overline{y}}_1,\cdots ,{\overline{y}}_n\rfloor \text{, }$$

очевидно, есть решеиие системы
$$\frac{d{y}^{\ast }}{dt}=-y^{\ast }A(t).$$

Мз уравнений (3.12.2) и (3.12.5) получаем
$$y^{\ast }\frac{dx}{dt}=y^{\ast }A(t)x$$
n
$$\frac{d{y}^{\ast }}{dt}x=-y^{\ast }A(t)x.$$

Складывая последние равенства, будем иметь
$$y^{\ast }\frac{dx}{dt}+\frac{d{y}^{\ast }}{dt}x=0$$

или
$$\frac{d}{dt}\left(y^{\ast }x\right)=0\text{. }$$

Следовательно,
$$y^{\ast }x=c.$$
2) Так как фундаментальные матрицы $X$ и $Y$ удовлетворяют уравнениям
$$\dot{X}=A(t)X$$

и
$$\dot{Y}=-A^{\ast }(t)Y,$$

то аналогично доказанному выше имеем тождество (3.12.4).
3) Пусть справедливо тождество (3.12.4). Тогда
$$Y={\left(C{X}^{-1}\right)}^{\ast }\equiv {\left(X^{\ast }\right)}^{-1}{C}^{\ast },$$

где $X^{\ast }$ удовлетворяет дифференциальному уравнению
$${\dot{X}}^{\ast }=X^{\ast }{A}^{\ast }(t).$$

Из формулы (3.12.8), используя формулу для производной обратной матрицы (гл. I, § 7), имеем
$$\dot{Y}=-{\left(X^{\ast }\right)}^{-1}{\dot{X}}^{\ast }{\left(X^{\ast }\right)}^{-1}{C}^{\ast }=-{\left(X^{\ast }\right)}^{-1}{X}^{\ast }{A}^{\ast }(t){\left(X^{\ast }\right)}^{-1}{C}^{\ast }=-A^{\ast }(t)Y,$$
причем
$$\det Y=\det {\left(X^{\ast }\right)}^{-1}\cdot \det C^{\ast }=(\det X{)}^{-1}\cdot \det Ceq0.$$

Следовательно, $Y$ есть фундаментальная матрица сопряженной системы (3.12.2) (гл. I, \& 2).

Tеорема Перрона (см. [25], [14]). Для правильности линейной однородной дифференциальной системы необходимо и достаточно, чтобы полный спектр ${}^1$ ) данной системы
$${\alpha }_1⩽{\alpha }_2⩽\dots ⩽{\alpha }_n$$

и полный спектр ее сопряженной системы
$${\beta }_1⩾{\beta }_2⩾\dots ⩾{\beta }_n$$
1) Иными словами, спектр с учетом кратностей характеристических показателей (см. $\mathrm{\$}4$ ).

были бы симметричны относительно нуля, т. е. должны иметь место равенства
$${\alpha }_s+{\beta }_s=0(s=1,\dots ,n).$$

Доказательство. 1) Докажем сначала необходимость условий теоремы. Пусть система (3.12.1) правильная и $X(t)=$ $==[x_{jk}(t)]$ — ее нормальная фундаментальная матрица, состоящая из решений
$${\mathit{x}}^{(k)}=\mathrm{colon}[x_{1k}(t),\dots ,x_{nk}(t)](k=1,\dots ,n)$$

таких, что
$$\chi \left[{\mathit{x}}^{(k_j}\right]={\alpha }_k,$$

где числа $x_k$ удовлетворяют неравенствам (3.12.10). Тогда в силу леммы
$$\dot{Y}(t)={[X^{-1}(t)]}^{\ast }\equiv [y_{jk}(t)]$$

является фундаментальной матрицей решений сопряженной системы (3.12.2). Пусть, цалее,
$${\mathit{y}}^{(k)}=\mathrm{colon}[{\mathit{y}}_{1k}(t),\dots ,{\mathit{y}}_{nk}(t)](k=1,\dots ,n),$$

где
$$\chi [y^{(k)}\mid ={\beta }_k.$$

Из формулы (3.12.13) вытекает, что
$$Y^{\ast }(t)X(t)=E\text{. }$$

Отсюда на основании правила умножения матриц будем иметь
$$y^{(s)\ast }\cdot x^{(s)}=1(s=1,\dots ,n).$$

Воспользовавшись теперь теоремой о характеристическом показателе произведения двух матриц ( $\mathrm{\$}2$ ), находим
$$\chi [1]=0⩽\chi \left[y^{(s)\ast }\right]+\chi \left[x^{(s)}\right],$$
T. e.
$${\alpha }_s+{\rho }_s⩾0\text{. }$$

С другой стороны, если $X_{jp}(t)$— алгебраическое дополнение элемента $x_{jk}(t)$ определителя $\det X(t)$, то на основании известного правила обращения матрицы получаем
$$y_{js}(t)={\left[\frac{X_{sj}(t)}{\det X(t)}\right]}^{\ast }=\frac{\overline{X_{js}(t)}}{\overline{\det X(t)}},$$

где
$$\det X(t)=\det X\left(t_0\right)\cdot \exp {\int }_{t_0}^t\mathrm{Sp}A\left(t_1\right)d{t}_{1}eq0$$

Отсюда
$$\chi [y_{js}(t)]⩽\chi \left[\frac{1}{\overline{\det X\left(t_0\right)}}\right]+\chi [\exp \{-{\int }_{t_0}^t\mathrm{Sp}A\left(t_1\right)d{t}_1\}]+\chi \left[\overline{X_{is}(t)}\right].$$

Очевидно,
$$\chi \left[\frac{1}{\det X\left(t_{\theta }\right)}\right]=0\text{. }$$

Далее, так как система (3.12.1) правильная, то выполнено равенство Ляпунова
$$\sigma =\sum _s{\alpha }_s=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{t}{\int }_{t_0}^t\mathrm{Re}\mathrm{Sp}A\left(t_1\right)d{t}_1,$$

и поэтому
$$\chi [\exp \{\cdots {\int }_{t_{10}}^t\mathrm{Sp}A\left(t_1\right)d{t}_1\}]=-\sigma .$$

Наконец, учитывая, что при сосгавлении алгебраического дополнения $X_{js}(t)$ вычеркивается $s$-й столбец, содержащий координаты решения ${\mathit{x}}^{(s)}$, будем иметь
$$\chi \left[\overline{X_{js}(t)}\right]=\chi [X_{js}(t)]⩽\sigma -{\alpha }_s.$$

Таким образом,
$$\chi [y_{js}(t)]⩽0+(-\sigma )+(\sigma -{\alpha }_s)=-{\alpha }_s$$

и, следовательно,
$${\beta }_s=\underset{j}{max}\chi [y_{js}(t)]⩽-x_s,$$
T. e.
$${\alpha }_s+3_s⩽0.$$

Сопоставляя эти неравенства с неравенствами (3.12.15), получаем
$${\alpha }_s+{\beta }_s=0(s=1,\dots ,n).$$

Остается показать, что фундаментальная матрица $Y(t)$ нормальная и, следовательно, числа ${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n$ реализуют весь спектр сопряженной системы. Действительно, на основании равенств (3.12.17) имеем
$$\begin{array}{rl}{\sigma }_Y& =\sum _s{\beta }_s=-\sum _s{\alpha }_s=-\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{t}{\int }_{t_0}^t\mathrm{Re}\mathrm{Sp}A\left(t_1\right)d{t}_1=\\ & =\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{t}{\int }_{t_0}^t\mathrm{Re}\mathrm{Sp}[-A^{\ast }\left(t_1\right)]d{t}_1.\end{array}$$

Таким образом, для фундаментальной матрицы $Y(t)$ сопряженной системы (3.12.2) выполнено равенство Ляпунова и, следовательно, эга матрица нормальная (§ 7 ).
2) Докажем теперь достаточность условий теоремы. Пусть (3.12.10) и (3.12.11) — спектры сопряженных систем и выполнены равенства (3.12.12).
На основании неравенства Ляпунова имеем
$$\sum _s{x}_s⩾\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}\frac{1}{t}{\int }_{t_0}^t\mathrm{ReSp}A\left(t_1\right)d{t}_1=\overline{S}$$

и
$$\begin{array}{rl}\sum _s{\beta }_s⩾\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{t}{\int }_{t_0}^t\mathrm{ReSp}[-A^{\ast }\left(t_1\right)\mid d{t}_1& \\ & =-\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{t}{\int }_{t_1}^t\mathrm{ReSp}A\left(t_1\right)d{t}_1=-S.\end{array}$$

Складывая последние неравенства, в силу неравенства (3.12.12) получим
$$0=\sum _s({\alpha }_s+{\beta }_s)⩾\overline{S}-\underset{―}{S}.$$

Но так как, очевидно,
$$S⩽S,$$

TO
$$S=S.$$

Следовательно, существует предел
$$S=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{t}{\int }_{t_i}^t\mathrm{Re}\mathrm{Sp}A\left(t_1\right)d{t}_1.$$

Кроме того, выполнено равенство
$$\sum _s{\alpha }_s=S.$$

Действительно, если бы
$$\sum _s{\alpha }_i>S,$$

то, учитывая, что
$$\sum _s{\beta }_s⩾-S,$$

мы бы имели
$$0=\sum _s({\alpha }_z+{\beta }_s)>0,$$

что, очевидно, невозможно.

Таким образом, на основании леммы из $\mathrm{\$}11$ система (3.11.1) правильная.
Теорема доказана.
Следствие 1. Сопряженная система для правильной линейной системь есть пакже правильная линейная система.

Следствие 2. Если система (3.11.1) — правильная и $X(t)$ ее нормальная фундаментальная матрица, то
$$Y={[X^{-1}(t)]}^{\ast }$$

есть нормальная фундаментальная матрица сопряженной системы (3.11.2).