Пусть
\[
\frac{d x}{d t}=A(t) x
\]
– линейная система с действительной или комплексной непрерывной матрицей $A(t)$.
Определение. Система
\[
\frac{d y}{d t}=-A *(t) y,
\]

где $A^{*}(t)=\overline{A^{T}(t)}$ – эрмитово-сопряженная матрица для $A(t)$, называется сопряженной для системы (3.12.1). Если матрица $A(t)$ действительная, то $A^{*}(t)=A^{T}(i)$, и, сиедовательно, для действительной системы (3.12.1) ее сопряженная система имеет вид
\[
\frac{d y}{d t}=-A^{T}(t) y .
\]

Очевидно, систему (3.12.1) можно рассматривать как сопряжепную для системы (3.12.2), т. е. системы (3.12.1) и (3.12.2) взаимно сопряженные.

Лемма. Для эюбых решений $\boldsymbol{x}$ и $\boldsymbol{y}$ взаимно сопряженных систем (3.12.1) и (3.12.2) справедливо тождество
\[
y * x \equiv(x, y) \equiv c,
\]

где $y^{*}$ – эрмитово-сопряженный вектор для у и с-некоторая постоянная.

Аналогично для фундаментальньх матриц решений $X=X(t)$ и $Y=Y(t)$ этих систем имеет место соотнойсие
\[
Y^{*} X \equiv C,
\]

где $Y^{*}$ – эрмитово-сопряженная матрица для $Y$ и $C$ – постоянная матрица.

Обратно, если выполнено соотношение (3.12.4), где $C$-неособенная постоянная матрица (det $C
eq 0$ ) и $X-$ фундаментальная матрица системь (3.12.1), то $Y$ есть фундаментальная матрица сопряженной системы (3.12.2).
Доказательство. 1) Пусть вектор-столбец
\[
\boldsymbol{y}=\left[\begin{array}{c}
y_{1} \\
\vdots \\
y_{n}
\end{array}\right]
\]

является решением системы (3.12.2). Тогда вектор-строка
\[
y^{*}=\left[\bar{y}_{1}, \cdots, \bar{y}_{n}\right\rfloor \text {, }
\]

очевидно, есть решеиие системы
\[
\frac{d y^{*}}{d t}=-y^{*} A(t) .
\]

Мз уравнений (3.12.2) и (3.12.5) получаем
\[
y^{*} \frac{d x}{d t}=y^{*} A(t) x
\]
n
\[
\frac{d y^{*}}{d t} x=-y^{*} A(t) x .
\]

Складывая последние равенства, будем иметь
\[
y^{*} \frac{d x}{d t}+\frac{d y^{*}}{d t} x=0
\]

или
\[
\frac{d}{d t}\left(y^{*} x\right)=0 \text {. }
\]

Следовательно,
\[
y^{*} x=c .
\]
2) Так как фундаментальные матрицы $X$ и $Y$ удовлетворяют уравнениям
\[
\dot{X}=A(t) X
\]

и
\[
\dot{Y}=-A^{*}(t) Y,
\]

то аналогично доказанному выше имеем тождество (3.12.4).
3) Пусть справедливо тождество (3.12.4). Тогда
\[
Y=\left(C X^{-1}\right)^{*} \equiv\left(X^{*}\right)^{-1} C^{*},
\]

где $X^{*}$ удовлетворяет дифференциальному уравнению
\[
\dot{X}^{*}=X^{*} A^{*}(t) .
\]

Из формулы (3.12.8), используя формулу для производной обратной матрицы (гл. I, § 7), имеем
\[
\dot{Y}=-\left(X^{*}\right)^{-1} \dot{X}^{*}\left(X^{*}\right)^{-1} C^{*}=-\left(X^{*}\right)^{-1} X^{*} A^{*}(t)\left(X^{*}\right)^{-1} C^{*}=-A^{*}(t) Y,
\]
причем
\[
\operatorname{det} Y=\operatorname{det}\left(X^{*}\right)^{-1} \cdot \operatorname{det} C^{*}=(\operatorname{det} X)^{-1} \cdot \operatorname{det} C
eq 0 .
\]

Следовательно, $Y$ есть фундаментальная матрица сопряженной системы (3.12.2) (гл. I, \& 2).

Tеорема Перрона (см. [25], [14]). Для правильности линейной однородной дифференциальной системы необходимо и достаточно, чтобы полный спектр ${ }^{1}$ ) данной системы
\[
\alpha_{1} \leqslant \alpha_{2} \leqslant \ldots \leqslant \alpha_{n}
\]

и полный спектр ее сопряженной системы
\[
\beta_{1} \geqslant \beta_{2} \geqslant \ldots \geqslant \beta_{n}
\]
1) Иными словами, спектр с учетом кратностей характеристических показателей (см. $\$ 4$ ).

были бы симметричны относительно нуля, т. е. должны иметь место равенства
\[
\alpha_{s}+\beta_{s}=0 \quad(s=1, \ldots, n) .
\]

Доказательство. 1) Докажем сначала необходимость условий теоремы. Пусть система (3.12.1) правильная и $X(t)=$ $==\left[x_{j k}(t)\right]$ – ее нормальная фундаментальная матрица, состоящая из решений
\[
\boldsymbol{x}^{(k)}=\operatorname{colon}\left[x_{1 k}(t), \ldots, x_{n k}(t)\right] \quad(k=1, \ldots, n)
\]

таких, что
\[
\chi\left[\boldsymbol{x}^{\left(k_{j}\right.}\right]=\alpha_{k},
\]

где числа $x_{k}$ удовлетворяют неравенствам (3.12.10). Тогда в силу леммы
\[
\dot{Y}(t)=\left[X^{-1}(t)\right]^{*} \equiv\left[y_{j k}(t)\right]
\]

является фундаментальной матрицей решений сопряженной системы (3.12.2). Пусть, цалее,
\[
\boldsymbol{y}^{(k)}=\operatorname{colon}\left[\boldsymbol{y}_{1 k}(t), \ldots, \boldsymbol{y}_{n k}(t)\right] \quad(k=1, \ldots, n),
\]

где
\[
\chi\left[y^{(k)} \mid=\beta_{k} .\right.
\]

Из формулы (3.12.13) вытекает, что
\[
Y^{*}(t) X(t)=E \text {. }
\]

Отсюда на основании правила умножения матриц будем иметь
\[
y^{(s) *} \cdot x^{(s)}=1 \quad(s=1, \ldots, n) .
\]

Воспользовавшись теперь теоремой о характеристическом показателе произведения двух матриц ( $\$ 2$ ), находим
\[
\chi[1]=0 \leqslant \chi\left[y^{(s) *}\right]+\chi\left[x^{(s)}\right],
\]
T. e.
\[
\alpha_{s}+\rho_{s} \geqslant 0 \text {. }
\]

С другой стороны, если $X_{j p}(t)$– алгебраическое дополнение элемента $x_{j k}(t)$ определителя $\operatorname{det} X(t)$, то на основании известного правила обращения матрицы получаем
\[
y_{j s}(t)=\left[\frac{X_{s j}(t)}{\operatorname{det} X(t)}\right]^{*}=\frac{\overline{X_{j s}(t)}}{\overline{\operatorname{det} X(t)}},
\]

где
\[
\operatorname{det} X(t)=\operatorname{det} X\left(t_{0}\right) \cdot \exp \int_{t_{0}}^{t} \operatorname{Sp} A\left(t_{1}\right) d t_{1}
eq 0
\]

Отсюда
\[
\chi\left[y_{j s}(t)\right] \leqslant \chi\left[\frac{1}{\overline{\operatorname{det} X\left(t_{0}\right)}}\right]+\chi\left[\exp \left\{-\int_{t_{0}}^{t} \operatorname{Sp} A\left(t_{1}\right) d t_{1}\right\}\right]+\chi\left[\overline{X_{i s}(t)}\right] .
\]

Очевидно,
\[
\chi\left[\frac{1}{\operatorname{det} X\left(t_{\theta}\right)}\right]=0 \text {. }
\]

Далее, так как система (3.12.1) правильная, то выполнено равенство Ляпунова
\[
\sigma=\sum_{s} \alpha_{s}=\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \int_{t_{0}}^{t} \operatorname{Re} \operatorname{Sp} A\left(t_{1}\right) d t_{1},
\]

и поэтому
\[
\chi\left[\exp \left\{\cdots \int_{t_{10}}^{t} \operatorname{Sp} A\left(t_{1}\right) d t_{1}\right\}\right]=-\sigma .
\]

Наконец, учитывая, что при сосгавлении алгебраического дополнения $X_{j s}(t)$ вычеркивается $s$-й столбец, содержащий координаты решения $\boldsymbol{x}^{(s)}$, будем иметь
\[
\chi\left[\overline{X_{j s}(t)}\right]=\chi\left[X_{j s}(t)\right] \leqslant \sigma-\alpha_{s} .
\]

Таким образом,
\[
\chi\left[y_{j s}(t)\right] \leqslant 0+(-\sigma)+\left(\sigma-\alpha_{s}\right)=-\alpha_{s}
\]

и, следовательно,
\[
\beta_{s}=\max _{j} \chi\left[y_{j s}(t)\right] \leqslant-x_{s},
\]
T. e.
\[
\alpha_{s}+3_{s} \leqslant 0 .
\]

Сопоставляя эти неравенства с неравенствами (3.12.15), получаем
\[
\alpha_{s}+\beta_{s}=0 \quad(s=1, \ldots, n) .
\]

Остается показать, что фундаментальная матрица $Y(t)$ нормальная и, следовательно, числа $\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}$ реализуют весь спектр сопряженной системы. Действительно, на основании равенств (3.12.17) имеем
\[
\begin{aligned}
\sigma_{Y} & =\sum_{s} \beta_{s}=-\sum_{s} \alpha_{s}=-\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \int_{t_{0}}^{t} \operatorname{Re} \operatorname{Sp} A\left(t_{1}\right) d t_{1}= \\
& =\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \int_{t_{0}}^{t} \operatorname{Re} \operatorname{Sp}\left[-A^{*}\left(t_{1}\right)\right] d t_{1} .
\end{aligned}
\]

Таким образом, для фундаментальной матрицы $Y(t)$ сопряженной системы (3.12.2) выполнено равенство Ляпунова и, следовательно, эга матрица нормальная (§ 7 ).
2) Докажем теперь достаточность условий теоремы. Пусть (3.12.10) и (3.12.11) – спектры сопряженных систем и выполнены равенства (3.12.12).
На основании неравенства Ляпунова имеем
\[
\sum_{s} x_{s} \geqslant \varlimsup_{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \int_{t_{0}}^{t} \operatorname{ReSp} A\left(t_{1}\right) d t_{1}=\bar{S}
\]

и
\[
\begin{aligned}
\sum_{s} \beta_{s} \geqslant \lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \int_{t_{0}}^{t} \operatorname{ReSp}\left[-A^{*}\left(t_{1}\right) \mid d t_{1}\right. & \\
& =-\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \int_{t_{1}}^{t} \operatorname{ReSp} A\left(t_{1}\right) d t_{1}=-S .
\end{aligned}
\]

Складывая последние неравенства, в силу неравенства (3.12.12) получим
\[
0=\sum_{s}\left(\alpha_{s}+\beta_{s}\right) \geqslant \bar{S}-\underline{S} .
\]

Но так как, очевидно,
\[
S \leqslant S,
\]

TO
\[
S=S .
\]

Следовательно, существует предел
\[
S=\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \int_{t_{i}}^{t} \operatorname{Re} \operatorname{Sp} A\left(t_{1}\right) d t_{1} .
\]

Кроме того, выполнено равенство
\[
\sum_{s} \alpha_{s}=S .
\]

Действительно, если бы
\[
\sum_{s} \alpha_{i}>S,
\]

то, учитывая, что
\[
\sum_{s} \beta_{s} \geqslant-S,
\]

мы бы имели
\[
0=\sum_{s}\left(\alpha_{z}+\beta_{s}\right)>0,
\]

что, очевидно, невозможно.

Таким образом, на основании леммы из $\$ 11$ система (3.11.1) правильная.
Теорема доказана.
Следствие 1. Сопряженная система для правильной линейной системь есть пакже правильная линейная система.

Следствие 2. Если система (3.11.1) – правильная и $X(t)$ ее нормальная фундаментальная матрица, то
\[
Y=\left[X^{-1}(t)\right]^{*}
\]

есть нормальная фундаментальная матрица сопряженной системы (3.11.2).