Теорема 1. Если последовательность почти периодических функций $f_{1}(x), f_{2}(x), \ldots, f_{n}(x), \ldots$ равномерно сходится на всей числовой оси $-\infty<x<\infty$, то предельная функция
\[
f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)
\]

является почти периодической.
Доказательство. Пусть $\varepsilon>0$ произвольно мало. В силу равномерной сходимости
\[
f_{n}(x) \underset{x}{\rightarrow} f(x) \in C(-\infty, \infty)
\]

существует число $N=N(\varepsilon)$ такое, что
\[
\left|f(x)-f_{N}(x)\right|<\frac{\varepsilon}{3},
\]

причем $f(x) \in C(-\infty, \infty)$.

Пусть $\tau=\tau_{f_{N}}\left(\frac{\varepsilon}{3}\right)$ — почти период функции $f_{N}(x)$ с точностью до $\frac{\varepsilon}{3}$. Используя неравенство (4.1), имеем
\[
\begin{array}{l}
|f(x+\tau)-f(x)| \leqslant\left|f(x+\tau)-f_{N}(x+\tau)\right|+ \\
+\left|f_{N}(x+\tau)-f_{N}(x)\right|+\left|f_{N}(x)-f(x)\right|< \\
<\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}=\varepsilon . \\
\end{array}
\]

Отсюда, учитывая стносительную плотность множества чисел $\tau$, заключаем, что предельная функция $f(x)$ почти периодическая.
Следствие 1. Каждая функця
\[
f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} P_{n}(x),
\]

допускающая равномерную аппроксимацию конечными тригонометрическими полиномами:
\[
P_{n}(x)=\sum_{k=1}^{N_{n}} c_{k}^{(n)} e^{i \lambda_{k}^{(n)} x}
\]
$(n=1,2, \ldots)$, является почти периодической.
Замечание. Справедлива также обратная теорема, т. е. каждая п. п. функция является равномерным пределом некоторой последовательности тригонометрических полиномов (см. §16).

Следствие 2. Сумма равномерно сходящегося на $(-\infty, \infty)$ ряда почти периодических функций есть функция почти периодическая.

Теорема 2. Если почти периодическая функция $f(x)$ имеет равномерно непрерывную на действительной оси — $<x<\infty$ производную $f^{\prime}(x)$, то эта процзводная также почти периодическая.
Доказательство. Пусть
\[
f^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} .
\]

Полагая $h=\frac{1}{n}(n=1,2, \ldots)$, очевидно, имеем
\[
f^{\prime}(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} n\left[f^{\prime}\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)\right] .
\]

Функций
\[
f_{n}(x)=n\left[f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)\right]
\]

$(n=1,2, \ldots)$, представляющие линейные комбинации п. п. функций, очевидно, почти периодические. Имеем
\[
\begin{aligned}
f^{\prime}(x)-f_{n}(x)=n\left[\int_{0}^{\frac{1}{n}} f^{\prime}(x) d t-\int_{0}^{\frac{1}{n}} f^{\prime}(x+t) d t\right] & = \\
& =n \int_{0}^{\frac{1}{n}}\left[f^{\prime}(x)-f^{\prime}(x+t)\right] d t .
\end{aligned}
\]

Так как функция $f^{\prime}(x)$ равномерно непрерывна на ( $-\infty, \infty$ ), то существует $\delta=\delta(\varepsilon)>0$ такое, что
\[
\left|f^{\prime}(x+h)-f^{\prime}(x)\right|<\varepsilon \text { при }|h|<\delta .
\]

Поэтому из формулы (4.2) при $n>N=\frac{1}{\delta(\varepsilon)^{2}}$ имеем
\[
\left|f^{\prime}(x)-f_{n}(x)\right| \leqslant n \int_{0}^{\frac{1}{n}}\left|f^{\prime}(x)-f^{\prime}(x+t)\right| d t<n \int_{0}^{1} \varepsilon d t=\varepsilon,
\]
т. е.
\[
f_{n}(x) \underset{x}{\rightarrow} f^{\prime}(x) .
\]

Отсюда в силу теоремы 1 функция $f^{\prime}(x)$ п. п.