Пусть имеется бесконечное самейство комплекснозначных вектор-функций действительной переменной $t$
\[
\boldsymbol{y}_{\lambda}=\boldsymbol{f}(t, \lambda),
\]

зависящих от действительного параметра $\lambda$ и определенное на некотором множестве $\omega=\left\{t \in T \subset \mathscr{R}_{t}, \lambda \in \Lambda \subset \mathscr{R}_{\hat{2}}\right\}$, причем значения функции $f(t, \lambda) \in \Re_{y}^{n}$.

Определение. Говорят (см. [7]), что при $\lambda \rightarrow \lambda_{0} \in \Lambda$ ceмейство (5.1.1) равномерно по $ь$ сходится к предельной векторфункции $\varphi(t)$, т. е.
\[
\boldsymbol{f}(t, \lambda) \underset{t}{\rightarrow} \varphi(t) \text { на } T \text { при } \lambda \rightarrow \lambda_{0},
\]

если для $\forall \varepsilon>0$ существует $\delta=\delta(\varepsilon)>0$ такое, что
\[
\|\boldsymbol{f}(t, \lambda)-\boldsymbol{\varphi}(t)\|<\varepsilon
\]

при $t \in T$ и $\left|\lambda-\lambda_{0}\right|<\delta$.
Теорема. Для того чтобы семейство функций (5.1.1) при $\lambda \rightarrow \lambda_{0}$ равномерно на множестве $T$ сходилось к предельной векторфункции $\varphi(t)$, необходимо и доспаточно, чтобы из каждой последовательности $\boldsymbol{f}\left(t, \lambda_{k}\right)$ ( $\left.k=1,2, \ldots\right)$, где $\lambda_{k} \rightarrow \lambda_{0}$, можно было бы еыделить равномерно сходящуюся подпоследовательность
\[
f\left(t, \lambda_{p_{k}}\right) \underset{t}{\rightrightarrows} \varphi(t) \quad(t \in T) .
\]

Доказательство. Необходимость условий теоремы ясна, так как в случае равномерной сходимости семейства $f(t, \lambda)$ при $\lambda \rightarrow \lambda_{0}$ к предельной вектор-функции $\varphi(t)$ каждая последовательность $\boldsymbol{f}\left(t, \lambda_{k}\right)$, где $\lambda_{k} \rightarrow \lambda_{0}$, очевидно, также будет равномерно сходиться к $\varphi(t)$.

Докажем достаточность условий теоремы. Пусть семейство $f(t, \lambda)$ не является равномерно сходящимся при $\lambda \rightarrow \lambda_{0}$ к общей предельной вектор-функции $\varphi(t)$ всех последовательностей $\boldsymbol{f}\left(t, \lambda_{k}\right)$, где $\lambda_{k} \rightarrow \lambda_{0}$. Тогда существует $\varepsilon>0$ такое, что для любого $\delta_{k}<\frac{1}{k}$

$(k=1,2, \ldots)$ найдется значение параметра $\lambda_{k} \in \Lambda$, обладающее спедующими свойствами:
\[
\left|\lambda_{k}-\lambda_{0}\right|<\frac{1}{k} \quad(k=1,2, \ldots)
\]
!
\[
\sup _{t \in T}\left\|\boldsymbol{f}\left(t, \lambda_{k}\right)-\boldsymbol{\varphi}(t)\right\| \geqslant \varepsilon .
\]

Из неравенств (5.1.5) и (5.1.6) вытекает, что из последовательности $\boldsymbol{f}\left(t, \lambda_{k}\right) \quad(k=1,2, \ldots)$ нельзя выделить подпоследовательность, равномерно сходящуюся к вектор-функции $\varphi(t)$, и мы приходим к противоречию.
Теорема доказана.