Пусть $f(x)$ и $g(x)$ — п. П. функции, т. е. $f(x),g(x)\in$ II. Рассмотрим их ряды Фурье:
$$f(x)\propto \sum _n{A}_n{e}^{i{\lambda }_{n}x}\equiv \sum _{\lambda }a(\lambda )e^{i\lambda x}$$

K

Тогда справедливы следующие соотношения:
1) $xf(x)+\beta g(x)\propto \sum _{\lambda }[xa(\lambda )+\beta b(\lambda )]e^{i\lambda x}$
( $\alpha ,\beta$ — произвольные комплекснне числа);
2) $f(x+h)\propto \sum _{\lambda }a(\lambda )e^{i\lambda h}{e}^{i\lambda x}$
( $h$ — произвольное действительног число);
3) $e^{i\mu x}f(x)\propto \sum _{i}a(\lambda )e^{i(\lambda +\mu )x}$
( $\mu$ — произвольное действительное число);
4) $\overline{f(x)}\odot \sum _{\lambda }\overline{a(\lambda )}{e}^{-i\lambda x}$.

Соотношения 1) — 4) легко вытекают из общих свойств среднего значения п. п. функции ($6).

Пусть $f(x),f^{\prime }(x)\in \mathrm{\Pi }$ (см. §4). Для производной $f^{\prime }(x)$ построим ее ряд Фурье:
$$f^{\prime }(x)\propto \sum _{\lambda }{a}_1(\lambda )e^{i\lambda x}.$$

Интегрируя по частям, будем иметь
$$\begin{array}{rl}{a}_1(\lambda )=M\{f^{\prime }(x)e^{-i\lambda x}\}& =\\ =& {\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}[\frac{1}{T}f(x)e^{-i\lambda x}]|}_0^T+i\lambda M\{f(x)e^{-i\lambda x}\}=i\lambda a(\lambda ),\end{array}$$

где $a($ ^. $)$ — коэффициент Фурье функции $f(x)$.
Следовательно,
$$f^{\prime }(x)\propto \sum _{\lambda }i\lambda a(\lambda )e^{i\lambda x}$$

и, таким образом, ряд Фурье производной п. п. функции в слуґае ее почти периодичности получается формальньцм почленным дифференцированием ряда Фурье самой функции:
$$f(x)\propto \sum _{\lambda }a(\lambda )e^{i\lambda x}.$$

В частности, спектр производной $f^{\prime }(x)$ совпадает со спектром функции $f(x)$, за исключением точки $\lambda =0$.
Пусть $f(x)-$ П. П. функция и
$$F(x)={\int }_i^{x}f(t)dt\in \mathrm{\Pi },$$
т. е. функция $F(x)$ является ограниченной (§ 7 ). Положим
$$F(x)\propto \sum _{\lambda }c(\lambda )e^{i\lambda x}.$$

Так как $F^{\prime }(x)=f(x)$, то на основании формул (10.1) и (10.2) имеем
$$\text{ i). }c(\lambda )=a(\lambda ).$$

Отсюда нееобходимо должно быть
$$a(1)=0$$

и
$$c(\lambda )=\frac{a(\lambda )}{i\lambda }\text{ при }\lambda eq0.$$

Следовательно,
$$F(x)\mathrm{coc}(0)+\sum _{\lambda }\frac{a(\lambda )}{i\lambda }{e}^{i\lambda x},$$

где $c(0)=M\{{\int }_0^{x}f(t)dt\}$.
Таким образом, если для п. п. функции $f(x)$ ее среднее значение
$$a(0)=M\{f(x)\}=0$$

и интеграл $F(x)$ ограничен (§ 7), то ряд Фурье интеграла этой функции получается путем формального почленного интегрирования ряда Фурье самой функции. В частности, спектр интеграла $F(x)$ совпадает со спектром функции $f(x)$ (не считая $\lambda =0$ ).
Замечание. Условие
$$M\{f(x)\}=0$$

необходимо для почти периодичности интеграла $F(x)$. Однако, как показывает приведенный ниже пример, оно не является достаточным для почти периодичности этого интеграла.
Пример. Функция
$$f(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}{e}^{\frac{ix}{n^2}}$$

почти периодическая, причем так как свободный член ее равен нулю, то $M\{f(x)\}=0$. Однако ее интеграл
$$F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$$

не является п. п. функцией.
Действительно, если бы интеграл $F(x)\in \mathrm{\Pi }$, то для его ряда Фурье мы бы имели
$$F(x)\mathrm{coc}-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{i}{e}^{\frac{ix}{n^2}},$$

что невозможно, так как коэффициенты $A_n=\frac{1}{i}$ этого ряда не стремятся к нулю при $n\to \mathrm{\infty }$ (см. §9, теорема 1 , следствие).