Пусть $f(x)$ и $g(x)$ – п. П. функции, т. е. $f(x), g(x) \in$ II. Рассмотрим их ряды Фурье:
\[
f(x) \propto \sum_{n} A_{n} e^{i \lambda_{n} x} \equiv \sum_{\lambda} a(\lambda) e^{i \lambda x}
\]

K

Тогда справедливы следующие соотношения:
1) $x f(x)+\beta g(x) \propto \sum_{\lambda}[x a(\lambda)+\beta b(\lambda)] e^{i \lambda x}$
( $\alpha, \beta$ – произвольные комплекснне числа);
2) $f(x+h) \propto \sum_{\lambda} a(\lambda) e^{i \lambda h} e^{i \lambda x}$
( $h$ – произвольное действительног число);
3) $e^{i \mu x} f(x) \propto \sum_{i} a(\lambda) e^{i(\lambda+\mu) x}$
( $\mu$ – произвольное действительное число);
4) $\overline{f(x)} \odot \sum_{\lambda} \overline{a(\lambda)} e^{-i \lambda x}$.

Соотношения 1) – 4) легко вытекают из общих свойств среднего значения п. п. функции (\$6).

Пусть $f(x), f^{\prime}(x) \in \Pi$ (см. §4). Для производной $f^{\prime}(x)$ построим ее ряд Фурье:
\[
f^{\prime}(x) \propto \sum_{\lambda} a_{1}(\lambda) e^{i \lambda x} .
\]

Интегрируя по частям, будем иметь
\[
\begin{aligned}
a_{1}(\lambda)=M\left\{f^{\prime}(x) e^{-i \lambda x}\right\} & = \\
= & \left.\lim _{T \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{T} f(x) e^{-i \lambda x}\right]\right|_{0} ^{T}+i \lambda M\left\{f(x) e^{-i \lambda x}\right\}=i \lambda a(\lambda),
\end{aligned}
\]

где $a($ ^. $)$ – коэффициент Фурье функции $f(x)$.
Следовательно,
\[
f^{\prime}(x) \propto \sum_{\lambda} i \lambda a(\lambda) e^{i \lambda x}
\]

и, таким образом, ряд Фурье производной п. п. функции в слуґае ее почти периодичности получается формальньцм почленным дифференцированием ряда Фурье самой функции:
\[
f(x) \propto \sum_{\lambda} a(\lambda) e^{i \lambda x} .
\]

В частности, спектр производной $f^{\prime}(x)$ совпадает со спектром функции $f(x)$, за исключением точки $\lambda=0$.
Пусть $f(x)-$ П. П. функция и
\[
F(x)=\int_{i}^{x} f(t) d t \in \Pi,
\]
т. е. функция $F(x)$ является ограниченной (§ 7 ). Положим
\[
F(x) \propto \sum_{\lambda} c(\lambda) e^{i \lambda x} .
\]

Так как $F^{\prime}(x)=f(x)$, то на основании формул (10.1) и (10.2) имеем
\[
\text { i). } c(\lambda)=a(\lambda) .
\]

Отсюда нееобходимо должно быть
\[
a(1)=0
\]

и
\[
c(\lambda)=\frac{a(\lambda)}{i \lambda} \text { при } \lambda
eq 0 .
\]

Следовательно,
\[
F(x) \operatorname{coc}(0)+\sum_{\lambda} \frac{a(\lambda)}{i \lambda} e^{i \lambda x},
\]

где $c(0)=M\left\{\int_{0}^{x} f(t) d t\right\}$.
Таким образом, если для п. п. функции $f(x)$ ее среднее значение
\[
a(0)=M\{f(x)\}=0
\]

и интеграл $F(x)$ ограничен (§ 7), то ряд Фурье интеграла этой функции получается путем формального почленного интегрирования ряда Фурье самой функции. В частности, спектр интеграла $F(x)$ совпадает со спектром функции $f(x)$ (не считая $\lambda=0$ ).
Замечание. Условие
\[
M\{f(x)\}=0
\]

необходимо для почти периодичности интеграла $F(x)$. Однако, как показывает приведенный ниже пример, оно не является достаточным для почти периодичности этого интеграла.
Пример. Функция
\[
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} e^{\frac{i x}{n^{2}}}
\]

почти периодическая, причем так как свободный член ее равен нулю, то $M\{f(x)\}=0$. Однако ее интеграл
\[
F(x)=\int_{0}^{x} f(t) d t
\]

не является п. п. функцией.
Действительно, если бы интеграл $F(x) \in \Pi$, то для его ряда Фурье мы бы имели
\[
F(x) \operatorname{coc}-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{i} e^{\frac{i x}{n^{2}}},
\]

что невозможно, так как коэффициенты $A_{n}=\frac{1}{i}$ этого ряда не стремятся к нулю при $n \rightarrow \infty$ (см. §9, теорема 1 , следствие).