Рассмотрим слабо нелинейную (квазилинейную) периодическую систему
\[
\frac{d y}{d t}=A(t) y+f(t)+\mu \varphi(t, y),
\]

где $A(t)$ и $f(t)-\omega$-периодичны,
\[
\varphi(t, y) \in C_{t y}^{(0+1)}, \quad \varphi(t+\omega, y)=\varphi(t, y)
\]

и $\mu-$ малый параметр, причем при $\mu=0$ система (3.24.1) совпа дает с линейной системой (порождаюцей системой):
\[
\frac{d x}{d t}=A(t) x+f(t) .
\]
(3.24.2)

Для доказательства существования $ю$-периодических решений нелинейной системы (3.24.1) изложим принадлежащий Пуанкаре «метод малого параметра» (см. [35], [14], [36]).

Теорема. Если все мультипликаторы однородной системы (3.24.2) отличны от единицы, то при достаточно малых $|\mu|$ нелинейная система (3.24.1) имеет єдинственное ю-периодическое решение $y(t, \mu)$ такое, что
\[
\lim _{\mu \rightarrow 0} y(t, \mu)=y_{0}(t),
\]

где $\boldsymbol{y}_{0}(t)$ – $\omega$-периодическое решение порождающей системы (3.24.2).
Доказательство. Обозначим через $\boldsymbol{y}(t ; \boldsymbol{\eta}, \mu) \in C_{t \boldsymbol{\eta}}^{(1,1)}$ peшение системы (3.24.1), определяемое начальным условием:
\[
y(0 ; \eta, \mu)=\eta \text {. }
\]

Так как правая часть системы (3.24.1) w-периодична по $t$ и удовлетворяет условиям единственности решений, то для существования $\omega$-периодического решения этой системы необходимо и достаточно, чтобы для некоторого $\eta$ было бы обеспечено условие: $\Phi(\eta, \mu) \equiv \boldsymbol{y}(\omega ; \eta, \mu)-\boldsymbol{y}(0 ; \eta, \mu)=\boldsymbol{y}(\omega ; \eta, \mu)-\boldsymbol{\eta}=0$.

Пусть периодическое решение $\boldsymbol{y}_{0}(t)$ порождающей системы (3.24.2), которое существует в силу теоремы $\S 23$, определяется начальным условием: $\boldsymbol{y}_{0}(t)=\eta_{0}$. Тогда имеем
\[
\boldsymbol{\Phi}\left(\boldsymbol{\eta}_{0}, 0\right)=\mathbf{0} .
\]

Из теории неявных функций известно, что (см. [7]) для того, чтобы уравнение (3.24.5) имело единственное непрерывное решеніе в окрестности точки $\boldsymbol{\eta}=\boldsymbol{\eta}_{0}, \mu=0$, достаточно, чтобы определитель Якоби
\[
\Delta=\left[\operatorname{det}\left(\frac{\partial \Phi}{\partial \eta}\right)\right]_{\substack{\eta=\eta_{0} \\ \mu=0}}=\left[\frac{D\left(\Phi_{1}, \ldots, \Phi_{n}\right)}{D\left(\eta_{1}, \ldots, \eta_{n}\right)}\right]_{\substack{\eta=\eta_{0} \\ \mu=0}}
eq 0,
\]

где $\eta=\left(\eta_{1}, \ldots, \eta_{i n}\right)$ и
\[
\boldsymbol{\Phi}(\boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{\mu})=\left[\Phi_{1}(\boldsymbol{\eta}, \mu), \ldots, \Phi_{n}(\boldsymbol{\eta}, \mu)\right] .
\]

Отсюда, полагая, что
\[
\boldsymbol{y}(t ; \boldsymbol{\eta}, \mu)=\left[\begin{array}{ccc}
y_{1}(t ; \boldsymbol{\eta}, \mu) \\
\cdot & \cdot & \cdot \\
y_{n}(t ; & \boldsymbol{\eta}, \mu)
\end{array}\right],
\]

получаем
\[
\begin{array}{l}
\Delta=\left[\operatorname{det}\left(\frac{\partial \Phi}{\partial \boldsymbol{\eta}}\right)\right]_{\substack{\boldsymbol{\eta}=\boldsymbol{\eta}_{0} \\
\mu=0}}=\operatorname{det}\left[\frac{\partial \dot{y}_{j}}{\partial \eta_{k}}\left(\omega ; \boldsymbol{\eta}_{0}, 0\right)-\delta_{j k}\right]= \\
=\operatorname{det}\left[\boldsymbol{y}_{\boldsymbol{\eta}}^{\prime}\left(\omega ; \boldsymbol{\eta}_{0}, 0\right)-E\right] .
\end{array}
\]

Из теории дифференциальных уравнений следует (см. [9], [10], [11]), что решение $\boldsymbol{y}(t ; \eta, \mu)$ имеет непрерывные частные производные по начальным данным $\eta$. Введя обозначения
\[
Z=y_{\eta}^{\prime}(t ; \eta, \mu) \equiv\left(\frac{\partial y_{j}}{\partial \eta_{k}}\right)
\]

и дифференцируя по $\eta$ систему (3.24.1), будем иметь
\[
\frac{\partial}{\partial \eta}\left(\frac{d y}{d t}\right)=A(t) \frac{\partial y}{\partial \eta}+\mu \frac{\partial \varphi}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial \eta},
\]

или
\[
\frac{d Z}{d t}=A(t) Z+\mu \frac{\partial \varphi}{\partial y} \cdot Z \text {. }
\]

Отсюда при $\mu=0$ получаем
\[
\frac{d Z}{d t}=A(t) Z .
\]

Кроме того, при $t=0$ имеем
\[
\boldsymbol{y}(0 ; \boldsymbol{\eta}, \mu) \equiv \boldsymbol{\eta}
\]

поэтому
\[
Z(0)=E .
\]

Таким образом, $Z=Z(t ; \boldsymbol{\eta}, 0)$ является нормированной фундаментальной матрицей однородной системы (3.24.2) и интересующий нас якобиан имеет вид
\[
\left.\Delta=\operatorname{det}\left[Z(\omega) ; \eta_{0}, 0\right)-E\right] .
\]

Так как для однородной системы (3.24.2) ее мультипликаторы $\rho_{j}
eq 1$, то для векового уравнения
\[
\operatorname{det}[Z(\omega ; \boldsymbol{\eta}, 0)-p E]=0
\]

число $p=1$ не является корнем. Поэтому
\[
\Delta
eq 0
\]

и, следовательно, нелинейная система (3.24.1) при $|\mu|<\mu_{0}$ имеет единственное $\omega$-периодическое решение $\boldsymbol{y}(t, \mu)$, непрерывное по параметру $\mu$ и такое, что $y(t, \mu) \rightarrow \boldsymbol{y}_{0}(t)$ при $\mu \rightarrow 0$.
Теорема доказана.
Замечание. В этой формулировке период () не обязатєльно наименыший, он может быть кратен некоторому наименышему периоду $\omega_{0}$, т. е. теорема остается верной, если
\[
\omega=m \omega_{0},
\]

где $\omega_{0}$ – период системы (3.24.1) и $m$-целое число, отличное от нуля.