Определение. Будем говорить, что дифференциальные системы
\[
\frac{d x}{d t}=f(t, x)
\]

и
\[
\frac{d y}{d t}=g(t, y)
\]

асимптотически эквивалентны, если между решениями их $\boldsymbol{x}(t)$ и $\boldsymbol{y}(t)$ можно установить взаимно однозначное соответствие такое, что
\[
\lim _{t \rightarrow \infty}[x(t)-y(t)]=0 .
\]

Укажем простой признак асимптотической эквивалентности линейных дифференциальных систем.
Теорема Левинсона (см. [23]). Пусть решения системы
\[
\frac{d x}{d t}=A x \text {, }
\]

где $A$-постоянная ( $n \times n$ )-матрица, ограничены на $[0, \infty)$. Тогда система
\[
\frac{d y}{d t}=[A+B(t)] y,
\]
?ิ. $B(t) \in C[0, \infty) u$
\[
\int_{0}^{\infty}\|B(t)\| d t<\infty,
\]

асимптотически эквивалентна системе (3.10.4).

Доказательство. Изложим доказательство, идея которого принадлежит Брауеру [24]. Прежде всего, так как решения системы (3.10.4) ограничены, то характеристические корни $\lambda(A)$ матрицы $A$ удовлетворяют неравенству
\[
\operatorname{Re} \lambda(A) \leqslant 0,
\]

причем характеристические корни с нулевыми вещественными частями имеют простые элементарные делители (см. гл. II, §8).

Без нарушения общности рассуждения мы предположим, что матрица $A$ имеет квазидиагональный вид
\[
A=\operatorname{diag}\left(A_{1}, A_{2}\right),
\]

где $A_{1}$ и $A_{2}$ – соответственно, $(p \times p)$ – и $(q \times q)$-матрицы $(p+q=n)$ такие, что
\[
\operatorname{Re} \lambda\left(A_{1}\right)<-\alpha<0, \quad \operatorname{Re} \lambda\left(A_{2}\right)=0 .
\]

Действительно, в случае надобности этого можно добиться с помощью неособенных преобразований
\[
\xi=S \boldsymbol{x}, \quad \boldsymbol{\eta}=S \boldsymbol{y},
\]

где $S$ – постоянная ( $n \times n$ )-матрица, причем взаимно однозначное соответствис мсжду новыми интсгральными кривыми $\xi(t) \Longleftrightarrow \boldsymbol{\eta}(t)$ индуцирует взаимно однозначное соответствие между старыми интегральными кривыми $\boldsymbol{x}(t)=\mathcal{S}^{-1} \boldsymbol{\xi}(t) \Longleftrightarrow S^{-1} \boldsymbol{\eta}(t)=\boldsymbol{y}(t)$. Kроме того, из предельного соотношения $\boldsymbol{\xi}(t)-\boldsymbol{\eta}(t) \rightarrow \mathbf{0}$ при $t \rightarrow \infty$, очевидно, вытекает предельное соотношение $\boldsymbol{x}(t)-\boldsymbol{y}(t) \rightarrow \mathbf{0}$ при $t \rightarrow \infty$.
1) Пусть
\[
X(t)=\operatorname{diag}\left(e^{t A_{1}}, e^{t A_{2}}\right)
\]
– фундаментальная матрица системы (3.10.4), нормированная в нуле: $X(0)=E$, и
\[
I_{1}=\operatorname{diag}\left(E_{p}, O\right), \quad I_{2}=\operatorname{diag}\left(O, E_{q}\right),
\]

где $E_{p}$ и $E_{q}$ – единичные матрицы соответствующих порядков $p$ и $q$, при этом, очевидно, $I_{1}+I_{2}=E_{n}$. Положим
\[
X(t)=X_{1}(t)+X_{2}(t),
\]

где
\[
X_{1}(t)=X(t) I_{1} \equiv \operatorname{diag}\left(e^{t A_{1}}, 0\right)
\]

и
\[
X_{2}(t)=X(t) I_{3} \equiv \operatorname{diag}\left(0, e^{t A_{2}}\right) .
\]

Отсюда матрицу Коши
\[
K(t, \tau) \equiv X(t) X^{-1}(\tau)=X(t-\tau)
\]

можно представить в виде
\[
K(t, \tau)=X_{1}(t-\tau)+X_{2}(t-\tau),
\]

причем на основании условий (3.10.8) имеем
\[
\left\|X_{1}(t)=e^{t A_{1}}\right\| \leqslant a e^{-\alpha_{1}} \quad \text { при } \quad 0 \leqslant t<\infty
\]
11
\[
{ }_{2}(t)=\left\|e^{t A_{2}}\right\| \leqslant b \quad \text { при }-\infty<t<\infty,
\]

где $a$ и $b$ – некоторые положительные постоянные.
Используя метод вариации произвольных постоянных (гл. 11, § 5), дифференциальное уравнение (3.10.5) можно записать в интегральной форме
\[
\begin{array}{l}
y(t)=X\left(t-t_{0}\right) y\left(t_{0}\right)+ \\
+\int_{t_{i}}^{t} X_{1}(t-\tau) B(\tau) y(\tau) d \tau-\int_{t_{1}}^{t} X_{2}(t-\tau) B(\tau) y(\tau) d \tau,
\end{array}
\]

где $t_{0} \in[0, \infty)$ произвольно. Ввиду абсолютной интегрируемости матрицы $B(t)$ на $[0, \infty)$ все решения $y(t)$ системы (3.10.5) ограничены на $[0, \infty$ ) (гл. II, $\$ 12$ ), и поэтому несобственный интеграл $\int_{t_{0}}^{\infty} X_{2}(t-\tau) B(\tau) y(\tau) d \tau$ является сходящимся. Отсюда, учитывая, ЧTO
\[
\begin{array}{l}
X_{2}(t-\tau)=X(t-\tau) I_{2}= \\
=X\left(t-t_{0}\right) X\left(t_{0}-\tau\right) I_{2}=X\left(t-t_{0}\right) X_{2}\left(t_{0}-\tau\right),
\end{array}
\]

наше интегральное уравнение можно представить в виде
\[
\begin{aligned}
y(t) & =X\left(t-t_{0}\right)\left|y\left(t_{0}\right)+\int_{i_{0}}^{\infty} X_{2}\left(t_{0}-\tau\right) B(\tau) y(\tau) d \tau\right|+ \\
& +\int_{i_{0}}^{t} X_{1}(t-\tau) B(\tau) y(\tau) d \tau-\int_{i}^{\infty} X_{2}(t-\tau) B(\tau) y(\tau) d \tau
\end{aligned}
\]

Решению $y(t)$ системы (3.10.5) с начальным условием $y\left(t_{0}\right)=y_{0}$ сопоставим решение $\boldsymbol{x}(t)$ системы (3.10.4) 乞 начальным условием
\[
x\left(t_{0}\right)=y\left(t_{0}\right)+\int_{t_{0}}^{\infty} X_{2}\left(t_{0}-r\right) B(\tau) y(\tau) d \tau .
\]

Так как решения $\boldsymbol{x}(t)$ и $\boldsymbol{y}(t)$ полностью определяются свонми начальными условиями, то формула (3.10.12) устанавливает однозначное соответствие между множеством всех решений $\{y(t)\}$ системы (3.10.5) и множеством решений $\{x(t)\}$ (или его частью) системы (3.10.4). Заметим, что соотношение (3.10.12) непрерывно относительно начального значения $\boldsymbol{y}\left(t_{0}\right)=\boldsymbol{y}_{0}$.
2) Покажем, что соответствие между решениями $\boldsymbol{x}(t)$ и $\boldsymbol{y}(t)$; определяемое формулой (3.10.12), является взаимно однозначным и распространяется на все множество решений $\{\boldsymbol{x}(t)\}$.

Пусть $Y(t)$ – фундаментальная матрица системы (3.10.5) такая, что $Y\left(t_{0}\right)=E$. Имеем
\[
\dot{Y}(t)=A Y\left({ }^{(}\right)+B(t) Y(t) .
\]

Отсюда на основании метода вариации произвольных постоянных получим
\[
Y(t)=X\left(t-t_{0}\right)+\int_{t_{0}}^{t} X(t-\tau) B(\tau) Y(\tau) d \tau .
\]

Но из неравенств (3.10.9) и (3.10.10) вытекает
\[
\left\|X\left(t-t_{0}\right)\right\| \leqslant \max (a, b)=c \quad \text { при } t \geqslant t_{0} ;
\]

поэтому
\[
\|Y(t)\| \leqslant c+\int_{t_{1}}^{t} c\|B(\tau)\|\|Y(\tau)\| d \tau
\]

и, следовательно, в силу леммы Гронуолла – Беллмана (гл. II, § 11) находим
\[
\begin{array}{l}
\|Y(t)\| \leqslant c \exp \left(\int_{t_{0}}^{t} c\|B(\tau)\| d \tau\right) \leqslant \\
\leqslant c \exp \left(c \int_{0}^{\infty}\|B(\tau)\| d \tau\right)=k \quad \text { при } t_{0} \leqslant t<\infty .
\end{array}
\]

причем постоянная $k$ в оценке (3.10.13) не зависит от выбора начального момента $t_{0}\left(t_{0} \geqslant 0\right)$.
Очевидно, имеем
\[
\boldsymbol{y}(t)=Y(t) \boldsymbol{y}\left(t_{0}\right) .
\]

Поэтому из формулы (3.10.12) получаем
\[
\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)=\left[E+Z\left(t_{0}\right)\right] \boldsymbol{y}\left(t_{0}\right),
\]

где
\[
Z\left(t_{0}\right)=\int_{t_{0}}^{\infty} X_{2}\left(t_{0}-\tau\right) B(\tau) Y(\tau) d \tau,
\]

причем на основании (3.10.10) и (3.10.13) выводим
\[
\left\|Z\left(t_{0}\right)\right\| \leqslant \int_{t_{0}}^{\infty}\left\|X_{2}\left(t_{0}-\tau\right)\right\| B(\tau)\|Y(\tau)\| d \tau \leqslant b k \int_{t_{0}}^{\infty}\|B(\tau)\| d \tau .
\]

Так как матрица $B(t)$ абсолютно интегрируема на $[0, \infty)$, то
\[
\int_{t_{0}}^{\infty}\|B(\tau)\| d \tau \rightarrow 0 \quad \text { при } t_{0} \rightarrow \infty
\]

If, следовательно, в силу (3.10.15) начальный момент $t_{0}$ можно выбрать столь большим, чтобы имело место неравенство
\[
\operatorname{det}\left[E+Z\left(t_{0}\right)\right]>0 \text {. }
\]

В дальнейшем $t_{0}$ будем считать фиксированным и предполагать наличие неравенства (3.10.16). Отсюда и из формулы (3.10.14) выводим
\[
\boldsymbol{y}\left(t_{0}\right)=\left[E+Z\left(t_{0}\right)\right]^{-1} \boldsymbol{x}\left(t_{0}\right) .
\]

Так как формулы (3.10.14) и (3.10.17) равносильны, то для каждого решения $\boldsymbol{x}(t)$ системы (3.10.4) с начальным условием $\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)=\boldsymbol{x}_{0}$ найдется одно н только одно решение $\boldsymbol{y}(t)$ системы (3.10.5), отвечающее установленному выше соответствию, а именно, это решение, начальное условие $\boldsymbol{y}\left(t_{0}\right)$ которого определяется формулой (3.10.17). Соответствис между решсниями $\boldsymbol{y}(t)$ и $\boldsymbol{x}(t)$, устанавливаемое формулами (3.10.14) и (3.10.17), — взаимно однозначное, т. е. каждому решению $y(t)$ соответствует одно и только одно решение $\boldsymbol{x}(t)$ и обратно. Отметим, что тривиальному решению $\boldsymbol{y} \equiv \mathbf{0}$ соответствует тривиальное решение $\boldsymbol{x} \equiv \mathbf{0}$ и в силу линейности соотношений (3.10.14) и (3.10.17) различным решениям $y_{1}(t)$ и $y_{2}(t)$ системы (3.10.5) соответствуют различные решения $\boldsymbol{x}_{1}(t)$ и $\boldsymbol{x}_{2}(t)$ системы (3.10.4) и наоборот.
3) Для соответствующих решений $\boldsymbol{x}(t)$ и $\boldsymbol{y}(t)$ оценим норму их разности. Так как, очевидно,
\[
\boldsymbol{x}(t)=X\left(t-t_{0}\right) \boldsymbol{x}\left(t_{0}\right),
\]

где $\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)$ определяется формулой (3.10.12), то из формулы (3.10.11) имеем
\[
\boldsymbol{y}(t)-\boldsymbol{x}(t)=\int_{t_{0}}^{t} X_{1}(t-\tau) B(\tau) \boldsymbol{y}(\tau) d \tau-\int_{t}^{\infty} X_{2}(t-\tau) B(\tau) \boldsymbol{y}(\tau) d \tau .
\]

Отсюда, учитывая, что
\[
\begin{aligned}
\|\boldsymbol{y}(t)\|=\left\|Y(t) \boldsymbol{y}\left(t_{0}\right)\right\| & \leqslant \\
& \leqslant\|Y(t)\|\left\|\boldsymbol{y}\left(t_{0}\right)\right\| \leqslant k\left\|\boldsymbol{y}\left(t_{0}\right)\right\| \text { при } \boldsymbol{t} \geqslant t_{0} .
\end{aligned}
\]
на основании оценок (3.10.9) и (3.10.10) при $t \geqslant t_{0}$ получаем
\[
\begin{aligned}
\|\boldsymbol{y}(t)-\boldsymbol{x}(t)\| & \leqslant \int_{t_{0}}^{t}\left\|X_{1}(t-\tau)\right\|\|B(\tau)\|\|\boldsymbol{y}(\tau)\| d \tau+ \\
& +\int_{i}^{\infty}\left\|X_{\Xi}(t-\tau)\right\| B(\tau)\|\| \boldsymbol{y}(\tau) \| d \tau \leqslant \\
& \leqslant a k\left\|\boldsymbol{y}\left(t_{0}\right)\right\| \int_{t_{0}}^{t} e^{-a(t-\tau)}\|B(\tau)\| d \tau+ \\
& +b k\left\|\boldsymbol{y}\left(t_{0}\right)\right\| \int_{i}^{\infty}\|B(\tau)\| d \tau .
\end{aligned}
\]

Ввиду ‘абсолютной интегрируеиости матрицы $B(t)$ при $t \geqslant 2 t_{0}$ имеем
\[
\begin{array}{l}
\int_{t_{\mathrm{a}}}^{t} e^{-\alpha(t-\tau)}\|B(\tau)\| d \tau= \\
=\int_{t_{0}}^{t} e^{\alpha(t-\tau)}\|B(\tau)\| d \tau+\int_{\frac{t}{2}}^{t} e^{-\alpha(t-\tau)}\|B(\tau)\| d \tau \leqslant \\
\leqslant e^{-\frac{a t}{2}} \int_{0}^{\infty}\|B(\tau)\| d \tau+\int_{\frac{t}{2}}^{t}\|B(\tau)\| d \tau<\varepsilon,
\end{array}
\]

если $t>T$. Следовательно,
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} \int_{t_{0}}^{t} e^{-\alpha(t-\tau)}\|B(\tau)\| d \tau=0 .
\]

Таким образом, из неравенства (3.10.18) выводим
\[
\lim _{t \rightarrow \infty}[y(t)-x(t)]=0,
\]

т е. системы (3.10.4) и (3.10.5) асимптотически эквивалентны. 3амечание. Если $A_{2}=0$, то $X_{2}(t)=0$ и, следовательно, $\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)=\boldsymbol{y}\left(t_{0}\right)$. В этом случае теорема тривиальна.
Следствие. Пусть
\[
\frac{d y}{d t}=B(t) y,
\]

где $B(t)$ абсолютно интегрируела на $[0, \infty)$. Тогда для каждого решения $\boldsymbol{y}(t)$ существует
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} y(t)=c,
\]

т. е. все интегральные кривые $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}(t)$ имеют горизонтальные асимптоты (рис. 20), причем различные интегральные кривые $y=y_{1}(t)$ и $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}_{2}(t)$ имеют различные горизонтальные асимптоты $y=c_{1}$ и $y=c_{2} \quad u$, свер $x$ того, для каждой горизонтальной прямой $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{c}$ существует интегральная кривая $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}(t)$, имеющая эту прямую своей асимптотой.

Действительно, в силу теоремы система (3.10.19) асимптотически эквивалентна системе
\[
\frac{d x}{d t}=0
\]

Рис. 20.
с матрицей $A=0$. Так как система (3.10.21) имеет решения
\[
\boldsymbol{x}=\boldsymbol{c},
\]

то отсюда вытекает предельное соотношение (3.10.20).