Рассмотрим систему
$$\frac{dy}{dt}=\mathit{f}(t,y),$$

тде $\mathit{f}(t,\mathit{y})\in C_{t\mathit{y}}^{0,11}(I_t^{+}\times {\mathcal{R}}_y^n)$ и $I_t^{++}=\{a<t<\mathrm{\infty }\}$. Очевидно, система (4.15.1) обладает свойством единственности решений $y(t:t_0,{\mathit{y}}_0)$, где $t_0\in I_t^{+}$и ${\mathit{y}}_0\in {\mathcal{R}}_y{}^l$.

Определение. Будем говорить, что система (4.15.1) устойчива по Лагранжу (см. [12], [45]), если: 1) каждое решение $\mathit{y}(t;t_0,{\mathit{y}}_0)$, где $t_0\in I_t^{+}$, неограниченно продолжа̀емо вправо; т. е. имеет смысл при $t_9⩽t<\mathrm{\infty };2)\Vert \mathit{y}(t;t_0,{\mathit{y}}_0)$ ограничена на $[t_0,\mathrm{\infty })$.

Например, если система (4.15.1) имеет ограниченное решение $\eta (t)$, асимптотически устойчивое в целом ($7), то эта система устойчива по Лагранжу.

Используя функции Ляпунова, нетрудно сформулировать необходимые и достаточные условия устойчивости системы (4.15.1) по Лагранжу (см. [41], [46]).

Теорема. Для того чтобы система (4.15.1) была устойчива вовала функция $V(t,y)$ такая, что
1) $V(t,\mathit{y})⩾W(\mathit{y})$, где $W(\mathit{y})\to \mathrm{\infty }$ при $\Vert \mathit{y}:\to \mathrm{\infty }$;
2) для каждого решения $\mathit{y}(t;t_0,{\mathit{y}}_0)$ фннкция $V(t,y(t;t_0,{\mathit{y}}_0))$ была невозрастающей относительно переменной $t$.

Замечание. Для случая достаточности условие 2) можно заменить следующим:
2) $\dot{V}(t,y)⩽0$ в спау системы (4.15.1).
Доказательство. 1) Докажем сначала достаточность условий теремы. Пусть для системы (4.15.1) существует функция $V(ty)$, обладающая свойствами 1) и 2). Для всякого решения $y(t;t_0,y_n)(t_0>a,y_0<\mathrm{\infty })$ в силу условия 2) при $t⩾t_0$ имеем
$$V(t,y(t;t_0,y_0))⩽V(t_0,y(t_0;t_0,y_0))=V(t_0,y_0).$$

Отсюда на основании условия
1) получаем
$$W\left(y(t;t_0,y_0)\right)⩽V(t,y(t;t_3,y_0))⩽V(t_0,y_0)\text{ при }t⩾t_0.$$

Из последнего неравенства следует, что решение $y(t;t_0,y_0)$ ограпичено. Действительно, если это не так, то нашлась бы последовательность моментов времени $t_k\to \mathrm{\infty }(k=1,2,\dots ;t_k⩾t_0)$ такая, что
$$\Vert \mathit{y}(t_k;t_0,{\mathit{y}}_0)\Vert \to \mathrm{\infty }\text{ при }k\to \mathrm{\infty }$$

и, следовательно,
$$W\left(y(t_k;t_0,y_0)\right)\to +\mathrm{\infty }\text{ при }k\to \mathrm{\infty },$$

вопреки неравенству (4.15.2). Таким образом, решение $y(t;t_0,{\mathit{y}}_0)$ неограниченно продолжаемо вправо и
$$\underset{t}{sup}\Vert \mathit{y}(t;t_0,{\mathit{y}}_0)\Vert <\mathrm{\infty }$$

при $t\in [t_0,\mathrm{\infty })$.
Замечание. Для этой части теоремы не требуется выполнения свойства единственности решений.
2) Докажем теперь и собходимость условий теоремы. Пусть любое решение $y(t;t_0,y_0)$ системы (4.15.1) существует и ограничено на промежутке $t_0⩽t<\mathrm{\infty }$ и, следовательно, бесконечно
продолжаемо при $t\to +\mathrm{\infty }$.
Положим
$$V(t,y)=\underset{\tau ⩾0}{sup}\Vert \mathit{y}(t+\tau ;t,\mathit{y}){\Vert }^2,$$

где $t>a,\mathit{y}\Vert <\mathrm{\infty }$.
Из формулы (4.15.4) имеем
$$\begin{array}{l}V(t,y)⩾y(t;t,y){\Vert }^2=\\ =y{\Vert }^2\equiv W(y),\end{array}$$

причем, очевидно, $W(\mathit{y})\to \mathrm{\infty }$ при $\mathit{y}\Vert \to \mathrm{\infty }$, т. е. условие 1) выполнено.

Далее, при $a<t_1<t_2$, учитывая, что в силу свойства единственности решение $y(t;t_2,y(t_2;t_0,y_0)$ ) является продолжением решения $y(t;t_1,y(t_1;t_0,{\mathit{y}}_0)$ ) (рис. 44), получаем
$$\begin{array}{l}V(t_1,\mathit{y}(t_1;t_0,{\mathit{y}}_0))=\underset{\tau ⩾0}{sup}{\Vert \mathit{y}(t_1+\tau ;t_1,\mathit{y}(t_1;t_0,{\mathit{y}}_0))\Vert }^2⩾\\ ⩾\underset{\tau ⩾0}{sup}{\Vert \mathit{y}(t_2+\tau ;t_3,\mathit{y}(t_2;t_0,{\mathit{y}}_0))\Vert }^2=V(t_2,y(t_2;t_0,{\mathit{y}}_0)).\end{array}$$

Таким образом, условие 2) также выполнено. Теорема доказана полностью.
Замечание. Непрерывность функции $V(t,y)$ здесь не гарантируется.
Пример. Рассмотрим скалярное диффсренциальное уравнение (см. [46])
$$\ddot{x}+p(t)\dot{x}+q(t)f(x)=0,$$

где $p(t)\in C[0,\mathrm{\infty }),q(t)\in C^1[0,\mathrm{\infty })$ и $f(x)\in C(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$.
Если выполнены условия:
1) $0<q(t)⩽M$;
2) $p(t)⩾-\frac{\dot{q}(t)}{2q(t)}$;
3) ${\int }_0^{-1}f(x)dx=+\mathrm{\infty }$,

то решения $x(t)$ уравнения (4.15.5) ограничсны на $[0,\mathrm{\infty }$ ) вместе со своими производными $\dot{x}(t)$.
Действительно, запишем уравнение (4.15.5) в внде системы
$$\begin{array}{l}\frac{dx}{dt}=y,\\ \frac{dy}{dt}=-p(t)y-q(t)f(x).\end{array}\}$$

Положим
$$V(t,x,y)={\int }_0^{x}f(\xi )d\xi +\frac{y^2}{2q(t)}.$$

На основании неравенства 1) имеем
$$V(t,x,y)⩾{\int }_0^{x}f(\xi )d\xi +\frac{y^2}{2M}\equiv W(x,y),$$

причем $W(x,y)\to +\mathrm{\infty }$ при $x^2+y^2\to \mathrm{\infty }$.
Далее,
$$V\{t,x(t),y(t)\}={\int }_0^{x(t)}f(\xi )d\xi +\frac{y^2(t)}{2q(t)}.$$

Огсюда
$$\begin{array}{l}\dot{V}(t,x,y)=f(x(t))y(t)+\frac{y(t)}{q(t)}\frac{dy}{dt}\cdots \frac{y^2(t)\dot{q}(t)}{2q^2(t)}=\\ =f(x(t))y(t)-\frac{y(t)}{q(t)}[p(t)y(t)+q(t)f(x(t))]-\frac{y^2(t)\dot{q}(t)}{2q^2(t)}=\\ =-\frac{y^2(t)}{q(t)}[p(t)+\frac{\dot{q}(t)}{2q(t)}]⩽0.\end{array}$$

Таким образом, условия теоремы выполнены и, следовательно, $x(t)$ и $y(t)=\dot{x}(t)$ ограничены на промежутке $0\le t<\mathrm{\infty }$.