Рассмотрим систему
\[
\frac{d y}{d t}=\boldsymbol{f}(t, y),
\]
тде $\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{y}) \in C_{t \boldsymbol{y}}^{0,11}\left(I_{t}^{+} \times \mathscr{R}_{y}^{n}\right)$ и $I_{t}^{++}=\{a<t<\infty\}$. Очевидно, система (4.15.1) обладает свойством единственности решений $y\left(t: t_{0}, \boldsymbol{y}_{0}\right)$, где $t_{0} \in I_{t}^{+}$и $\boldsymbol{y}_{0} \in \mathscr{\mathscr { R }}_{y}{ }^{l}$.
Определение. Будем говорить, что система (4.15.1) устойчива по Лагранжу (см. [12], [45]), если: 1) каждое решение $\boldsymbol{y}\left(t ; t_{0}, \boldsymbol{y}_{0}\right)$, где $t_{0} \in I_{t}^{+}$, неограниченно продолжа̀емо вправо; т. е. имеет смысл при $\left.t_{9} \leqslant t<\infty ; 2\right) \| \boldsymbol{y}\left(t ; t_{0}, \boldsymbol{y}_{0}\right)$ ограничена на $\left[t_{0}, \infty\right)$.
Например, если система (4.15.1) имеет ограниченное решение $\eta(t)$, асимптотически устойчивое в целом (\$7), то эта система устойчива по Лагранжу.
Используя функции Ляпунова, нетрудно сформулировать необходимые и достаточные условия устойчивости системы (4.15.1) по Лагранжу (см. [41], [46]).
Теорема. Для того чтобы система (4.15.1) была устойчива вовала функция $V(t, y)$ такая, что
1) $V(t, \boldsymbol{y}) \geqslant W(\boldsymbol{y})$, где $W(\boldsymbol{y}) \rightarrow \infty$ при $\| \boldsymbol{y}: \rightarrow \infty$;
2) для каждого решения $\boldsymbol{y}\left(t ; t_{0}, \boldsymbol{y}_{0}\right)$ фннкция $V\left(t, y\left(t ; t_{0}, \boldsymbol{y}_{0}\right)\right)$ была невозрастающей относительно переменной $t$.
Замечание. Для случая достаточности условие 2) можно заменить следующим:
2) $\dot{V}(t, y) \leqslant 0$ в спау системы (4.15.1).
Доказательство. 1) Докажем сначала достаточность условий теремы. Пусть для системы (4.15.1) существует функция $V(t y)$, обладающая свойствами 1) и 2). Для всякого решения $y\left(t ; t_{0}, y_{n}\right)\left(t_{0}>a, y_{0}<\infty\right)$ в силу условия 2) при $t \geqslant t_{0}$ имеем
\[
V\left(t, y\left(t ; t_{0}, y_{0}\right)\right) \leqslant V\left(t_{0}, y\left(t_{0} ; t_{0}, y_{0}\right)\right)=V\left(t_{0}, y_{0}\right) .
\]
Отсюда на основании условия
1) получаем
\[
W\left(y\left(t ; t_{0}, y_{0}\right)\right) \leqslant V\left(t, y\left(t ; t_{3}, y_{0}\right)\right) \leqslant V\left(t_{0}, y_{0}\right) \quad \text { при } \quad t \geqslant t_{0} .
\]
Из последнего неравенства следует, что решение $y\left(t ; t_{0}, y_{0}\right)$ ограпичено. Действительно, если это не так, то нашлась бы последовательность моментов времени $t_{k} \rightarrow \infty\left(k=1,2, \ldots ; t_{k} \geqslant t_{0}\right)$ такая, что
\[
\left\|\boldsymbol{y}\left(t_{k} ; t_{0}, \boldsymbol{y}_{0}\right)\right\| \rightarrow \infty \quad \text { при } \quad k \rightarrow \infty
\]
и, следовательно,
\[
W\left(y\left(t_{k} ; t_{0}, y_{0}\right)\right) \rightarrow+\infty \quad \text { при } \quad k \rightarrow \infty,
\]
вопреки неравенству (4.15.2). Таким образом, решение $y\left(t ; t_{0}, \boldsymbol{y}_{0}\right)$ неограниченно продолжаемо вправо и
\[
\sup _{t}\left\|\boldsymbol{y}\left(t ; t_{0}, \boldsymbol{y}_{0}\right)\right\|<\infty
\]
при $t \in\left[t_{0}, \infty\right)$.
Замечание. Для этой части теоремы не требуется выполнения свойства единственности решений.
2) Докажем теперь и собходимость условий теоремы. Пусть любое решение $y\left(t ; t_{0}, y_{0}\right)$ системы (4.15.1) существует и ограничено на промежутке $t_{0} \leqslant t<\infty$ и, следовательно, бесконечно
продолжаемо при $t \rightarrow+\infty$.
Положим
\[
V(t, y)=\sup _{\tau \geqslant 0}\|\boldsymbol{y}(t+\tau ; t, \boldsymbol{y})\|^{2},
\]
где $t>a, \quad \boldsymbol{y} \|<\infty$.
Из формулы (4.15.4) имеем
\[
\begin{array}{l}
V(t, y) \geqslant y(t ; t, y) \|^{2}= \\
=y \|^{2} \equiv W(y), \\
\end{array}
\]
причем, очевидно, $W(\boldsymbol{y}) \rightarrow \infty$ при $\boldsymbol{y} \| \rightarrow \infty$, т. е. условие 1) выполнено.
Далее, при $a<t_{1}<t_{2}$, учитывая, что в силу свойства единственности решение $y\left(t ; t_{2}, y\left(t_{2} ; t_{0}, y_{0}\right)\right.$ ) является продолжением решения $y\left(t ; t_{1}, y\left(t_{1} ; t_{0}, \boldsymbol{y}_{0}\right)\right.$ ) (рис. 44), получаем
\[
\begin{array}{l}
V\left(t_{1}, \boldsymbol{y}\left(t_{1} ; t_{0}, \boldsymbol{y}_{0}\right)\right)=\sup _{\tau \geqslant 0}\left\|\boldsymbol{y}\left(t_{1}+\tau ; t_{1}, \boldsymbol{y}\left(t_{1} ; t_{0}, \boldsymbol{y}_{0}\right)\right)\right\|^{2} \geqslant \\
\quad \geqslant \sup _{\tau \geqslant 0}\left\|\boldsymbol{y}\left(t_{2}+\tau ; t_{3}, \boldsymbol{y}\left(t_{2} ; t_{0}, \boldsymbol{y}_{0}\right)\right)\right\|^{2}=V\left(t_{2}, y\left(t_{2} ; t_{0}, \boldsymbol{y}_{0}\right)\right) .
\end{array}
\]
Таким образом, условие 2) также выполнено. Теорема доказана полностью.
Замечание. Непрерывность функции $V(t, y)$ здесь не гарантируется.
Пример. Рассмотрим скалярное диффсренциальное уравнение (см. [46])
\[
\ddot{x}+p(t) \dot{x}+q(t) f(x)=0,
\]
где $p(t) \in C[0, \infty), q(t) \in C^{1}[0, \infty)$ и $f(x) \in C(-\infty, \infty)$.
Если выполнены условия:
1) $0<q(t) \leqslant M$;
2) $p(t) \geqslant-\frac{\dot{q}(t)}{2 q(t)}$;
3) $\int_{0}^{-1} f(x) d x=+\infty$,
то решения $x(t)$ уравнения (4.15.5) ограничсны на $[0, \infty$ ) вместе со своими производными $\dot{x}(t)$.
Действительно, запишем уравнение (4.15.5) в внде системы
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=y, \\
\frac{d y}{d t}=-p(t) y-q(t) f(x) .
\end{array}\right\}
\]
Положим
\[
V(t, x, y)=\int_{0}^{x} f(\xi) d \xi+\frac{y^{2}}{2 q(t)} .
\]
На основании неравенства 1) имеем
\[
V(t, x, y) \geqslant \int_{0}^{x} f(\xi) d \xi+\frac{y^{2}}{2 M} \equiv W(x, y),
\]
причем $W(x, y) \rightarrow+\infty$ при $x^{2}+y^{2} \rightarrow \infty$.
Далее,
\[
V\{t, x(t), y(t)\}=\int_{0}^{x(t)} f(\xi) d \xi+\frac{y^{2}(t)}{2 q(t)} .
\]
Огсюда
\[
\begin{array}{l}
\dot{V}(t, x, y)=f(x(t)) y(t)+\frac{y(t)}{q(t)} \frac{d y}{d t} \cdots \frac{y^{2}(t) \dot{q}(t)}{2 q^{2}(t)}= \\
=f(x(t)) y(t)-\frac{y(t)}{q(t)}[p(t) y(t)+q(t) f(x(t))]-\frac{y^{2}(t) \dot{q}(t)}{2 q^{2}(t)}= \\
=-\frac{y^{2}(t)}{q(t)}\left[p(t)+\frac{\dot{q}(t)}{2 q(t)}\right] \leqslant 0 . \\
\end{array}
\]
Таким образом, условия теоремы выполнены и, следовательно, $x(t)$ и $y(t)=\dot{x}(t)$ ограничены на промежутке $0 \leq t<\infty$.
