Рассмотрим приведенную систему
\[
\frac{d x}{d t}=X(t, x)(X(t, 0)=0),
\]

где $\boldsymbol{X}(t, \boldsymbol{x}) \in C_{t x}^{(0.1)}\left(I_{t}^{+} \times \mathscr{R}_{x}^{n}\right)$ и $I_{t}^{+}=\{a<t<+\infty\}$.
Определение 1. Говорят, что тривиальное решение $\xi=0$ системы (4.7.1) асимптотически устойчиво в целом (см. [16]), если: 1) оно асимптотически устойчиво по Ляпунову и 2) для каждого решения $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}\left(t ; t_{0}, \boldsymbol{x}_{0}\right)\left(t_{0} \in I_{t}^{+}\right)$выполнено условие:
\[
\lim _{i \rightarrow \infty} x\left(t ; t_{0}, x_{0}\right)=0
\]
(т. е. область притяжения представляет собой все пространство $\mathscr{R}_{\boldsymbol{x}}^{n}$ (см. гл. II, § 1)). Аналогично определяется асимптотическая устойчивость в целом нетривиального решения ह.\”

Оп ределение 2. Будем говорить, что $V(t, x) \in C_{t x}^{\left(\theta_{x}^{11}\right.}\left(I_{t}^{+} \times \mathscr{R}_{x}^{n}\right)$ допускает бесконечно большой низший предел при $\boldsymbol{x} \rightarrow \infty$, если
\[
V(t, \boldsymbol{x}) \underset{t}{\rightarrow} \infty \text { при }\|\boldsymbol{x}\| \rightarrow \infty,
\]
т. е. для любого $M>0$ существует $R=R(M)$ такое, что
\[
|V(t, \boldsymbol{x})|>M \quad \text { при } \quad t \in\left[t_{0}, \infty\right) \text { и }\|\boldsymbol{x}\| \geqslant R .
\]

Определение 3. Будем говорить, что $V(t, \boldsymbol{x}) \in C_{t x}\left(I_{t}^{+} \times \mathscr{R}_{x}^{n}\right)$ допускает в $\mathscr{R}_{\boldsymbol{x}}^{\prime}$ сильный бесконечно малый высиий предел при $\boldsymbol{x} \rightarrow \mathbf{0}$, если существует функция $U(\boldsymbol{x}) \in C\left(\mathscr{R}_{\boldsymbol{x}}^{n}\right)$ такая, что
\[
|V(t, x)| \leqslant U(x)
\]

при $(t, x) \in\left(I_{t}^{+} \times \mathscr{R}_{x}^{n}\right)$ и $U(0)=0$ (cр. $\S 3$, определение 3).
Теорема Барбашина-Красовского (см. [42]). Если для системы (4.7.1) существует положительно определенная скалярная функция $V(t, \boldsymbol{x}) \in C_{t x}^{(1,1)}\left(I_{t}^{+} \times \mathscr{R}_{x}^{n}\right)$, допускающая в $\mathscr{R}_{x}^{n}$ сильный бесконечно малый высший предел при $\boldsymbol{x} \rightarrow 0$ и бесконечно большой низший предел при $\boldsymbol{x} \rightarrow \infty$, причем производная $\dot{V}(t, \boldsymbol{x})$ в силу системы отрицательно определенна в $\mathscr{R}_{x}^{n}$, то тривиальное решение $\xi=0$ асимптотичеєки устойчиво в целом.

Доказательство. Так как условия этой теоремы, очевидно, включают условия первой теоремы Ляпунова (§ 3), то тривиальное решение $\xi=0$ устойчиво по Ляпунову при $t \rightarrow+\infty$.

Пусть $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}\left(t ; t_{0}, \boldsymbol{x}_{0}\right)$ – нетривиальное решение системы (4.7.1), определяемое начальными условиями: $\boldsymbol{x}\left(t_{0} ; t_{0}, \boldsymbol{x}_{0}\right)=\boldsymbol{x}_{0}
eq 0$, где $t_{0} \in I_{t}^{+}$и $x_{0} \in \mathscr{R}_{x}^{n}-$ произвольно.

Обозначим через $K_{\boldsymbol{x}}$ некоторый компакт (т. е. ограниченное замкнутое множество пространства $\mathscr{R}_{x}^{n}$ ), содержащий точку $\boldsymbol{x}$ :
\[
\boldsymbol{x}_{0} \in K_{x} \subset \mathscr{R}_{x}^{n},
\]

и пусть
\[
M=\sup V(t, x) \text { на } I_{t}^{+} \times K_{\boldsymbol{x}} .
\]

В силу неравенства (4.7.4) имеем
\[
M<+\infty \text {. }
\]

Так как функция $V(t, \boldsymbol{x})$ обладает в $\mathscr{R}_{\boldsymbol{x}}^{n}$ бесконечно большим пределом при $\boldsymbol{x} \rightarrow \infty$, то существует шар $S\{\|\cdot \boldsymbol{x}\|<R\} \supset K_{\boldsymbol{x}}$ такой, что
\[
V(t, \boldsymbol{x})>M \text { при }\|\boldsymbol{x}\| \geqslant R .
\]

По условию теоремы вдоль траектории $\boldsymbol{x}\left(t ; t_{\theta}, \boldsymbol{x}_{0}\right)$ выполнено неравенство
\[
\dot{V}\left(t, x\left(t ; t_{0}, x_{0}\right)\right)<0 ;
\]

поэтому при $t \geqslant t_{0}$ имеем
\[
V\left(t, \boldsymbol{x}\left(t ; t_{0}, \boldsymbol{x}_{0}\right)\right) \leqslant V\left(t_{0}, \boldsymbol{x}_{0}\right) \leqslant M
\]

и, следовательно,
\[
\left\|\boldsymbol{x}\left(t ; t_{0}, \boldsymbol{x}_{0}\right)\right\|<R,
\]
т. е. все решения системы (4.7.1) ограничены.
Покажем теперь, что
\[
V\left(t, \boldsymbol{x}\left(t ; t_{0}, \boldsymbol{x}_{0}\right)\right) \rightarrow 0 \quad \text { при } \quad t \rightarrow \infty .
\]
Рис. 34.
Пусть $\varepsilon>0$ произвольно и $r>0$ таково, что функция $U(\boldsymbol{x})$, определяемая формулой (4.7.4), удовлетворяет неравенству
\[
0 \leqslant U(\boldsymbol{x})<\varepsilon \text { при } \quad\|\boldsymbol{x}\| \leqslant r .
\]

Покажем, что решение $\boldsymbol{x}\left(t ; t_{0}: \boldsymbol{x}_{0}\right)$ при $t \rightarrow+\infty$ обязательно войдет внутрь замкнутого шара $\|\boldsymbol{x}\| \leqslant r$.
Действительно, допустим, что
\[
0<r<\left\|\boldsymbol{x}\left(t ; t_{0}, \boldsymbol{x}_{i}\right)\right\|<R \text { при } t \geqslant t_{0}
\]
(рис. 34). Тогда $\dot{V}(t, \boldsymbol{x})$, будучи отрицательно определенной, имеет в области $I_{t}^{+} \times\{r \leqslant\|\boldsymbol{x}\| \leqslant R\}$ отрицательную верхнюю грань $-\gamma(\gamma>0)$ и, значит, при $t \geqslant t_{0}$ справедливо неравенство
\[
\dot{V}\left(t, \boldsymbol{x}\left(t ; t_{0}, x_{0}\right)\right) \leqslant-\gamma .
\]

Интегрируя это неравенство в пределах от $t_{0}$ до $t\left(t>t_{0}\right)$, получим
\[
V\left(t, \boldsymbol{x}\left(t ; t_{0}, x_{0}\right)\right) \leqslant V\left(t_{0}, x_{0}\right)-\gamma\left(t-t_{0}\right)<0,
\]

если только
\[
t>t_{0}+\frac{V\left(t_{0}, x_{0}\right)}{\gamma},
\]

что противоречит положительности функции $V(t, \boldsymbol{x})$. Следовательно, существует момент $T>t_{0}$ такой, что
\[
\left\|\boldsymbol{x}\left(T ; t_{0}, \boldsymbol{x}_{0}\right)\right\| \leqslant r,
\]
т. e.
\[
U\left(x\left(T ; t_{0}, x_{0}\right)\right)<\varepsilon .
\]

Отсюда ввиду монотонного убывания функции $V\left(t, \boldsymbol{x}\left(t ; t_{0}, \boldsymbol{x}_{0}\right)\right)$ при $t>T$ будем иметь
\[
V\left(t, \boldsymbol{x}\left(t ; t_{0}, \boldsymbol{x}_{0}\right)\right)<V\left(T, \boldsymbol{x}\left(T ; t_{0}, \boldsymbol{x}_{0}\right)\right) \leqslant U\left(\boldsymbol{x}\left(T ; t_{0}, \boldsymbol{x}_{0}\right)\right)<\varepsilon
\]

и, таким образом,
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} V\left(t, \boldsymbol{x}\left(t ; t_{0}, \boldsymbol{x}_{0}\right)\right)=0 .
\]

Из последнего равенства выводим, что
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} x\left(t ; t_{0}, x_{0}\right)=0,
\]

так как в противном случае существовала бы последовательность $\boldsymbol{x}\left(t_{k} ; t_{0}, \boldsymbol{x}_{0}\right) \quad\left(k=1,2, \ldots, t_{k} \rightarrow \infty\right)$ такая, что
\[
\lim _{k \rightarrow \infty} V\left(t_{k}, \boldsymbol{x}\left(t_{k} ; t_{0}, \boldsymbol{x}_{0}\right)\right)
eq 0,
\]

вопреки равенству (4.7.7).
Теорема доказана.
Замечание. Из доказательства следует, что при условии теоремы Барбашина – Красовского асимптотическая устойчивость в целом равномерна по $\boldsymbol{x}_{0}$ на любом компакте $K_{\boldsymbol{x}}$, т. е. можно гарантировать, что (см. [16])
\[
\left\|\boldsymbol{x}\left(t ; t_{0}, \boldsymbol{x}_{0}\right)\right\|<\varepsilon
\]

при $t>T\left(\varepsilon, K_{x}\right)$, где $x_{0} \in K_{x}$.