Пусть
\[
\frac{d x}{d t}=A(t) x,
\]

где $A(t) \in C(a, \infty), \sup _{t}\|A(t)\|<\infty$, и $\left\{\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{m}\right\}$ – спектр системы (3.5.1), причем $m \leqslant n$.

Теорема. Для асимптотической устойчивости линейной однородной системы (3.5.1) достаточно, чтобы наибольший характеристический ее показатель был бы отрицательным, т. е.
\[
\alpha=\max _{k} x_{k}<0 \text {. }
\]

Доказательство. Пусть $\boldsymbol{x}(t)
eq \mathbf{0}$ – произвольное нетривиальное решение системы (3.5.1). Выберем $\varepsilon>0$ столь малым, чтобы имело место неравенство
\[
a+\varepsilon<0 .
\]

Так как
\[
\chi[x(t)]<\alpha+\varepsilon,
\]

то имеем
\[
\frac{\| x(t)}{e^{(t+\varepsilon) t}} \rightarrow 0 \text { при } t \rightarrow \infty,
\]
T. e.
\[
x(t)=o\left(e^{(\alpha+\varepsilon) t}\right) \quad \text { при } t \rightarrow \infty
\]

и, следовательно, $\boldsymbol{x}(t) \rightarrow \mathbf{0}$ при $t \rightarrow \infty$. Отсюда следует ( $\S 7$, теорема 2), что система (3.5.1) (т. е. все ее решения) асимптотически устойчива при $t \rightarrow \infty$.

Замечание. Пусть $X(t)-\left\{\boldsymbol{x}_{1}, \ldots, \boldsymbol{x}_{n}\right\}$ – нормальная фундаментальная система решений и
\[
\chi\left[x_{j}\right]=\alpha_{j} \quad(j=1, \ldots, n) .
\]

Положим
\[
\boldsymbol{x}_{j}=e^{\alpha_{j} t} \xi_{j}
\]

имеем (см. $\S 1$, теорема 3 , следствие)
\[
\alpha_{j}=\chi\left[\boldsymbol{x}_{j}\right]=\alpha_{j}+\chi\left[\xi_{j}\right],
\]
T. e.
\[
\chi\left[\xi_{j}\right]=0 .
\]

Таким образом, общее решение системы (3.5.1) может быть записано в виде
\[
x=\sum_{j=1}^{n} c_{j} \xi_{j}(t) e^{\alpha_{j} t}
\]

где $c_{j}$ – произвольные постоянные, $\chi\left[\xi_{j}(t)\right]=0$, х $_{j}$ – точки спектра, $\boldsymbol{\xi}_{j}(t) e^{\alpha}{ }^{t}{ }^{t}$ – линейно независимые частные решения; при этом $\alpha_{j}$ повторяется столько раз, сколько раз встречается частное решение с характеристическим показателем $\alpha_{j}$ в нормальной фундаментальной системе решений.