Если $A$ — квадратная матрица и $p$ — натуральное число, то по определению полагают
\[
A^{p}=\underbrace{A \ldots A}_{p \text { раз }} .
\]

Кроме того, имеет место соглашение
\[
A^{0}=E,
\]

где $E$ — единичная матрица того же порядка, что и $A$.
Если $A$ — неособенная матрица, то по определению имеем
\[
A^{-p}=\left(A^{-1}\right)^{p}(p>0) .
\]

В этом случае для любых целых $p$ и $q$ справедливо правило перемножения степеней
\[
A^{p} A^{q}=A^{p+q} .
\]

В случае особенной матрицы $A$ формула (1.2.1) имеет место лишь для неотрицательных $p$ и $q$.

Если $A$ и $B$ — квадратные матрицы одного и того же порядка, перестановочные между собой, т. е.
\[
A B=B A,
\]

то для натурального $p$ справедлива формула бинома Ньютона
\[
(A+B)^{p}=\sum_{k=0}^{p} C_{p}^{q} A^{p-q} B^{q},
\]

где
\[
C_{p}^{q}=\frac{p !}{q \cdot(p-q) !}
\]
— число сочетаний из $p$ элементов по $q$.