Определение 1. Семейство вектор-функций $\boldsymbol{f}(t, \lambda)(t \in T$, $\lambda \in \Lambda$ ) называется равномерно ограниченным, если существует постоянная $M$ такая, что
\[
\|f(t, \lambda)\| \leqslant M,
\]

где $f(t, \lambda)$ – любая функция ссмсйства.
Определение 2. Семейство вектор-функций $f(t, \lambda)$ называется равностепенно непрерывным на множестве $T$, если для $\forall \varepsilon>0 \exists \delta>0$ общ е для всего семейства, т. е. такое, что для каждой вектор-функции $f(t, \lambda)$ семейства выполнено неравенство
\[
\left\|f\left(t^{\prime}, \lambda\right)-f\left(t^{\prime \prime}, \lambda\right)\right\|<\varepsilon,
\]

если только
\[
\left|t^{\prime}-t^{\prime \prime}\right|<\delta, t^{\prime} \in T, t^{\prime \prime} \in T .
\]

П риме р. Вектор-функции $\boldsymbol{f}(t, 2)$, обладающие равномерно ограниченными производными $f_{t}^{\prime}(t, \lambda)$ ( $\left\|f_{t}^{\prime}(t, \lambda)\right\| \leqslant M_{1}$ ) на промежутке $a<t<b$, образуют равностепенно непрерывное семейство.

Действительно, предполагая, например, что норма вектора – евклидова, на основании теоремы Лагранжа, применснной к каждой компоненте, имеем
\[
\left\|\boldsymbol{f}\left(t^{\prime}, \lambda\right)-\boldsymbol{f}\left(t^{\prime \prime}, \lambda\right)\right\|=\left\|\left(t^{\prime}-t^{\prime \prime}\right) f_{t}^{\prime}(\tau, \lambda)\right\| \leqslant \sqrt{n} M_{1}\left|t^{\prime}-t^{\prime \prime}\right|<\varepsilon,
\]

ссли только
\[
\left|t^{\prime}-t^{\prime \prime}\right|<\frac{\varepsilon}{\sqrt{n} M_{1}}=8 \quad\left(t^{\prime}, t^{\prime \prime} \in(a, b), t^{\prime}<\tau<t^{\prime \prime}\right) .
\]

Теорема Арцеля. Из каждого бесконечного семейства вектор-функций $f(t, \lambda)(\lambda \in \Lambda)$, равномерно ограниченного и равностепенно непрерыеного на конечном промелутке ( $a, b$ ), можно выделить равномерно сходящуюся на ( $a, b$ ) последовательность
\[
f\left(t, \lambda_{k}\right) \quad\left(k=1,2, \ldots ; \lambda_{k} \in \Lambda\right) .
\]

Доказательство (см. [9], [51]). Рассмотрим счетное всюду плотное множество точек $t_{1}, t_{2}, \ldots, t_{k}, \ldots$ на промежутке $(a, b)$, например множество рациональных точек. Множество значений $f\left(t_{1}, \lambda\right) \in \Re^{n}(\lambda \in \Lambda)$ бесконечно и ограничено и, следовательно, из него можно выделить сходяшуюся последовательность $\boldsymbol{f}\left(t_{1}, \lambda_{m^{\prime}}^{\prime}\right)$ $(m=1,2, \ldots)$. Далее, множество значений $\boldsymbol{f}\left(t_{2}, \lambda_{m}^{\prime_{1}^{\prime}}\right)(m=1,2, \ldots)$ также бесконечно и ограничено и, значит, допускает сходящуюся последовательность $f\left(t_{g}, \lambda_{m}^{(2)}\right)$, где числа $\lambda_{m}^{, 9}$ являются частью чисел $\lambda_{m}^{1 !}$. Продолжая рассуждение, получим счетное множество вложенных последовательностей
\[
\begin{array}{l}
\boldsymbol{f}\left(t, \lambda_{1}^{(1)}\right), f\left(t, \lambda_{2}^{(1)}\right), \ldots ; \\
\boldsymbol{f}\left(t, \lambda_{1}^{(2)}\right), f\left(t, \lambda_{2}^{(2)}\right), \ldots, \\
\cdot . \cdot \cdot \cdot . \cdot . \cdot
\end{array}
\]

из которых первая сходится в точке $t_{1}$, вторая – в точках $t_{1}$ и $t_{2}$ и т. д.
Рассмотрим диагональную последовательность
\[
f_{1}(t)=\boldsymbol{f}\left(t, \lambda_{1}^{(1)}\right), f_{2}(t)=\boldsymbol{f}\left(t, \lambda_{2}^{(9)}\right), \ldots, f_{k}(t)=f\left(t, \lambda_{k}^{(k)}\right), \ldots
\]

Так как для любого $m$, при $k \geqslant m$, члены диагональной последовательности $f_{k}(t)$ образуют подпоследовательность последовательности $\left\{\boldsymbol{f}\left(t, \boldsymbol{\lambda}_{m}^{(k)}\right)\right\}(k=1,2, \ldots)$, сходящейся в точке $t_{m}$, то диагональная последовательность сходится в каждой точке $t_{m}(m=$ $=1,2, \ldots$.

Докажем теперь, что диагональная последовательность $\left\{\boldsymbol{f}_{k}(t)\right\}$ сходится равномерно на всем промежутке $(a, b)$.

Пусть $£>0$ произвольно. На основании равностепенной непрерывности семейства вектор-функций $\boldsymbol{f}(t, \lambda)$ можно определить число $\delta=\delta\left(\frac{\varepsilon}{3}\right)>0$, соответствующее числу $\frac{\varepsilon}{3}$. Так как промежуток $(a, b)$ конечен и множестзо $\left\{t_{m}\right\}$ всюду плотно на $(a, b)$, то найдется конечная система точек $t_{\alpha_{1}}, t_{\alpha_{2}}, \ldots, t_{u_{p}}$, представляющая собой $\delta$-сеть на $(a, b)$, т. е. такая, что каждая точка $t \in(a, b)$ будет содержаться в $\delta$-окрестности одной из точек $t_{\alpha_{i}}(i=1,2, \ldots$ $\cdots, p)$. На этой конечной системе точек диагональная последовательность (5.2.3) сходится и, следовательно, для нее выполнен критерий Коши, причем, ввиду конечности числа точек, равномерно относительно данных точек. Иными словами, найдется число $N=N\left(\frac{\varepsilon}{3}\right)$ такое, что при $m \geqslant N$ и $k \geqslant N$,
\[
\left\|f_{m}\left(t_{\alpha_{i}}\right)-\boldsymbol{f}_{k}\left(t_{\alpha_{i}}\right)\right\|<\frac{\varepsilon}{3} \quad(i=1,2, \ldots, p) .
\]

Пусть $t$-произвольная точка промежутка $(a, b)$ и $t_{\alpha_{j}}$ – ближайшая точка $\delta$-сети, т. е.
\[
\left|t-i_{\alpha_{j}}\right|<\delta .
\]

Тогда в силу равностепенной непрерывности функций $\left\{f_{k}(t)\right\}$ и выбора числа $\delta$ имеем
\[
\left\|f_{m}(t)-f_{m}\left(t_{\alpha_{j}}\right)\right\|<\frac{\varepsilon}{3}
\]

и
\[
\left\|f_{k}(t)-\boldsymbol{f}_{k}\left(t_{\alpha_{j}}\right)\right\|<\frac{\varepsilon}{3} .
\]

Далее, при $m \geqslant N$ и $k \geqslant N$ получаем
\[
\left\|f_{m}\left(t_{\alpha_{i}}\right)-f_{k}\left(t_{\alpha_{j}}\right)\right\|<\frac{\varepsilon}{3} \text {. }
\]

Следовательно,
\[
\begin{aligned}
\left\|f_{m}(t)-\boldsymbol{f}_{k}(t)\right\| \leqslant & \left\|\boldsymbol{f}_{m}(t)-\boldsymbol{f}_{m}\left(t_{\alpha_{j}}\right)\right\|+\left\|\boldsymbol{f}_{m}\left(t_{\alpha_{j}}\right)-\boldsymbol{f}_{k}\left(t_{\alpha_{j}}\right)\right\|+ \\
& +\left\|\boldsymbol{f}_{k}\left(t_{\alpha_{j}}\right)-\boldsymbol{f}_{k}(t)\right\|<\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}=\varepsilon .
\end{aligned}
\]

Таким образом, для последовательности $\left\{\boldsymbol{f}_{k}(t)\right\}$ на $(a, b)$ выполнено условие критерия Коши и, значит, эта последовательность равномерно на ( $a, b$ ) сходттся к некоторой предельной вектор-функции $\varphi(t)$, т. е.
\[
f_{k}(t)=\boldsymbol{f}\left(t, \lambda_{k}^{(k)}\right) \underset{t}{\rightarrow} \varphi(t) \text { на }(a, b) .
\]

Так как члены последовательности $\left\{\boldsymbol{f}_{k}(t)\right\}$ непрерывны, то предельная функция $\varphi(t)$ непрерывна на промежутке $(a, b)$.
Теорема доказана.
Следствие. Пусть семейство вектор-функций $\boldsymbol{f}(t, \lambda)(\lambda \in \Lambda)$ равномерно ограничено и равностепенно непрерывно на бесконечном интервале $\left(t_{0}, \infty\right)$. Тогда из этого семейства можно выделить последовательность $\boldsymbol{f}_{k}(t)=\boldsymbol{f}\left(t, \lambda_{k}\right) \quad\left(k=1,2, \ldots ; \lambda_{k} \in A\right)$, сходящуюся на интервале $\left(t_{0}, \infty\right)$ к непрерьвной вектор-функции ч $(t)$ равномерно на каждом конечном промежупке $(a, b) \subset\left(t_{0}, \infty\right)$.

Это проверяется непосредственно путем последовательного применения теоремы Арцеля к системе расширяющихся конечных промежутков
\[
\left(a_{1}, b_{1}\right) \subset\left(a_{2}, b_{4}\right) \subset\left(a_{3}, b_{3}\right) \subset \ldots,
\]

исчерпывающей весь интервал $\left({ }_{0}, \infty\right)$ :
\[
\bigcup_{k=1}^{\infty}\left(a_{k}, b_{k}\right)=\left(t_{0}, \infty\right) \text {. }
\]

Замечание. Равномерной сходимости выделенной последовательности $\left\{f_{k}(t)\right\}$ на всем интәрвале $\left(t_{0}, \infty\right)$ в общем случае гарантировать нельзя.