Рассмотрим автономную скалярную систему
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=P(x, y), \\
\frac{d y}{d t}=Q(x, y),
\end{array}\right\}
\]

где $P(x, y), Q(x, y) \in C^{1}$. Пусть система (4.21.1) имеет $ө$-периодическое решение
\[
\xi=\xi(t), \quad \eta=\eta(t),
\]

траектория которого на плоскости. Оху не сводится в точку: $|\dot{\xi}(t)|+\mid \dot{r}_{i}(t)
eq 0$. Тогда соответствующая система в вариациях
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d u}{d t}=P_{x}^{\prime}(\xi(t), \eta(t)) u+P_{y}^{\prime}(\xi(t), \eta(t)) v, \\
\frac{d v}{d t}=Q_{x}^{\prime}(\xi(t), \eta(t)) u+Q_{y}^{\prime}(\xi(t), \eta(t)) v
\end{array}\right\}
\]

допускает нетривиальное $ю$-периодическое решение
\[
u=\dot{\xi}(t), \quad v=\dot{\eta}_{i}(t)
\]

Пусть $X(t)(X(0)=E)$ – нормированная фундаментальная матрица линейной системы (4.21.3). Мультипликаторы $p_{1}$ и $p_{2}$ этой системы являются корнями уравнения
\[
\operatorname{det}[X(\omega)-p E]=0 .
\]

Отсюда
\[
\rho^{2}-\rho \operatorname{Sp} X(\omega)+\operatorname{det} X(\omega)=0 .
\]

Так как система в вариациях (4.21.3) имеет нетривиальное $\omega$-периодическое решение, то в силу леммы 1 ( $\$ 19$ ) один из ее мультипликаторов
\[
p_{1}=1 \text {. }
\]

Отсюда по свойству корней квадратного уравнения имеем
\[
\rho_{2}=\operatorname{det} X(\omega) \text {. }
\]

Но в силу формулы Остроградского – Лиувилля, обозначая через $A(t)$ матрицу системы (4.21.3), получим
\[
\begin{aligned}
\operatorname{det} X(\omega)=\operatorname{det} X(0) \exp \int_{0}^{\omega} & \operatorname{Sp} A(t) d t= \\
& \left.=\exp \int_{0}^{\omega} \mid P_{x}^{\prime}(\xi(t), \eta(t))+Q_{y}^{\prime}(\xi(t), \eta(t))\right] d t .
\end{aligned}
\]

Поэтому справедлив признак Пуанкаре: если
\[
\lambda=\frac{1}{\omega} \int_{0}^{\omega}\left[P_{x}^{\prime}(\xi(t), \quad \eta(t))+Q_{y}^{\prime}\left(\xi(t), \quad \eta_{i}(t)\right)\right] d t<0,
\]
mo
\[
0<\rho_{2}<1
\]
$u$ периодическое ремение $\xi=\xi(t), \quad \eta=\eta(t)$ асимптотически орбитально устойчиво, т.е. траектория его является устойчивым предельным циклом (см. [52]) и близкие к нему решения обладают асимитотической фазой.