Определение 1. Матрица $L(t) \in C^{1}\left[t_{0}, \infty\right)$, вообще говоря, комплексная, называется матрицей Ляпунова, если выполнены следующие условия (см. [13], [20]):
1) $L(t)$ и $\dot{L}(t)$ ограничены на промежутке $\left[t_{0}, \infty\right)$, т. е.
\[
\sup _{t}\|L(t)\|<\infty, \quad \sup _{t}\|\dot{L}(t)\|<\infty
\]

при $t_{0} \leqslant t<\infty$;
2) $|\operatorname{det} L(t)| \geqslant m>0$,

где $m$ – некоторая положительная постоянная.
Очевидно,
\[
|\operatorname{det} L(t)| \leqslant M<\infty .
\]

Заметим, что матрица $L^{-1}(t)$, обратная матрице Ляпунова $L(t)$, есть также матрица Ляпунова.

Действительно, если $L(t)=\left[l_{j k}(t)\right]$ – матрица Ляпунова и $L_{j k}(t)$ – алгебраическое дополнение элемента $l_{j k}(t)$, то
\[
L^{-1}(t)=\frac{\left[L_{k j}(t)\right]}{\operatorname{det} L(t)} .
\]

Отсюда, учитывая условия 1) и 2), будем иметь
\[
\sup _{t}\left\|L^{-1}(t)\right\|<\infty \text {, }
\]

причем, очевидно, $L^{-1}(t) \in C^{1}\left[t_{0}, \infty\right)$ и $\frac{d}{d t}\left[L^{-1}(t)\right]$ ограничена. Кроме того,
\[
\left|\operatorname{det} L^{-1}(t)\right|=\frac{1}{|\operatorname{det} L(t)|} \geqslant \frac{1}{M}>0 .
\]

Таким образом, $L^{-1}(t)$ – матрица Ляпунова.

Определение 2. Линейное преобразование
\[
\boldsymbol{y}=L(t) \boldsymbol{x}
\]

с $(n \times n)$-матрицей Ляпунова $L(t)$, где $\boldsymbol{x}$ и $\boldsymbol{y}$ – $(n \times 1)$-векторы, называется преобразованием Ляпунова.

Лемма. При преобразовании Ляпунова (3.8.1), произведенном над линейной дифференциальной системой
\[
\frac{d x}{d t}=A(t) x,
\]

характеристические показатели ее решений $\boldsymbol{x}$ сохраняются.
Действительно, из (3.8.1) имеем
\[
\boldsymbol{x}=L^{-1}(t) \boldsymbol{y} .
\]

Следовательно,
\[
\|\boldsymbol{y}\| \leqslant\|L(t)\|\|\boldsymbol{x}\|
\]

и
\[
\|\boldsymbol{x}\| \leqslant\left\|\boldsymbol{L}^{-1}(t)\right\| \boldsymbol{y} \| .
\]

Отсюда, учитывая, что $\|L(t)\|$ и $\left\|L^{-1}(t)\right\|$ ограничены, получаем
\[
\chi[y]=\chi[\|\boldsymbol{y}\|] \leqslant \chi[\|L(t)\|]+\chi[\|\boldsymbol{x}\|]=\chi[\boldsymbol{x}]
\]

и
\[
\chi[x] \leqslant \chi[y] .
\]

Таким образом,
\[
\chi[x]=\chi[y] .
\]

Определение 3. Согласно Ляпунову, однородная линейная дифференциальная система (3.8.2) называется приеодимой, если с помощью некоторого преобразования Ляпунова она может быть преобразована в линейную систему
\[
\frac{d y}{d t}=B y
\]

с постоянной матрицей $B$.
Н. П. Еругиным получены необходимые и достаточные условия приводимости линейной системы (см. [20]).

Теорема Еругина. Линейная дифференциальная система (3.8.2) приводима тогда и только тогда, когда некоторая ее фундаментальная матрица $X(t)$ может быть представлена в виде матрицы Ляпунова L $(t)$, умноженной на экспоненциал произведения независимой переменной $t$ на постоянную матрицу $B$, т. е.
\[
X(t)=L(t) e^{t B} .
\]

Доказательство. 1) Докажем сначала необходимость условия теоремы. Пусть система (3.8.2) приводима. Тогда с помощью преобразования Ляпунова
\[
\boldsymbol{x}=L(t) \boldsymbol{y}
\]

ее можно преобразовать в линейную систему
\[
\frac{d y}{d t}=B y
\]

с некоторой постоянной матрицей $B$. Фундаментальная матрица $Y=Y(t)$ системы (3.8.6) удовлетворяет матричному уравнению (гл. II, §2)
\[
\dot{Y}=B Y \text {. }
\]

Отсюда получаем (ср. гл. II, §8)
\[
Y(t)=e^{t B} C,
\]

где $C$ – произвольная неособенная постоянная матрица ( $\operatorname{det} C
eq 0$ ). В силу формулы (3.8.5) фундаментальная матрица системы (3.8.2) будет иметь вид
\[
X(t)=L(t) Y(t)=L(t) e^{t B} C .
\]

Выбрав $C=E$, мы и получим формулу (3.8.4).
2) Докажем теперь достаточность условия теоремы. Пусть имеет место формула (3.8.4). Отсюда
\[
L(t)=X(t) e^{-t B} .
\]

В уравнении (3.8.2) произведем преобразование Ляпунова:
\[
\boldsymbol{x}=X(t) e^{-t B} \boldsymbol{y} .
\]

Тогда
\[
\frac{d x}{d t} \equiv X(t) e^{-t B} \frac{d y}{d t}+\dot{X}(t) e^{-t B} y-X(t) e^{-t B} B y=A(t) X(t) e^{-t B} y \text {. }
\]

Так как
\[
\dot{X}(t)=A(t) X(t),
\]

то в формуле (3.8.9) два члена сокращаются и мы имеем
\[
X(t) e^{-t B} \frac{d y}{d t}=X(t) e^{-t B} B y,
\]
т. $\mathrm{e}$
\[
\frac{d y}{d t}=B y .
\]

Таким образом, система (3.8.2) приводима.

Замечание. В формуле (3.8.4) матрица $B$ может быть взята в жордановой форме.

Нетрудно сформулировать условия устойчивости приводимой системы.

Т еорема. 1) Приводимая линейная однородная система устойчива тогда и только тогда, когда все характеристические показатели ее неположительны, причем нулевым характеристическим показателям отвечатот простые элементарные делители, если их рассматривать как вещественные части собственных значений соответствующей постоянной матрицы.
2) Приводимая линейная однородная система асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все характеристические показатели се отрицательны.

Доказательство непосредственно вытекает из того обстоятельства, что характеристические показатели приводимой системы (3.8.2) равны действительным частям корней соответствующего векового уравнения
\[
\operatorname{det}(B-\lambda E)=0 \text {, }
\]

где система
\[
\frac{d y}{d t}=B y
\]

устойчива или неустойчива одновременно с данной системой.