Теорема Ляпунова. Линейная система $c$ непрерьвной периодической матрицей приводима.

Доказательство. Согласно формуле (3.15.3) нормированная матрица решений периодической системы (3.15.1) имеет вид
\[
X(t)=\Phi(t) e^{\Lambda t},
\]

где $\Phi(t) \in C^{1}(-\infty,+\infty)$, причем
\[
\Phi(t+\omega)=\Phi(t) .
\]

В силу периодичности $\Phi(t)$ и $\dot{\Phi}(t)$ ограничены на ( $-\infty,+\infty$ ).
Кроме того, так как
\[
\Phi(t)=X(t) e^{-\Delta t}
\]

и $X(t)$ – неособенная матрица, то $\Phi(t)$ – также неособенная матрица. Учитывая периодичность $\Phi(t)$, получим
\[
\inf |\operatorname{det} \Phi(t)|>0
\]

при $-\infty<t<+\infty$.
Следовательно, Ф (t) есть матрица Ляпунова. В силу теоремы Еругина ( $§ 5$ ) периодическая система (3.15.1) приводима.
3амечание. Производя в уравнении (3.15.1) замену переменных
\[
\boldsymbol{x}=\Phi(t) \boldsymbol{y} \equiv X(t) e^{-\Delta t} \boldsymbol{y},
\]

получим
\[
\frac{d y}{d t}=\Lambda y \text {. }
\]

Таким образом, характеристические показатели $\lambda_{y}$ являются корнями векового уравнения матрицы системы (3.16.1).

Отсюда имеем следующие условия устойчивости периодической системы (ср. §8).

Теорема. 1) Линейная однородная периодичекая система $c$ непрерывной латрицей устойчива тогда и только тогда, когда все ее мультипликаторы р расположены внутри замкнутого единичного круга $|p| \leqslant 1$, причем мультипликаторы, лежащие на окружности $p \mid=1$, имеют простье элементарные делители, если их рассматривать как собственные значения соответствующей матриць монодромии.
2) Для асимптотической устойчивости периодической системы необходимо и достаточно, чтобы все мультипликаторы ее находились внутки единичного круга $\mid$ р $\mid<1$.

Действительно, так как характеристические показатели $\lambda_{j}$ связаны с мультипликаторами р; соотношениями (см. §15)
\[
\lambda_{j}=\frac{1}{\omega}\left(\ln \left|\rho_{j}\right|+i \operatorname{Arg} \rho_{j}\right),
\]

то при
\[
\left|p_{j}\right| \leqslant 1
\]

имеем $\lambda_{j} \leqslant 0$. Отсюда непосредственно вытекает наша теорема.
Для определения области асимптотической устойчивости выведем условия (см. [14]), обеспечивающие принадлежность корней полинома
\[
f(p) \equiv \operatorname{det}[p E-X(\omega)]
\]

единичному кругу $|\rho|<1$, предполагая, что матрица $X(\omega)$ действительная.
Рис. 21.
Нетрудно проверить, что дробно-линейное преобразование
\[
\rho=\frac{\lambda+1}{\lambda-1}
\]

единичный круг $|\rho|<1$ плоскости $\rho(\rho=\sigma+i \tau$ ) переводит в левую полуплоскость $\operatorname{Re} \lambda<0$ плсскости $\lambda$ (рис. $21, a$, б). Таким образом, уравнение (3.16.2) заменяется следующим:
\[
f\left(\frac{\lambda+1}{\lambda-1}\right)=0
\]

или
\[
F(\lambda)= \pm(\lambda-1)^{n} f\left(\frac{\lambda+1}{\lambda-1}\right),
\]

где полином $F(\lambda)$ должен быть полиномом Гурвица (гл. II, §9), причем знак в формуле (3.16.3) нужно выбрать так, чтобы полином $F($ i.) был стандартным, т. е. должно быть
\[
F(0)= \pm(-1)^{n} f(-1)>0 .
\]

Пример. При каком условии корни полинома

Рис. 22.
\[
f(z)=z^{2}+p z+q
\]
( $p$ и $q$ действительны) лежат внутри круга $|z|<1$ ?
Положим
\[
\begin{array}{l}
F(z)= \pm(z-1)^{2}\left[\left(\frac{z+1}{z-1}\right)^{2}+p \frac{z+1}{z-1}+q\right]= \\
= \pm\left[(z+1)^{2}+p\left(z^{2}-1\right)+q(z-1)^{2}\right]= \\
= \pm\left[(1+p+q) z^{2}+2(1-q) z+(1-p+q)\right] .
\end{array}
\]

Так как $F(z)$ должен быть нолиномом Гурвица, то отсюда нолучаем искомые условия:
\[
\left.\left.\begin{array}{rl}
1+p+q & >0, \\
1-q & >0, \\
1-p+q & >0,
\end{array}\right\} \text { или } \quad \begin{array}{rl}
1+p+q & <0, \\
1-q & <0, \\
1-p+q & <0 .
\end{array}\right\}
\]

Вторая система неравенств иротиворечива и, следовательно, окончательно имеем (рис. 22) $-1+|p|<q<1$.