Рассмотрим функцию
\[
V=V(t, x) \in C_{t x}\left(Z_{0}\right),
\]

где $Z_{0}=\{a<t<\infty,\|\boldsymbol{x}\|<h\}$.
Введем основные определения о знакопостоянных и знакоопределенных функциях (см. [13], [14]).

Определение 1. Действительная непрерывная скалярная функция $V(t, \boldsymbol{x})$ называется знакопостоянной (знакоположительной или знакоотрицательной) в $Z_{0}$, если
\[
V(t, x) \geqslant 0 \quad \text { (или } V(t, x) \leqslant 0)
\]

при $(t, \boldsymbol{x}) \in Z_{0}$.
Определение 2. Функция $V(t, \boldsymbol{x})$ называется положительно определенной (определенно положительной) в $Z_{0}$, если существует скалярная функция $W(x) \in C(\|x\|<h)$ такая, что
\[
\begin{array}{c}
V(t, \boldsymbol{x}) \geqslant W(x)>0 \quad \text { при }\|\boldsymbol{x}\|
eq 0, \\
V(t, 0)=W(0)=0 .
\end{array}
\]

Аналогично функция $V(t, \boldsymbol{x})$ называется отрицательно определенной (определенно отрицательной) в $Z_{0}$; если найдется $W(x) \in C(\|\boldsymbol{x}\|<h)$ такая, что
\[
V(t, x) \leqslant-W(\boldsymbol{x})<0 \text { при }\|\boldsymbol{x}\| 0
\]

и
\[
V(t, 0)=W(0)=0 .
\]

Положительно или отрицательно определенная функция называется знакоопределенной.
В качестве $W(\boldsymbol{x})$ иногда можно брать
\[
W(\boldsymbol{x})=\inf _{t}\lfloor V(t, \boldsymbol{x}) ! .
\]

В частности, $V=V(\boldsymbol{x})$ есть знакоопределенная функция, если $(-1)^{\sigma} V(\boldsymbol{x})>0$ при $\boldsymbol{x}
eq 0$ и $V(\mathbf{0})=0$, где для положительно определенной функции $\sigma=0$, а для отрицательно определенной функции $\sigma=1$.
Пример 1. В действительном пространстве $\mathscr{R}^{2}=O x y$ функция
\[
V=x^{2}+y^{2}-2 \alpha x y \cos t
\]

при $|\alpha|<1$ является положительно определенной, так как
$V(t, x, y) \geqslant x^{2}+y^{2}-2|\alpha:| x|| y \mid \geqslant$
\[
\geqslant(1-|\alpha|)\left(x^{2}+y^{5}\right) \equiv W(x, y)>0
\]

при $x^{2}+y^{2}>0 ; V=0$ при $x=y=0$.
При $|\alpha|=1$ функция $V$ аишь знакоположительна.

Рис. 29.
Нетрудно дать геометрическую иллюстрацию знакоопределенной функции $V(t, \boldsymbol{x})$. Пусть $V(t, \boldsymbol{x})$ – положительно опрелеленная функция такая, что
\[
V(t, \boldsymbol{x}) \geqslant W(\boldsymbol{x}),
\]

где $W(x)>0$ при $x
eq 0$ и $W(0)=0$. Предположим, что поверхности уровня
\[
W(x)=C \quad(C \geqslant 0)
\]

в пространстве $O x_{1}, \ldots, x_{n}$ представляют собой семейство непрерывных замкнутых поверхностей, окружающих начало координат $O$ и монотонно расширяющихся при росте параметра $C$ (рис. 29). Тогда, очевидио, каждая поверхность уровня
\[
V(t, x)=C_{1}
\]

для любого значения параметра $t$ будет целиком расположена внутри соответствующей поверхности $W(\boldsymbol{x})=C_{1}$.

Определение 3. Говорят: что функция $V(t, x)$ имеет бесконечно малый высший предел при $\boldsymbol{x} \rightarrow 0$ (см. [13], [14]), если при некотором $t_{0}>a$ имеем
\[
V(t, x) \rightarrow 0
\]

на $\left[t_{0}, \infty\right.$ ) при $x \rightarrow 0$, т. е. для любого $\varepsilon>0$ существует $\delta=\delta(\varepsilon)>0$ такое, что
\[
|V(t, x)|<\varepsilon
\]

ири $\|\boldsymbol{x}\|<$ н и $t \in\left[t_{0}, \infty\right)$.
В силу неравенства (4.2.3) заключаем, что функция $V(t, x)$, допускающая бесконечно малый высший предел при $\boldsymbol{x} \rightarrow \mathbf{0}$, ограничена в некотором полуцилиндре
\[
t_{0} \leqslant t<\infty, \quad\|\boldsymbol{x}\| h .
\]

Отметим, что если $V(\boldsymbol{x})$ – непрерывная функция, не зависяцая от времени $t$ и такая, что $V(0)=0$, то, очевидно, $V(\boldsymbol{x})$ допускает бесконечно малый высший предел при $\boldsymbol{x} \rightarrow \mathbf{0}$.

Пример 2. Функция (4.2.2) при $|\alpha|<1$ допускает бесконечно малый высший предел, когда
\[
r=\sqrt{x^{4}+y^{2}} \rightarrow 0 .
\]

Функция
\[
V=\sin ^{2}\left[t\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}\right)\right]
\]

пе донускает бесконечно малого высшего предела при $\|x\|=$ $=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}} \rightarrow 0$, несмотря на то, что эта функция ограничена и $V \rightarrow 0$ при $\boldsymbol{x} \| \mathbf{0}$.