Рассмотрим скалярное дифференциальное уравнение
\[
\ddot{z}+a(t) \dot{z}+b(t) z=0,
\]

где $a(t) \in C^{1}(-\infty,+\infty), \quad b(t) \in C(-\infty,+\infty)$ и
\[
a(t+\omega) \equiv a(t), \quad b(t+\omega) \equiv b(t) \quad(\omega>0) .
\]

Полагая
\[
z=e^{-\frac{1}{2} \int_{0}^{t} a(s) d s} x
\]

будем иметь
\[
\ddot{x}+p(i) x=0,
\]

где
\[
p(t)=b(t)-\frac{a^{2}(t)}{.4}-\frac{\dot{a}(t)}{2} \in C(-\infty,+\infty)
\]

и
\[
p(t+\omega) \equiv p(t) .
\]

Для исследования устойчнвости приведенного уравнения (3.19.1) заменим его эквивалентной системой
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=y, \\
\frac{d y}{d t}=-p(t) x,
\end{array}\right\}
\]

матрица которой есть
\[
P(t)=\left[\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-p(t) & 0
\end{array}\right] .
\]

Заметим, что
\[
\mathrm{Sp} P(t)=0 \text {. }
\]

Будем говорить, что уравнение (3.19.1) устойниео или неустойчиво, если устойчива или, соответственно, неустойчива система (3.19.2). Таким образом, все решения $x(t)$ устойчивого уравнения (3.19.1) ограничены на $\left[t_{0}, \infty\right)$ вместе с их производными $\dot{x}(t)$.

Из теории Флоке следует (см. $\S 17$, пример), что если решение $x(t)$ уравнения (3.19.1) ограничено на $\left[t_{0}, \infty\right)$, то его производная $\dot{x}(t)$ также ограничена на $\left[t_{0}, \infty\right)$. Таким образом, уравнение (3.19.1) неустойчиво только в том случае, если оно имеет неограниченные на $\left[t_{0}, \infty\right)$ решения.
Построим фундаментальную матрицу решений
\[
X(t)=\left[\begin{array}{ll}
\varphi(t) & \psi(t) \\
\dot{\varphi}(t) & \psi(t)
\end{array}\right],
\]

где $\varphi(t)$ и $\psi(t)$ – линейно независимые решения уравнения (3.19.1), удовлетворяющие начальным условиям:
\[
\varphi(0)=1, \quad \dot{\varphi}(0)=0
\]

и
\[
\psi(0)=0, \quad \psi(0)=1 .
\]

Следуя Ляпунову, решения $о(t)$ и $\psi(t)$ можно получить в виде сходящихся рядов. Действительно, вводя в уравнение (3.19.1) числовой параметр $\mu$ (см. [13]), будем иметь
\[
\ddot{x}=\mu p(t) x,
\]

где в окончательном результате следует положить $\mu=-1$. Пусть решение уравнения (3.19.5) имеет вид
\[
\varphi(t, \mu)=\sum_{k=0}^{\infty} \varphi_{k}(t) \mu^{k} .
\]

Подставляя это выражение в дифференциальное уравнение (3.19.3) и предполагая возможность двукратного почленного дифференцирования, получим
\[
\sum_{k=0}^{\infty} \ddot{\varphi}_{k}(t) \mu^{k} \equiv \sum_{k=0}^{\infty} p(t) \varphi_{k}(t) \mu^{k+1} .
\]

Отсюда
\[
\ddot{\varphi}_{0}(t)=0
\]

и
\[
\ddot{\varphi}_{k}(t)=p(t) \varphi_{k-1}(t) \quad(k=1,2, \ldots) .
\]

Введем начальные условия:
\[
\varphi_{0}(0)=1, \quad \dot{\varphi}_{0}(0)=0
\]

и
\[
\varphi_{k}(0)=\dot{\varphi}_{k}(0)=0 \quad \text { при } \quad k \geqslant 1 \text {; }
\]

тогда начальные условия (3.19.3) для функции $\varphi(t)=\varphi(t,-1)$ на основании (3.19.6), очевидно, будут выполнены. Из уравнений (3.19.7) и (3.19.8) находим
\[
\varphi_{0}(t)=1
\]
n
\[
\varphi_{k}(t)=\int_{0}^{t} d t_{1} \int_{0}^{t_{1}} p\left(t_{z}\right) \varphi_{k-1}\left(t_{2}\right) d t_{2} \quad(k \geqslant 1) .
\]

Последний интеграл можно заменить однократным. Действительно, меняя порядок интегрирования в этом интеграле, будем иметь
\[
\begin{aligned}
\varphi_{k}(t)=\int_{0}^{t} d t_{2} \int_{t_{2}}^{t} p\left(t_{2}\right) \varphi_{k-1}\left(t_{2}\right) d t_{1} & =\int_{0}^{t}\left(t-t_{2}\right) p\left(t_{2}\right) \varphi_{k-1}\left(t_{2}\right) d t_{2}= \\
& =\int_{0}^{t}\left(t-t_{1}\right) p\left(t_{1}\right) \varphi_{h-1}\left(t_{1}\right) d t_{1} .
\end{aligned}
\]

Итак,
\[
\begin{aligned}
\varphi(t, \mu)=1 & +\mu \int_{0}^{t}\left(t-t_{1}\right) p\left(t_{1}\right) d t_{1}+ \\
& +\mu^{2} \int_{0}^{t}\left(t-t_{1}\right) p\left(t_{1}\right) d t_{1} \int_{0}^{i_{1}}\left(t_{1}-t_{2}\right) p\left(t_{2}\right) d t_{2}+\cdots
\end{aligned}
\]

Исследуем сходимость ряда (3.19.10). Пусть
\[
|\dot{p}(t)| \leqslant M \text { при }-\infty<t<+\infty .
\]

На основании формулы (3.19.9), учитывая, что $\varphi_{0}(t)=1$ при любом $t \in(-\infty,+\infty)$, последовательно имеем
\[
\begin{array}{l}
\left|\varphi_{1}(t)\right| \leqslant \int_{0}^{t}\left|t-t_{1}\right| M\left|d t_{1}\right|=\frac{M t^{2}}{2 !} \\
\left|\varphi_{2}(t)\right| \leqslant \int_{0}^{t}\left|t-t_{1}\right| M \cdot \frac{M t_{1}^{2}}{2 !}\left|d t_{1}\right|=\frac{M^{2}}{2 !}\left(\frac{t^{4}}{3}-\frac{t^{4}}{4}\right)=\frac{M^{2} t^{4}}{4 !}
\end{array}
\]

и т. д.

Таким образом, функциональный ряд (3.19.10) мажорируется рядом
\[
1+|\mu| \cdot \frac{M t^{2}}{2 !}+|\mu|^{2} \cdot \frac{M^{2} t^{4}}{4 !}+\ldots=\operatorname{ch}(t \sqrt{M|\mu|}),
\]

который сходится для любой системы значений ( $\mu, t$ ). В слу признака Вейерштрасса ряд (3.19.10) сходится абсолютно и равномерно в любой конечной области $G\left\{|\mu|<\mu_{0},|t|<T\right\}$. Легко также убедиться, что ряды, полученные в результате почленного дифференцирования ряда (3.19.10) по переменной $t$, также абсолютно и равномерно сходятся в любой конечной области $G$. Следовательно, сумма $\varphi(t ; \mu)$ ряда (3.19.10) представляет собой решение дифференциального уравнения (3.19.5).
Полагая $\mu=-1$, получим окончательно
\[
\begin{array}{c}
\varphi(t)=1-\int_{0}^{t}\left(t-t_{1}\right) p\left(t_{1}\right) d t_{1}+\int_{0}^{t}\left(t-t_{1}\right) p\left(t_{1}\right) d t_{1} \int_{0}^{t_{1}}\left(t_{1}-t_{2}\right) p\left(t_{2}\right) d t_{2}+\ldots \\
(-\infty<t<+\infty) .
\end{array}
\]

Аналогично для дифференциального уравнения (3.19.5) строится второе решение
\[
\psi(t, \mu)=\sum_{k=0}^{\infty} \psi_{k}(t) \mu^{k},
\]

где
\[
\psi_{0}(t)=t
\]

и
\[
\psi_{k}(t)=\int_{0}^{t}\left(t-t_{1}\right) p\left(t_{1}\right) \psi_{k-1}\left(t_{1}\right) d t_{1} \quad(k \geqslant 1) .
\]

Отсюда
\[
\begin{aligned}
\psi(t, \mu)=t+\mu \int_{0}^{t}\left(t-t_{1}\right) & t_{1} p\left(t_{1}\right) d t_{1}+ \\
& +\mu^{2} \int_{0}^{t}\left(t-t_{1}\right) p\left(t_{1}\right) d t_{1} \int_{0}^{t_{1}}\left(t_{1}-t_{2}\right) t_{2} p\left(t_{2}\right) d t_{2}+\ldots
\end{aligned}
\]

и, следовательно,
\[
\begin{array}{l}
\psi(t)=t-\int_{0}^{t}\left(t-t_{1}\right) t_{1} p\left(t_{1}\right) d t_{1}+ \\
+\int_{0}^{t}\left(t-t_{1}\right) p\left(t_{1}\right) d t_{1} \int_{0}^{t_{1}}\left(t_{1}-t_{2}\right) t_{2} p\left(t_{2}\right) d t_{2}+\ldots \quad(-\infty<t<+\infty) .
\end{array}
\]

Характеристическое уравнение имеет вид
\[
\operatorname{det}[X(\omega)-\rho E] \equiv\left|\begin{array}{cc}
\varphi(\omega)-\rho & \psi(\omega) \\
\dot{\varphi}(\omega) & \dot{\psi}(\omega)-p
\end{array}\right|=0 .
\]

Отсюда, учитывая, ‘что
\[
\operatorname{det} X(\omega)=\operatorname{det} X(0) e^{\int_{0}^{\omega} \operatorname{sp} P(t) d t}=1,
\]

получим
\[
\rho^{2}-a p+1=0,
\]

где
\[
a=\varphi(\omega)+\dot{\psi}(\omega)=\mathrm{Sp} X(\omega)
\]
– так называемая константа Ляпунова. Из формулы (3.19.12) имеем
\[
\dot{\psi}(t)=1-\int_{0}^{t} t_{1} p\left(t_{1}\right) d t_{1}+\int_{0}^{t} p\left(t_{1}\right) d t_{1} \int_{0}^{t_{1}}\left(t_{1}-t_{2}\right) t_{2} p\left(t_{3}\right) d t_{2}+\ldots
\]

Поэтому для константы Ляпунова $a$ получаем выражение
\[
\begin{array}{l}
a=2-\omega \int_{0}^{\omega} p\left(t_{1}\right) d t_{1}+\int_{0}^{\omega} d t_{1} \int_{0}^{t_{1}} d t_{2}\left(\omega-t_{1}+t_{2}\right)\left(t_{1}-t_{2}\right) p\left(t_{1}\right) p\left(t_{2}\right)- \\
-\int_{0}^{\omega} d t_{1} \int_{0}^{t_{1}} d t_{2} \int_{0}^{t_{2}} d t_{3}\left(\omega-t_{1}+t_{3}\right)\left(t_{1}-t_{2}\right)\left(t_{2} \longrightarrow t_{3}\right) p\left(t_{1}\right) p\left(t_{2}\right) p\left(t_{3}\right)+\ldots
\end{array}
\]

Будем предполагать, что коэффициент $p(t)$ веществен; тогда константа $a$ также вещественная. Из уравнения (3.19.13) имеем
\[
\rho_{1,2}=\frac{1}{2}\left(\dot{a} \pm \sqrt{a^{2}-4}\right) .
\]

Возможны три случая: 1$)|a|>2$; 2) $a \mid<2$ и 3) $|a|=2$.

Если $|a|>2$, то характеристическое уравнение (3.19.13) имеет два действительных корня $p_{1}$ и $p_{3}$, из которых один по модулю меньше единицы, а дру-
гой – болыне. Таким образом, иультипликатор $\rho_{1}$ лежит внутри единичного круга $|\rho|<1\left(\rho_{1} \mid<1\right)$, а мультипликатор $p_{2}$ – вне этого круга ( $\left.\left|\rho_{3}\right|>1\right)$ (рис. 23). Следовательно, уравнение (3.19.1) неустойчиво.

Если $|a|<2$, то корни $p_{1}$ и $p_{2}$ характеристического уравнения комплекснө-сопряжены и их модули равны 1 , причем $\rho_{1}
eq \rho_{2}$. Следовательно, мультипликаторы $p_{1}$ и $p_{2}$ расположены на окружности $|p|=1$ и не совпадают между собой (рис. 24). В силу теоремы из $\S 16$ уравнение (3.19.1) устойчиво, т. е. все решения его ограничены.
Случай $|a| \equiv 2$, когда $p_{1}=\rho_{2}$, требует более детального рассмотрения.
Отсюда на основании формулы (3.19.15) имеем следующий признак неустойчивости уравнения (3.19.1).
Теорема 1. Если непрерывный периодический коэффициент $p(t)$ может принимать лишь отрицательные или нулевые значения, не будучи тождественно равным нулю, то линеинное уравнение (3.19.1) неустойчиво, причем мультипликаторы положительны и один из них больше единиць, а другой – меньше.
Действительно, так как
\[
\int_{0}^{\infty} p\left(t_{1}\right) d t_{1}<0
\]

и
\[
\begin{array}{c}
(-1)^{n} \int_{0}^{\omega} d t_{1} \int_{0}^{t_{1}} d t_{2} \ldots \int_{0}^{t_{n-1}} d t_{n}\left(\omega-t_{1}+t_{n}\right)\left(t_{1}-t_{3}\right) \ldots \\
\ldots\left(t_{n-1}-t_{n}\right) p\left(t_{1}\right) \ldots p\left(t_{n}\right) \geqslant 0 \quad(n=1,2, \ldots),
\end{array}
\]

то из формулы (3.19.15) имеем
\[
a>2 .
\]

Рассмотрим теперь случай неотрицательного коэффициента $p(t) \geqslant 0$ в уравнении (3.19.1).

Теорема 2 (Интегральный признак устойчивости Ляпунова). Если непрерывная $\omega$-периодическая функция $p(t)$ может принимать лишь положительные или нулевые значения, не будучи тождественно равной нулю, и выполнено неравенство
\[
0<\omega \int_{0}^{\omega} p(t) d t \leqslant 4,
\]

то все решения $x(t)$ уравнения (3.19.1) ограничены вместе с их производными первого порядка на ( $-\infty,+\infty$, т. е. уравнение (3.19.1) устойчиво.

Доказательство. На основании формулы (3.19.15) для константы Ляпунова имеем следующее выражение:
\[
a=2-I_{2}+I_{3}+\ldots+(-1)^{k-1} I_{k}+\ldots,
\]

где
\[
I_{1}=\omega \int_{0}^{D} p\left(t_{1}\right) d t_{1}
\]

и
\[
\begin{array}{l}
I_{k}=\int_{0}^{\omega} d t_{1} \int_{0}^{t_{1}} d t_{2} \ldots \int_{0}^{t_{k-1}} d t_{k} \cdot\left(\omega-t_{1}+t_{k}\right)\left(t_{1}-t_{\mathrm{z}}\right) \ldots \\
\ldots\left(t_{k-1}-t_{k}\right) p\left(t_{1}\right) \ldots p\left(t_{k}\right)>0 \quad(k=1,2, \ldots) .
\end{array}
\]

Имеем
\[
\begin{aligned}
I_{k+1}=\int_{0}^{\omega} d t_{1} \int_{0}^{t_{1}} d t_{2} \ldots \int_{0}^{t_{k-1}} d t_{k}\left(t_{1}-t_{2}\right) \ldots\left(t_{k-1}-t_{k}\right) p\left(t_{1}\right) \ldots \\
\ldots p\left(t_{k}\right) \int_{0}^{t_{k}}\left(\omega-t_{1}+t_{k+1}\right)\left(t_{k}-t_{k+1}\right) p\left(t_{k+1}\right) d t_{k+1} .
\end{aligned}
\]

Используя очевидное неравенство
\[
x y \leqslant\left(\frac{x+y}{2}\right)^{2},
\]

получим
\[
\begin{array}{c}
\left(\omega-t_{1}+t_{k+1}\right)\left(t_{k}-t_{k+1}\right) \leqslant \frac{1}{4}\left(\omega-t_{1}+t_{k}\right)^{2}<\frac{\omega}{4}\left(\omega-t_{1}+t_{k}\right) \\
\text { при } 0 \leqslant t_{k}<t_{i} .
\end{array}
\]

Таким образом,
\[
\begin{array}{r}
I_{k+1}<\frac{\omega}{4} \int_{0}^{\omega} d t_{1} \int_{0}^{t_{1}} d t_{2} \ldots \int_{0}^{t_{k-1}} d t_{k} \cdot\left(\omega-t_{1}+t_{k}\right)\left(t_{1}-t_{2}\right) \ldots\left(t_{k-1}-t_{k}\right) \cdot p\left(t_{1}\right) \ldots \\
\ldots p\left(t_{k}\right) \int_{0}^{t_{k}} p\left(t_{k+1}\right) d t_{k+1}<\frac{\omega}{4} \int_{-}^{\infty} p(t) d t \cdot I_{k} \quad(k=1,2, \ldots) .
\end{array}
\]

Отсюда в силу условия (3.19.16) находим
\[
I_{1}>I_{2}>I_{3}>\ldots .
\]

Из сходимости ряда (3.19.17) вытекает
\[
\lim _{k \rightarrow \infty} I_{k}=0 \text {. }
\]

Следовательно, ряд (3.19.17) представляет собой ряд Јейбница и, значит, справедливы оценки $2-\omega \int_{0}^{\omega} p(t) d t<a<2$, или в силу неравенства (3.19.16)
\[
-2<a<2 .
\]

Отсюда в силу уравнения (3.19.13) мультипликаторы $p_{1}$ и $\rho_{2}$ комплексно-сопряженные, причем $\left|p_{1}\right|=\left|p_{2}\right|=1, p_{1}
eq p_{2}$. Значит, уравнение (3.19.1) устойчиво и каждое решение его $x(t)$ ограничено вместе с производной $\dot{x}(t)$.

Следствие. Если линейное дифференциальное уравнение (3.19.1) с непрерывным положительным ш-периодическим коэффициентом $p(t)$ имеет неограниченное решение, то выполнено неравенство
\[
\omega \int_{0}^{\omega} p(t) d t>4 .
\]

Замечание. Изложенная выше теория Ляпунова об устойчивости приведенного дифференциального уравнения (3.19.1) остается в силе, если его $\omega$-периодический коэффициент $p(t)$ ограничен при $0 \leqslant t \leqslant \omega$ и является кусочно-непрерывным на $[0, \omega]$.

Действительно, в этом случае решения $\varphi(t)$ и $\psi(t)$, определяемые начальными условиями (3.19.3) и (3.19.4), также изображаются функциональными рядами (3.19.11) и (3.19.12), сходящимися на $(-\infty,+\infty)$ и допускающими почленное дифференцирование. Сходимость всех этих рядов, как следует из несложных оценок их членов, равномерна на любом конечном интервале $(a, b) \subset(-\infty,+\infty)$. Следовательно, $\varphi(t)$ и $\psi(t)$ суть функции класса $C^{1}(-\infty,+\infty)$, удовлетворяющие дифференциальному уравнению (3.19.1) всюду, за исключением, быть может, точек разрыва коэффициента $p(t)$, число которых конечно на каждом промежутке $[k \omega,(k+1) \omega](k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots)$, т. е. $\varphi(t)$ и $\psi(t)$ являются обобщенными решениями (см. § 18) уравнения (3.19.1). Иначе говоря, $\varphi(t)$ и $\psi(t)$ суть решения дифференциального уравнения (3.19.1), записанного в интегральной форме:
\[
\dot{x}(t)=\dot{x}(0)-\int_{0}^{t} p(\tau) x(\tau) d \tau .
\]

Так как
\[
\operatorname{det} X(t)=\left|\begin{array}{ll}
\varphi(t) & \psi(t) \\
\dot{\psi}(t) & \dot{\psi}(t)
\end{array}\right|=1
\]

при $t \in(-\infty,+\infty)$, то $\varphi(t)$ и $\psi(t)$ представляют собой фундаментальную систему решений дифференциального уравнения (3.19.1) на каждом интервале непрерывности его коэффициента $p(t)$. Отсюда, используя непрерывность функций $\varphi(t), \psi(t), \dot{\varphi}(t), \dot{\psi}(t)$ и переходя к пределам, получаем, что $(t)$ и $\psi(t)$ образуют фундаментальную Тем самым константа Ляпунова а имеет выражение (3.19.15) и приведенные выше признаки неустойчивости и устойчивости ураг1ения вида (3.19.1) полностью переносятся на наш случай.
Пример 1. Рассмотрим уравнение Матье
\[
\begin{array}{c}
\ddot{x}+(\alpha+\beta \cos t) x=0 \\
(\alpha>0, \quad|\beta| \leqslant \alpha) .
\end{array}
\]

Здесь
\[
p(t)=\alpha+\beta \cos t \quad \text { и } \omega=2 \pi .
\]

Следовательно,
\[
\omega \int_{0}^{\omega} p(t) d t=2 \pi \int_{0}^{2 \pi}(\alpha+\beta \cos t) d t=4 \pi^{2} \alpha .
\]

Отсюда в силу признажа Ляпунова область устойчивости (рис. 25) характеризуется неравенствами
\[
|\beta| \leqslant \alpha \text { и } 0<\alpha \leqslant \frac{1}{\pi^{2}} .
\]

Рис. 25.
Более подробно этот вопрос разобран у Стокера (см. [31]), где построена область устойчивости, полученная численным методом.

Отметим, что наличие неравенства $0<\alpha^{2} \leqslant p(t) \leqslant \beta^{2}<\infty$, где $\alpha$ и $\beta$ – положительные постоянные, не гарантирует огранйченности решений уравнения (3.19.1).
Пример 2. Пусть.

где
\[
\ddot{x}+p(t) x=0,
\]
\[
p(t)=\left\{\begin{array}{c}
\alpha^{2} \text { гри } 0<t<c, \\
\beta^{2} \text { при } c<t<\omega \\
(\alpha>0, \beta>0)
\end{array}\right.
\]

и $p(t+\omega)=p(t)$ (рис. 26). Под решениями $x=x(t)$ дифференциального ґравнения (3.19.19) будем нонимать функции класса $C^{1}(-\infty,+\infty)$, удов-
Рис. 26.

летворяющие этому уравнению всюду, за исключениям, бъть может, точек разрыва $k \omega, k \omega+c(k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots)$ коэффициента $p(t)$.

Заменим уравнение (3.19.19) системой
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=y \\
\frac{d y}{d t}=-p(t) x
\end{array}\right\}
\]

и пусть $X(t)$-нормированная фундаментальная матрица такая, что $X(0)=E$, На основани (3.19.20), используя прием, примененный в $\$ 18$, имеем
\[
X(t)=\left[\begin{array}{cc}
\cos \alpha t & \frac{1}{a} \sin \alpha t \\
-\alpha \sin \alpha t & \cos \alpha t
\end{array}\right] \quad \text { при } 0 \leqslant t \leqslant c
\]

и
\[
X(t)=\left[\begin{array}{cr}
A \cos \beta(t-c)+B \sin \beta(t-c) & C \cos \beta(t-c)+D \sin \beta(t-c) \\
-A \beta \sin \beta(t-c)+B \beta \cos \beta(t-c) & -C \beta \sin \beta(t-c)+B \beta \cos \beta(t-c)
\end{array}\right]
\]

Огсюда из требования непрерывности при $t=c$ матрицы $X(t)$ находим
\[
\begin{array}{ll}
A=\cos \alpha c, & B=-\frac{\alpha}{\beta} \sin \alpha c, \\
C=\frac{1}{\alpha} \sin \alpha c, & D=\frac{1}{\beta} \cos \alpha c .
\end{array}
\]

Таким образом, матрица монодромии имеет вид
\[
\begin{array}{l}
X(\omega)=\left[\begin{array}{l}
\cos \alpha c \cos \beta(\omega-c)-\frac{\alpha}{\beta} \sin \alpha c \sin \beta(\omega-c) \\
-\beta \cos \alpha c \sin \beta(\omega-c)-\alpha \sin \alpha c \cos \beta(\omega-c)
\end{array}\right. \\
\frac{1}{\alpha} \sin \alpha c \cos \beta(\omega-c)+\frac{1}{\beta} \cos \alpha c \sin \beta(\omega-c) \\
-\frac{\beta}{\alpha} \sin \alpha c \sin \beta(\omega-c)+\cos \alpha c \cos \beta(\omega-c) \\
\end{array}
\]

Следовательно, константа Ляпунова для уравнения (3.19.19) есть
\[
a=\operatorname{Sp} X(\omega)=2 \cos \alpha c \cos \beta(\omega-c)-\frac{\alpha^{2}+\beta^{2}}{\alpha \beta} \sin \alpha c \sin \beta(\omega-c) .
\]

Очевидно,
\[
\left|\frac{\alpha^{2}+\beta^{2}}{\alpha \beta}\right| \geqslant 2 \text {. }
\]

Отсюда следует, что уравнение (3.19.19), коэффициент которого $p(t)$ положителен, может быть как устойчивым, так и юеустойчивым. Полагая, например, $\alpha=\frac{\pi}{2 c}$ и $\beta=\frac{\pi}{\omega-c}, \quad$ будем иметь $a=0$ и, следовательно, уравнение (3.19.19) устойчиво. Если же $\alpha=\frac{\pi}{2 c}$ и $\beta=\frac{3 \pi}{2(\omega-c)}$, то при $c
eq \frac{\omega}{4}$, 1. е. при $\alpha
eq 3$, получим
\[
a=\frac{\alpha^{2}+\beta^{2}}{\alpha \beta}=2+\frac{(\alpha-\beta)^{2}}{\alpha \beta}>2,
\]
11, таким образом, уравнение (3.19.19) неустойчиво.
Замечание. Н. Е. Жуковский доказал, что постоянную- 4 в признаке Ляпунова (3.19.16) нельзя заменить большей, т. е. в этом смысле она является наилучшей. Приведем простой пример системы вида (3.19.1) с кусочно-постоянным коэффициентом, иллюстрирующий это обстоятельство, идея которого принадлежит Н. П. Купцову.

Пример 3. Пусть б-произвольно малое положительное число $(0<\hat{0}<1)$. В $ю$-периодическом уравнении
\[
\ddot{x}+p(t) x=0
\]

нодожим
\[
p(t)=\alpha^{2}=\frac{4}{\omega i} \text { при } 0<t<c
\]

II
\[
p(t)=\beta^{2}=\frac{\delta}{\omega(\omega-c)} \text { при } c<t<\omega .
\]

Очевидно, имеем
\[
\omega \int_{0}^{\omega} p(t) d t=\omega\left[\int_{0}^{c} \frac{4}{\omega c} d t+\int_{c}^{\omega} \frac{\delta}{\omega(\omega-c)} d t\right]=4+\delta .
\]

Покажем, что при достаточно малом $\delta$ и надлежащем выборе параметра $c$ уравнение (3.19.22) неустойчиво. Для этого достаточно убедиться, что соответствующая константа Ляпунова $a$ [cм. (3.19.21)] удовлетворяет неравенству a $\mid>2$.
Действительно, положим
\[
c=\frac{\omega}{16} \delta .
\]

Тогда
\[
x=\frac{2}{\sqrt{\omega c}}=\frac{8}{\omega \sqrt{\delta}}, \quad \beta=\sqrt{\frac{\delta}{\omega(\omega-c)}}=\frac{\sqrt{\delta}}{\omega \sqrt{1-\frac{\delta}{16}}}
\]

и, следовательно,
\[
\alpha c=\frac{1}{2} \sqrt{\delta}, \quad \beta(\omega-c)=\sqrt{\delta} \sqrt{1-\frac{\delta}{16}} .
\]

отсюда
\[
\begin{aligned}
\frac{\alpha^{2}+\beta^{2}}{\alpha \beta}=\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\frac{8}{\delta}\left(1-\frac{\delta}{16}\right)^{\frac{1}{2}}+\frac{\delta}{8}\left(1-\frac{\delta}{16}\right)^{-\frac{1}{2}} & = \\
& =\frac{8}{\delta}\left[1-\frac{\delta}{32}+o(\delta)\right] \text { при } \delta \rightarrow 0 .
\end{aligned}
\]

Использя известные асимптотические разложсния тригонометрических функций:
\[
\cos x=1-\frac{x^{2}}{2}+o\left(x^{2}\right), \quad \sin x=x\left(1-\frac{x^{2}}{6}\right)+o\left(x^{3}\right) \text { при } x \rightarrow 0,
\]

на основании формуды (3.19.21) для константы Ляпунова а получаем следующее выражение:
\[
\begin{array}{l}
a=2 \cos \alpha c \cos \beta(\omega-c)-\frac{\alpha^{2}+\beta^{2}}{\alpha \beta} \sin \alpha c \sin \beta(\omega-c)= \\
=2\left(1-\frac{\delta}{8}\right)\left(1-\frac{\delta}{2}\right)-\frac{8}{\delta}\left(1-\frac{\delta}{32}\right) \cdot \frac{\sqrt{\delta}}{2}\left(1-\frac{\delta}{24}\right) \cdot \sqrt{\delta}\left(1-\frac{\delta}{32}\right)\left(1-\frac{\delta}{6}\right)+ \\
\quad+o(\delta)=-2-\frac{\delta}{6}+o(\delta) \text { при } \delta \rightarrow 0 .
\end{array}
\]

Следовательно, при достаточно малом положительном $\delta$ выполнено неравенство $a<-2$, и таким образом, уравнение (3.19.22) является неустойчивым.