1. Пусть
\[
\frac{d x_{\omega}}{d t}=A_{\omega}(t) x_{\omega}
\]
дел
\[
A=\lim _{\omega \rightarrow+0} \frac{1}{\omega} \int_{0}^{\omega} A_{\omega}(t) d t .
\]

Тогда характеристические показатели $\lambda_{j}(\omega)(j=1, \ldots, n)$ системы (*) при надлежащем выборе их мнимых частей имеют пределы:
\[
\mu_{j}=\lim _{\omega \rightarrow+0} \lambda_{j}(\omega) \quad(j=1, \ldots, n),
\]

где $\mu_{j}=\mu_{j}(A)$ – характеристические корни предельной матрицы $A$ (см. [63], [64]).

2. Вывести асимптотические формулы для решений уравнения
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=p(t) x,
\]

где $p(t) \in C^{1}\left[t_{0}, \infty\right) \quad \dot{p}(t) \in L\left[t_{0}, \infty\right)$, причем $\quad p(t)>0, \quad p(\infty)=a^{2}>0$ (см. $[60]$ ).
3. Пусть
\[
\frac{d x}{d t}=P(t) x
\]
$\left(x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right.$ и $\left.P(t)=\left[p_{j k}(t)\right]\right)$ – правильная треугольная система $\left(p_{j k}(k)=0\right.$ при $k>j$ ) с непрерывной ограниченной на $I_{t}$ матрицей $P(t)$, прнчем
\[
\alpha_{i}=\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \int_{0}^{t} p_{j j}\left(t_{1}\right) d t_{1}
eq 0 \quad(j=1, \ldots, n) .
\]

Доказать, что в таком случае несднородная система
\[
\frac{d y}{d t}=P(t) y+f(t)
\]

где $\boldsymbol{f}(t) \in C\left(I_{t}\right)$ и $\sup _{t}\|\boldsymbol{f}(t)\|<\infty$, имеет единственное ограниченное на $I_{t}$ решение.
4. Пусть $P(t)=\left[p_{j k}(t)\right] \in C\left(I_{t}^{+}\right)$и $\sup _{t}\|P(t)\|<\infty$. Говорят, что система
\[
\frac{d x}{d t}=P(t) x
\]

удовлетворяет условиям Перрона [29], если для любой непрерывной и ограниченной на $I_{t}^{t}$ вектор-функции $f(t)$ соответствующая неоднородная система
\[
\frac{d y}{d t}=P(t) y+f(t)
\]

имеет решение $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}(t), \boldsymbol{y}\left(t_{0}\right)=0$, ограниченное на $I_{t}^{\dagger}=\left[t_{0} \leqslant t<\infty\right)$.
Доказать (см. [65]), что система (\$4) удовлетворяет условиям Перрона тогда и только тогда, когда для ее матрицы Коши $K(t, \tau)=X(t) X^{-1}(\tau)$ справедлива оценка:
\[
\|K(t, \tau)\| \leqslant a e^{-a(t-\tau)} \quad\left(t_{0} \leqslant \tau \leqslant t\right),
\]

где $a$ и $\alpha$-некоторые положительные постоянные.