Имеются многочисленные работы (см. [16]), посвященные обращению теорем Ляпунова, т. е. выяснению необходимости условий этих теорем. Мы изложим здесь один старый результат в этой области, принадлежащий К. П. Персидскому (см. [43]).
Теорема Персидского. Пусть приведенная система
\[
\frac{d x}{d t}=X(t, \boldsymbol{x})(\boldsymbol{X}(t, 0) \equiv 0),
\]

где
\[
\boldsymbol{X} \in C_{t \boldsymbol{x}}^{(1,1)} \quad\left(t_{0} \leqslant t<-\infty, \quad\|\boldsymbol{x}\|<H<\infty\right),
\]

допускает тривиальное решение $\boldsymbol{\xi}=\mathbf{0}$, устойчивое по Ляпунову nри $t \rightarrow+\infty$. Тогда для системь (а) в области
\[
t_{0} \leqslant t<+\infty,\|x\|<h<H
\]

существует функция Ляпунова $V(t, \boldsymbol{x}) \in C_{t x}^{1,1,1} \quad$ 1-го рода, т. е. удовлетворяющая условиям первой теоремь Ляпунова об устойчивости.
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную систему
\[
\frac{d y}{d t}=Y(t, y),
\]

где $\boldsymbol{Y}(t, \boldsymbol{y})=\boldsymbol{X}(t, \boldsymbol{y}) \varphi(\boldsymbol{y})$, причем $\varphi(\boldsymbol{y}) \in C^{1}\left(\mathscr{R}_{\boldsymbol{y}}^{n}\right)$ – скалярная функция, удовлетворяющая условиям:
\[
\varphi(\boldsymbol{y})=\left\{\begin{array}{lll}
1 & \text { при } & \|\boldsymbol{y}\| \leqslant h, \\
0 & \text { при } & \|\boldsymbol{y}\| \geqslant H .
\end{array}\right.
\]

Пусть $\boldsymbol{x}\left(t ; t_{0}, \boldsymbol{x}_{0}\right)$ и $\boldsymbol{y}\left(t ; t_{0}, \boldsymbol{y}_{0}\right)$ – решения, соответственно, систем (a) и (b), определяемые начальными условиями: $\boldsymbol{x}\left(t_{0} ; t_{0}, \boldsymbol{x}_{0}\right)=\boldsymbol{x}_{0}$ и $\boldsymbol{y}\left(t_{0} ; t_{0}, y_{0}\right)=\boldsymbol{y}_{0}$.

Из условий (4.9.1) вытекает, что решения $y\left(t ; t_{0}, \boldsymbol{y}_{0}\right)$ можно считать определенными на полуоси $t_{0} \leqslant t \leqslant \infty$ и обладающими свойством единственности.
Фиксируя $t_{0}$, рассмотрим функцию
\[
\begin{array}{c}
V(t, x)=\left(1+e^{-t}\right)\left\|\boldsymbol{y}\left(t_{0} ; t, \boldsymbol{x}\right)\right\|^{2} \\
\left(t \geqslant t_{0}, \quad\|\boldsymbol{x}\|<H\right),
\end{array}
\]

где норма вектора $\boldsymbol{y}=\left(y_{1}, \ldots, y_{i}\right)$ понимается в смысле евклидовой нормы:
\[
\|y\|^{2}=(y, y)=\sum_{j} y_{j} .
\]

Пусть $t \geqslant t_{0}$ и $\|\boldsymbol{x}\|<h$. Тогда на основании условия (4.9.1) правые части систем (a) и (b) совпадают и, следовательно, для полных производных функции $V(t, \boldsymbol{x})$ в силу систем (a) и (b) имеем
\[
\begin{aligned}
\dot{V}_{\mathrm{a}}(t, \boldsymbol{x})=V_{\mathrm{b}}(t, \boldsymbol{x}) & = \\
& =\left\{\frac{d}{d \tau}\left[\left(1+e^{-\tau}\right)\left\|\boldsymbol{y}\left(t_{0} ; \tau, \boldsymbol{y}_{\tau}\right)\right\|^{\mathbf{2}}\right]\right\}_{\tau=t},
\end{aligned}
\]

где $\boldsymbol{y}_{\tau}=\boldsymbol{y}(\tau ; t, \boldsymbol{x})$. Но точка $\boldsymbol{y}\left(t_{0} ; \tau, \boldsymbol{y}_{\tau}\right)$ лежит на траектории $\Gamma$,
Рис. 35.

проходящей через точку $(t, \boldsymbol{x}$ ), и вследствие теоремы единственности точка ее выхода на гиперплоскость $t=t_{0}$ совпадает со следом $\boldsymbol{y}\left(t_{0} ; t, \boldsymbol{x}\right)$ траектории $\Gamma$ (рис. 35), т. е.
\[
y\left(t_{0} ; \tau, y_{\tau}\right)=\boldsymbol{y}\left(t_{0}, t, x\right)
\]

при $t_{0} \leqslant \tau<\infty$.
Таким образом, из формулы (4.9.3) получаем
\[
\begin{array}{c}
\dot{V}_{\mathrm{a}}(t, \boldsymbol{x})=\left\|\boldsymbol{y}\left(t_{0} ; t, \boldsymbol{x}\right)\right\|^{2}\left[\frac{d}{d \tau}\left(1+e^{-\tau}\right)\right]_{\tau=t}= \\
=-e^{-t}\left\|\boldsymbol{y}\left(t_{0} ; t, \boldsymbol{x}\right)\right\|^{2}<0
\end{array}
\]

при $\boldsymbol{x}
eq \mathbf{0}$ и $\dot{V}_{\mathrm{a}}(t, \boldsymbol{0})=0$, т. е. производная $\dot{V}(t, \boldsymbol{x})$ в силу системы (а) знакоотрицательна.

Покажем, что функция $V(t, \boldsymbol{x})$ – положительно определенная в области $t_{0} \leqslant t<\infty,\|\boldsymbol{x}\|<h$. Так как тривиальное решение $\xi=0$ как системы (a), так и системы (b) устойчиво по Ляпунову, то существует $\delta>0(\delta<\varepsilon \leqslant h)$ такое, что при $t_{0} \leqslant t<\infty$ имеем
\[
\left\|\boldsymbol{x}\left(t ; t_{0}, \boldsymbol{x}_{0}\right)\right\|=\mid \boldsymbol{y}\left(t ; t_{0}, \boldsymbol{x}_{0}\right) \|<\varepsilon,
\]

если только $\left\|\boldsymbol{x}_{0}\right\|<\delta$. Тогда, єсли $0<\varepsilon \leqslant\left\|\boldsymbol{x}_{0}\right\|<h$, то
\[
\left\|y\left(t_{0} ; t, x_{0}\right)\right\| \geqslant \delta \text { при } t \geqslant t_{0} .
\]

Действительно, если бы
\[
\begin{array}{c}
\left\|\boldsymbol{y}\left(t_{0} ; \bar{t}, \boldsymbol{x}_{0}\right)\right\|<\delta \text { для некоторого } \bar{t} \geqslant t_{0}, ‘ \\
\left\|\boldsymbol{y}\left(t ; \bar{t}, \boldsymbol{x}_{0}\right)\right\|<\varepsilon \text { при } t \geqslant t_{0} .
\end{array}
\]

Отсюда, полагая $t=\bar{t}$, мы бы имели
\[
\left\|\boldsymbol{y}\left(\bar{t} ; t, \boldsymbol{x}_{0}\right)\right\|=\left\|\boldsymbol{x}_{0}\right\|<\varepsilon,
\]

что противоречит выбору $\boldsymbol{x}_{0}$ (рис. 36).
Кроме того, на основании формулы (4.9.1) в силу свойства единственности решений системь (b) имеем
\[
\left\|\boldsymbol{y}\left(t_{0} ; t, \boldsymbol{x}_{0}\right)\right\|<H \text { при }\left\|\boldsymbol{x}_{0}\right\|<h .
\]

Из формулы (4.9.2) получаем
\[
V\left(t, x_{0}\right)>\delta^{2}=\eta \text { при } \varepsilon \leqslant\left\|_{2} x_{0}\right\|<h .
\]

Полагая $\varepsilon=\frac{h}{2}, \ldots, \frac{h}{n+1}, \ldots$, получим последовательность положительных чисел $r_{i 1}>\eta_{2}>\ldots>\eta_{n}>0$ таких, что
\[
V(t, \boldsymbol{x})>\eta_{n} \quad \text { при } \frac{h}{n+1} \leqslant\|\boldsymbol{x}\|<\frac{h}{n}
\]
$(n=1,2, \ldots)$. Отсюда следует, что существует непрерывная
Рис. 36.

положительно определенная функция $W(\boldsymbol{x})$, удовлетворяющая неравенству
\[
V(t, \boldsymbol{x}) \geqslant W(\boldsymbol{x})>0 \text { при } \boldsymbol{x}
eq \mathbf{0} .
\]

Например, можно положить
\[
\begin{array}{c}
W(x)=\eta_{n+1}+\frac{n(n+1)}{h}\left(\eta_{n}-\eta_{n+1}\right)\left(\|x\|-\frac{h}{n+1}\right) \\
\text { при } \frac{h}{n+1} \leqslant\|x\|<_{n}^{h}(n=1,2, \ldots) .
\end{array}
\]

Следовательно, функция $V(t, \boldsymbol{x})$ – положительно определенная. На основании известной теоремы о гладкости решения $\boldsymbol{y}\left(t ; t_{0}, \boldsymbol{y}_{0}\right)$ по начальным данным $t_{0}, \boldsymbol{y}_{0}$ (см. [91) функция $V(t, \boldsymbol{x}$ ) непрерывна іо совокупности переменных $t \boldsymbol{x}$ и имеет непрерывные частные производные $\frac{\partial V}{\partial t}$ и $\frac{\partial V}{\partial x_{j}}(j=1, \ldots, n)$, причем
\[
\dot{V}_{\mathrm{a}}(t, \boldsymbol{x})=\frac{\partial V}{\partial t}+\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial V}{\partial x_{j}} X_{j}(t, \boldsymbol{x})<0
\]

при $t \in\left[t_{0}, \infty\right)$ и $\|\boldsymbol{x}\|<h$.
Теорема доказана.