Теорема 1 (см. [6]). Пі́сть система
\[
\frac{d x}{d t}=A \boldsymbol{x},
\]
система
\[
\frac{d y}{d t}=[A+B(t)] y,
\]

где $B(t) \in C\left[t_{0}, \infty\right) u$
\[
\int_{t_{0}}^{\infty}\|B(t)\| d t<\infty,
\]

также устойчива при $t \rightarrow \infty$.

Доказательство. Без нарушения общности рассуждения можно считать, что $t_{0}=0$.

Пусть $X(t)$ – фундаментальная матрица системы (2.12.1) такая, что $X(0)=E$.

Рассматривая $B(t) \boldsymbol{y}$ как свободный член в уравнении (2.12.2) и применяя метод вариации произвольных постоянных Лагранжа, получим, что каждое решение $y(t)$ удовлетворяет интегральному уравнению
\[
y(t)=X(t) y(0)+\int_{0}^{t} X\left(t-t_{1}\right) B\left(t_{1}\right) y\left(t_{1}\right) d t_{1} \quad(t \geqslant 0) .
\]

Отсюда
\[
\|\boldsymbol{y}(t)\| \leqslant\|X(t)\|\|\boldsymbol{y}(0)\|+\int_{0}^{t}\left\|X\left(t-t_{1}\right)\right\|\left\|B\left(t_{1}\right)\right\|\left\|\boldsymbol{y}\left(t_{1}\right)\right\| d t_{1} .
\]

Так как система (2.12.1) устойчива, то матрица $X(t)$ ограничена, т. e.
\[
\|X(t)\| \leqslant k \quad \text { при } t \geqslant 0 .
\]

Таким образом,
\[
\|\boldsymbol{y}(t)\| \leqslant k\|\boldsymbol{y}(0)\|+\int_{0}^{t} k\left\|B\left(t_{1}\right)\right\|\left\|\boldsymbol{y}\left(t_{1}\right)\right\| d t_{1} .
\]

Используя лемму Гронуолла – Беллмана, будем иметь
\[
\begin{array}{l}
\|\boldsymbol{y}(t)\| \leqslant k\|\boldsymbol{y}(0)\| \exp \left[k \int_{0}^{t}\left\|B\left(t_{1}\right)\right\| d t_{1}\right] \leqslant \\
\leqslant k\|\boldsymbol{y}(0)\| \exp \left[k \int_{0}^{\infty}\left\|B\left(t_{1}\right)\right\| d t_{1}\right]<\infty .
\end{array}
\]

Следовательно ( $\$ 7$, теорема 1), система (2.12.2) устойчива при $t \rightarrow \infty$.
Пример. Пусть
\[
\ddot{x}+\left(a^{2}+\frac{b}{t^{2}}\right) x=0 \quad(a>0) .
\]

В силу теоремы 1 все решения $x(t)$ уравнения (2.12.5) вместе с их производными $\dot{x}(t)$ ограничены на полуоси $0<t_{0} \leqslant t<\infty$.

Замечание. Если матрица $A=A(t)$ переменная, то, как показал Перрон, теорема 1 в общем случае неверна.

Теорема 2 (см. [6]). Если матрица $A=\left[a_{j k}\right]$ постоянна и система
\[
\frac{d x}{d t}=A x
\]

асимптотически устойчива при $t \rightarrow \infty$, то возмущенная линейная система
\[
\frac{d y}{d t}=[A+B(t)] y,
\]

где $B(t) \in C\left[t_{0}, \infty\right)$ и $B(t) \rightarrow 0$ при $t \rightarrow \infty$, также асимптотически устойчива.

Доказательство. Из асимптотической устойчивости системы (2.12.6) в силу теоремы 2 из $\S 8$ следует, что характеристические корни $\lambda_{j}(A)$ матрицы $A$ обладают отрицательными вещественными частями. Положим
\[
\alpha=\max _{j} \operatorname{Re} \lambda_{j}(A)<0
\]

и выберем число $\varepsilon>0$ столь малым, чтобы имело место неравенство
\[
\alpha+2 \varepsilon<0 .
\]

В уравнении (2.12.7) сделаем замену переменных
\[
y=e^{A t} z \text {. }
\]

Тогда
\[
\frac{d \boldsymbol{y}}{d t} \equiv e^{A t} \frac{d \boldsymbol{z}}{d t}+A e^{A i} \boldsymbol{z}=[A+B(t)] e^{A t} \boldsymbol{z}
\]

и, следовательно,
\[
\frac{d \boldsymbol{z}}{d t}=e^{-A t} B(t) e^{A t} \boldsymbol{z} .
\]

Переходя к интегральному уравнению, будем иметь

Отсюда, так как $\boldsymbol{y}\left(t_{0}\right)=e^{A t_{0}} \boldsymbol{z}\left(t_{0}\right)$, на основании формулы (2.12.10) для решения $y(t)\left(t_{0} \leqslant t<\infty\right)$ получаем интегральное уравнение
\[
y(t)=e^{A\left(t-t_{0}\right)} y\left(t_{0}\right)+\int_{i_{0}}^{t} e^{A(t-\tau)} B(\tau) y(\tau) d \tau .
\]

Производя оценку по норме, при $t \geqslant t_{0}$ найдем
\[
\|y(t)\| \leqslant\left\|e^{A\left(t-t_{0}\right)}\right\|\left\|y\left(t_{0}\right)\right\|-\int_{t_{0}}^{t}\left\|e^{A(t-\tau)}\right\|\|B(\tau)\|\|y(\tau)\| d \tau .
\]

Как известно (см. гл. I, §13),
\[
\left\|e^{t A}\right\| \leqslant c e^{(\alpha+\theta) t} \quad \text { при } t \geqslant 0,
\]

где $c=c(\varepsilon)$ – некоторая положительная постоянная. Поэтому
\[
\|\boldsymbol{y}(t)\| \leqslant c\left\|\boldsymbol{y}\left(t_{0}\right)\right\| e^{(\alpha+\varepsilon)\left(t-t_{0}\right)}+\int_{t_{0}}^{t} c e^{(\alpha+\varepsilon)(t-\tau)}\|B(\tau)\|\|\boldsymbol{y}(\tau)\| d \tau,
\]

или
\[
e^{-(\alpha+\varepsilon) t}\|\boldsymbol{y}(t)\| \leqslant c\left\|\boldsymbol{y}\left(t_{0}\right)\right\| e^{-(\alpha+\varepsilon) t_{0}}+\int_{t_{0}}^{t} c\|B(\tau)\| e^{-(\alpha+\varepsilon) \tau}\|\boldsymbol{y}(\tau)\| d \tau .
\]

Отсюда, применяя лемму Гронуолла – Беллмана, будем иметь
\[
e^{-(\alpha+\varepsilon) t}\|\boldsymbol{y}(t)\| \leqslant c\left\|\boldsymbol{y}\left(t_{0}\right)\right\| e^{-(\alpha+\varepsilon) t_{0}} \exp \left[\int_{t_{0}}^{t} c\|B(\tau)\| d \tau\right]
\]

следовательно,
\[
\|\boldsymbol{y}(t)\| \leqslant c\left\|\boldsymbol{y}\left(t_{0}\right)\right\| e^{(\alpha+i)\left(t-t_{0}\right)}+c \int_{t_{0}}^{t}\|B(\tau)\| d^{\tau}
\]

На основании обобщенного правила Лопиталя (см. [19]) 1) и условия теоремы получаем
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{\int_{t_{0}}^{t}\|B(\tau)\| d \tau}{t-t_{0}}=\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{\|B(t)\|}{1}=0 .
\]

Поэтому
\[
\int_{\boldsymbol{t}_{1}}^{t}\|B(\tau)\| d \tau<\varepsilon\left(t-t_{0}\right)
\]

при $t \geqslant T$. Отсюда неравенство (2.12.11) принимает вид
\[
\|y(t)\| \leqslant c\left\|y\left(t_{0}\right)\right\| e^{(\alpha+2 \varepsilon)\left(t-t_{0}\right)}
\]
1) Здесь применяется правило Лопиталя в форме Штольца: если для функций $u(t)$ и $v(t)$ в условиях формулы Коши существует предел частного
\[
\frac{u^{\prime}(t)}{v^{\prime}(t)} \text { при } t \rightarrow a \text { и } v(t) \rightarrow \pm \infty \text { при } t \rightarrow a,
\]

тo
\[
\lim _{t \rightarrow a} \frac{u(t)}{v(t)}=\lim _{t \rightarrow a} \frac{u^{\prime}(t)}{v^{\prime}(t)} .
\]

Отметим, что предположение о пределе $a(t)$ при $t \rightarrow a$ не делается.

при $t>T$, и значит, в силу (2.12.7) для любого решения $y(t)$ системы (2.11.7) справедливо равенство
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} y(t)=0 .
\]

Таким образом, система (2.12.7) асимптотически устойчива.
3амечание. Теорема 2 остается верной, если $\|B(t)\|<k$ при $t \geqslant T$, где положительное число $k$ достаточно мало.

Следствие. Линейная система $c$ полиномиальными коэффициентами
\[
\frac{d \boldsymbol{y}}{d t}=\left(A_{0} t^{m}+A_{1} t^{m-1}+\ldots+A_{m}\right) \boldsymbol{y},
\]

где $A_{k}(k=0,1, \ldots, m)$ – постоянные $(n \times n)$-матрицы, асимптотически устойчива, если все корни $\lambda_{j}(j=1, \ldots, n)$ векового уравнения
\[
\operatorname{det}\left(A_{0}-\lambda E\right)=0
\]

имеют отрицательные вещественные части: $\operatorname{Re} \lambda_{j}<0(j=1, \ldots, n)$. Действительно, полагая
\[
\frac{1}{m+1} t^{m+1}=\tau,
\]

будем иметь
\[
\frac{d \boldsymbol{y}}{d \tau}=\left[A_{0}+B(\tau)\right] \boldsymbol{y},
\]

где
\[
B(\tau)=\frac{A_{1}}{[(m+1) \tau]^{\frac{1}{m+1}}}+\ldots+\frac{A_{m}}{[(m+1) \tau]^{\frac{m}{m+1}}} .
\]

Так как $B(\tau) \rightarrow 0$ при $\tau \rightarrow \infty$, причем $\tau \rightarrow \infty$ при $t \rightarrow \infty$, то наше утверждение непосредственно вытекает из теоремы 2.

Замечание. Для линейной дифференциальной системы с переменной матрицей теорема 2, вообще говоря, неверна.
Пример. Скалярное уравнение
\[
\frac{d x}{d t}=-\frac{x}{t} \quad(t>0),
\]

имеющее общее решение
\[
x=\frac{c}{t},
\]

очевидно, асимптотически устойчиво при $t \rightarrow \infty$. Тем не менее скалярное уравнение
\[
\frac{d y}{d t}=\frac{y}{t},
\]

коэффициент которого
\[
\frac{1}{t}=-\frac{1}{t}+\frac{2}{t}
\]

отличается от коэффициента первого уравнения на функцию, бесконечно малую при $t \rightarrow \infty$, неустойчиво при $t \rightarrow \infty$. Действительно, его общее решение
\[
y=c t
\]

не ограничено на интервале $0<t<\infty$.