Рассмотрим степенной ряд
\[
\sum_{p=i}^{\infty} a_{p} X^{p}
\]

где $X-(n \times n)$-матрица, причем для простоты будем считать, что коэффициенты $a_{p}(p=0,1,2, \ldots)$ – числа, воощще говоря, комплексные. Наряду с матричным рядом (1.9.1) рассмотрим скалярный степенной ряд
\[
\sum_{p=1}^{\infty} a_{p} x^{p}
\]

где $x=\xi+i \eta$, и пусть $R$ – его радиус сходимости.
Теорема 1. Матричный степенной ряд (1.9.1) сходится абсолютно для каждой матрицы $X$, для которой выполнено неравенство
\[
\|X\|<R \text {. }
\]

Доказательство. Так как внутри круга сходимости $|x|<R$ степенной ряд (1.9.2) сходится абсолютно (см. [7]), то из неравенства (1.9.3) вытекает схсдимость ряда
\[
\sum_{p=0}^{\infty}\left|a_{p}\right|\|X\|^{p}
\]

Но в силу свойств нормы
\[
\left\|a_{p} X^{p}\right\| \leqslant\left|a_{p}\right|\|X\|^{p} \quad(p=0,1,2, \ldots) .
\]

Поэтому на основании признака сравнения степенной ряд (1.9.1) сходится абсолютно в данной точке $X$.

Следствие. Если скалярньй степенной ряд (1.9.2) сходится для любого х (т.е. $R=\infty$ ), по соответствующий матричный ряд также сходится для любой квадратной матриць $X$.
Пусть
\[
F(X)=\sum_{p=0}^{\infty} a_{p} X^{p}
\]
– функция, аналитическая в области $\|X\|<R$.

Теорема 2. Если $F(X)$ определена для маприцы $X$, то она определена также для любой подобной матриць $S X S^{-1}(\operatorname{det} S
eq 0$ ), причем справедлива формула
\[
F\left(S X S^{-1}\right)=S F(X) S^{-1} .
\]

Доказательство. Пусть
\[
F_{N}(X)=\sum_{p=1}^{N} a_{p} X^{p} .
\]

Используя очевидные свойства подобных матриц
\[
S(X+Y) S^{-1}=S X S+S Y S^{-1}
\]

и
\[
S(X Y) S^{-1}=S X S^{-1} S Y S^{-1},
\]

имеем
\[
F_{N}\left(S X S^{-1}\right)=\sum_{p=0}^{N} a_{p}\left(S X S^{-1}\right)^{p}=S\left(\sum_{p=0}^{N} a_{p} X^{p}\right) S^{-1}=S F_{N}(X) S^{-1} .
\]

Отсюда, переходя к пределу при $N \rightarrow \infty$ и учитывая, что
\[
\lim _{N \rightarrow \infty} F_{N}(X)=F(X),
\]

получаем формулу (1.9.5). Теорема доказана.

Теорема 3. Mampuчный степен. ной ряд
\[
\sum_{p=0}^{\infty} a_{p} X^{p}
\]
( $a_{p}$ – скаляры) сходится, если все соб-
Рис. 1.

ственные значения $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}$ матри-
цьь $X$ находятся внутри круга сходимости соответствующего скалярного ряда
\[
\sum_{p=0}^{\infty} a_{p} x^{p}
\]
m. е. если выполнены неравенстеа
\[
\left|\lambda_{k}\right|<R \quad(k=1, \ldots, n),
\]

где $R$ – радиус сходимости ряда (1.9.7) (рис. 1).

Если же хотя бы одно собственное значение матрицы $X$. гежит вне замкнутого круга сходимости $\|x\| \leqslant R$, то ряд (1.9.6) расходится (см. [8]).
Доказательство, 1) Пусть
\[
F_{N}(X)=\sum_{p=1}^{N} a_{p} X^{p}
\]
– отрезок матричного ряда (1.9.6). Приводя матрицу $X$ к жорцановой форме ( $\$ 5$ ), будем иметь
\[
X=S^{-1} \operatorname{diag}\left[J_{1}\left(\lambda_{1}\right), \ldots, J_{m}\left(\lambda_{m}\right)\right] S,
\]

где $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{m}(m \leqslant n)$ – характеристические корни матрицы $X$, отвеча:ощие различным элементарным делителям,
\[
J_{q}\left(\lambda_{q}\right)=\lambda_{q} E_{q}+I_{1}^{(0)} \quad(q=1, \ldots, m)
\]
– соответствующие клетки Жордана и det $S
eq 0$. Отсюда, используя теорему 2 и свойства квазидиагональных матриц, получим
\[
\begin{array}{l}
F_{N}(X)=S^{-1} F_{N}\left(\operatorname{diag}\left[J_{1}\left(\lambda_{1}\right), \ldots, J_{m}\left(\lambda_{m}\right)\right]\right) S= \\
=S^{1} \operatorname{diag}\left[F_{N}\left(J_{1}\left(\lambda_{1}\right)\right), \ldots, F_{N}\left(J_{m}\left(\lambda_{m}\right)\right)\right] S .
\end{array}
\]

Далее, применяя бином Ньютона и правило возведения единичного косого ряда в степень (1.1:3), имеем
\[
\begin{array}{l}
F_{N}\left[J_{q}\left(\lambda_{q}\right)\right]= \\
\quad=\sum_{p=0}^{N} a_{p}\left(\lambda_{q} E_{q}+I_{1}^{(q)}\right)^{p}=\sum_{p=0}^{N} \sum_{r=0}^{p} a_{p} C_{p}^{r}\left(\lambda_{q} E_{q}\right)^{p-r}\left[I_{1}^{(q)}\right]^{r}= \\
\quad=\sum_{p=0}^{N} \sum_{r=0}^{p} a_{p} \frac{p !}{r !(p-r) !} \lambda_{q}^{p-r} I_{r}^{(q)}=\sum_{r=0}^{N} \frac{I_{r}^{(q)}}{r !} \sum_{p=r}^{N} a_{p} \frac{p !}{(p-r) !} \lambda_{q}^{p-r} .
\end{array}
\]

Так как
\[
F_{N}(x)=\sum_{p=0}^{N} a_{p} x^{p}
\]

To
\[
\begin{aligned}
F_{N}^{(r)}(x)=\sum_{p^{\prime}=0}^{N} a_{p} p(p-1) \ldots & (p-r+1) x^{p-r}= \\
& =\sum_{p=r}^{N} a_{p} \frac{p !}{(p-r) !} x^{p-r} \quad(r=0,1,2, \ldots) .
\end{aligned}
\]

Поэтому
\[
\sum_{p=r}^{N} a_{p} \frac{p !}{(p-r) !} \lambda_{q}^{p-r}=F_{N}^{(r)}\left(\lambda_{q}\right)
\]
и. следовательно,
\[
F_{N}\left(J_{q}\left(\lambda_{q}\right)\right)=\sum_{r=0}^{N} \frac{I_{r}^{(q)}}{r !} F_{N}^{(r)}\left(\lambda_{q}\right)=\sum_{r=0}^{e_{q}-1} \frac{I_{r}^{(q)}}{r !} F_{N}^{(r)}\left(\lambda_{q}\right) \quad(q=1, \ldots, m),
\]

где $e_{q}$ – порядок клетки Жордана $J_{q}\left(\lambda_{q}\right)$, так как
\[
I_{r}^{(q)}=0 \text { при } r \geqslant e_{q} .
\]

Отсюда при $N \rightarrow \infty$, учитывая сходимость рядов (см. [6])
\[
\begin{aligned}
F^{(r)}\left(\lambda_{q}\right) & =\sum_{p=0}^{\infty} a_{p} p(p-1) \ldots(p-r+1) \lambda_{q}^{p-r} \\
(r & =0,1,2, \ldots ; q=1, \ldots, m),
\end{aligned}
\]

будем иметь
\[
F\left(J_{q}\left(\lambda_{q}\right)\right)=\lim _{N \rightarrow \infty} F_{N}\left(J_{q}\left(\lambda_{q}\right)\right)=\sum_{r=0}^{e_{y}{ }^{\prime}} \frac{I_{r}^{|q|}}{r !} F^{(r)}\left(\lambda_{q}\right)(q=1, \ldots, m) .
\]

Поэтому на основании формулы (1.9.8) находим, что существует предел
\[
\begin{aligned}
F(X) & =\lim _{N \rightarrow \infty} F_{N}(X)= \\
& =S^{-1} \operatorname{diag}\left[F\left(J_{1}\left(\lambda_{1}\right)\right), \ldots, F\left(J_{m}\left(\lambda_{m}\right)\right)\right] S
\end{aligned}
\]

и, значит, матричный степенной ряд (1.9.6) сходится.
2) Если некоторое $\lambda_{q}$ лежит вне замкнутого круга сходимости $|x| \geqslant R$, то
\[
\lim _{N \rightarrow \infty} F_{N}\left(J_{q}\left(\lambda_{q}\right)\right)
\]

не существует и поэтому ряд (1.9.6) расходится.
Следствие. Если собственные значения $\lambda_{k}(k=1, \ldots, n)$ матриџы $X$ лежат внутри круга сходимости $|x|<R$ скалярного ряда (1.9.7), то характеристическими корнями матрицы
\[
F(X)=\sum_{p=0}^{\infty} a_{p} X^{p}
\]

являются числа $F\left(\lambda_{k}\right) \quad(k=1, \ldots, n)$.

Если, сверх того,
\[
F^{\prime}\left(\lambda_{k}\right)
eq 0(k=1, \ldots, n),
\]

то порядки соответствующих клеток Жордана матриц $X$ и $F(X)$ совпадают между собой (теорема Лаппо-Данилевского).

Этот результат непосредственно вытекает из формул (1.9:9), (1.9.10), а также из следствия $1 \mathrm{k}$ теореме 2.