Определени е: Назовем характеристическим показателем матрицы $F(t)=\left[f_{j k}(t)\right]$ определенной на $\left[t_{0}, \infty\right)$, число или символ $+\infty(-\infty)$ :
\[
\chi[F(t)]=\max _{j, k} \chi\left[f_{j k}(t)\right] .
\]
Заметим, что если
\[
F^{T}(t)=\left[f_{k j}(t)\right]
\]
– транспонированная матрица, то из формулы (3.2.1) вытекает
\[
\chi\left[F^{T}(t)\right]=\chi[F(t)] .
\]
Лемма. Характеристический показатель конечномерной матрицы $F(t)$ совпадает с характеристическим показателем ее нормы, m. $e$.
\[
\chi[F(t)]=\chi[\|F(t)\|]
\]
где под нормой матрицы понимается одна из трех рассмотренных выше норм (гл. I, § 4).
Доказательство. Так как
\[
\left|f_{j k}(t)\right| \leqslant\|F(t)\|,
\]
то
\[
\chi\left[f_{j k}(t)\right] \leqslant \chi[\|F(t)\|]
\]
и, следовательно,
\[
\chi[F(t)] \leqslant \chi[\|F(t)\|] .
\]
С другой стороны, очевидно, имеем
\[
\|F(t)\| \leqslant \sum_{j, k}\left|f_{j k}(t)\right| .
\]
Поэтому на основании теоремы 1 из $\S 1$ получаем
\[
\chi[\|F(t)\|] \leqslant \max _{j, k} \chi\left[f_{j k}(t)\right]=\chi[F(t)] .
\]
Таким образом,
\[
\chi[F(t)]=\chi[\|F(t)\|] .
\]
Теорема 1. Характеристический показатель суммы конечного числа матриц не превышает наибольшего из характеристических показателей этих матриц.
Доказательство. Пусть $F_{s}(t) \quad(s=1, \ldots, N)$ – матрицы одного и того же типа $m \times n$ и
\[
F(t)=\sum_{s=1}^{N} F_{s}(t) .
\]
Отсюда
\[
\|F(t)\| \leqslant \sum_{s=1}^{N}\left\|F_{s}(t)\right\|
\]
и, следовательно,
\[
\begin{aligned}
\chi[F(t)]=\chi[\|F(t)\|] & \leqslant \chi\left[\sum_{s=1}^{N}\left\|F_{s}(t)\right\|\right]= \\
& =\max _{s} \chi\left[\left\|F_{s}(t)\right\|\right]=\max _{s}\left[F_{s}(t)\right],
\end{aligned}
\]
что и требовалось доказать.
Замечание. Если среди матриц $F_{s}(t)(s=1, \ldots, N)$ имеется лишь одна обладающая наибольшим характеристическим показателем, то характеристический показатель суммы этих матриц равен сумме их характеристических показателей.
Действительно, пусть
и
\[
\chi\left[F_{1}(t)\right]>\chi\left[F_{s}(t)\right] \text { при } s>1
\]
\[
\begin{array}{l}
F_{s}(t)=\left[f_{j k}^{(s)}(t)\right] \quad(s=1, \ldots, N), \\
F(t)=\sum_{s=1}^{N} F_{s}(t)=\left[f_{j k}(t)\right] .
\end{array}
\]
Допустим, что
\[
\chi\left[F_{1}(t)\right]=\max _{j, k} \chi\left[f_{j k}^{(1)}(t)\right]=\chi\left[f_{p q}^{(1)}(t)\right] .
\]
На основании теоремы 1 из $\S 1$, учитывая, что
\[
\chi\left[f_{p q}^{(s)}(t)\right] \leqslant \chi\left[F_{s}(t)\right]<\chi\left[f_{p q}^{(1)}(t)\right]
\]
при $s>1$, имеем
\[
\chi\left[f_{p q}(t)\right]=\chi\left[f_{p q}^{(1)}(t)\right]=\chi\left[F_{1}(t)\right] .
\]
Следовательно,
\[
\chi[F(t)] \geqslant \chi\left[F_{1}(t)\right]=\max _{s} \chi\left[F_{s}(t)\right] .
\]
Сопоставляя это неравенство с неравенством (3.2.2), получим окончательно
\[
\chi[F(t)]=\max _{s} \chi\left[F_{s}(t)\right],
\]
что и требовалось доказать.
Теорема 2. Характеристический показатель произведения конечного числа матриц не превьішает суммы характеристических показателей этих матриц.
Доказательство. Пусть $F_{s}(t)(s=1, \ldots, N)$ – матрицы, допускающие последовательное умножение, и
\[
F(t)=\prod_{s=1}^{N} F_{s}(t)
\]
Отсюда
\[
\|F(t)\| \leqslant \prod_{s}\left\|F_{s}(t)\right\|
\]
и, следовательно,
\[
\chi[F(t)]=\chi[\|F(t)\|] \leqslant \sum_{s} \chi\left[\left\|F_{s}(t)\right\|\right]=\sum_{s} \chi\left[F_{s}(t)\right],
\]
что и требовалось доказать.
Следствие. Характеристичекий показатель линейной комбинации
\[
\sum_{s} c_{s} F_{s}(t) \quad\left(c_{s}
eq 0\right)
\]
нескольких матриц не превышает наибольшего из характеристических показателей этих матриц и совпадает с ним, если наибольший характеристический показатель имеет лишь одна из матриц.
