Определени е: Назовем характеристическим показателем матрицы $F(t)=[f_{jk}(t)]$ определенной на $[t_0,\mathrm{\infty })$, число или символ $+\mathrm{\infty }(-\mathrm{\infty })$ :
$$\chi [F(t)]=\underset{j,k}{max}\chi [f_{jk}(t)].$$

Заметим, что если
$$F^T(t)=[f_{kj}(t)]$$
— транспонированная матрица, то из формулы (3.2.1) вытекает
$$\chi [F^T(t)]=\chi [F(t)].$$

Лемма. Характеристический показатель конечномерной матрицы $F(t)$ совпадает с характеристическим показателем ее нормы, m. $e$.
$$\chi [F(t)]=\chi [\Vert F(t)\Vert ]$$

где под нормой матрицы понимается одна из трех рассмотренных выше норм (гл. I, § 4).
Доказательство. Так как
$$|f_{jk}(t)|⩽\Vert F(t)\Vert ,$$

то
$$\chi [f_{jk}(t)]⩽\chi [\Vert F(t)\Vert ]$$

и, следовательно,
$$\chi [F(t)]⩽\chi [\Vert F(t)\Vert ].$$

С другой стороны, очевидно, имеем
$$\Vert F(t)\Vert ⩽\sum _{j,k}|f_{jk}(t)|.$$

Поэтому на основании теоремы 1 из $\mathrm{\S }1$ получаем
$$\chi [\Vert F(t)\Vert ]⩽\underset{j,k}{max}\chi [f_{jk}(t)]=\chi [F(t)].$$

Таким образом,
$$\chi [F(t)]=\chi [\Vert F(t)\Vert ].$$

Теорема 1. Характеристический показатель суммы конечного числа матриц не превышает наибольшего из характеристических показателей этих матриц.

Доказательство. Пусть $F_s(t)(s=1,\dots ,N)$ — матрицы одного и того же типа $m\times n$ и
$$F(t)=\sum _{s=1}^N{F}_s(t).$$

Отсюда
$$\Vert F(t)\Vert ⩽\sum _{s=1}^N\Vert F_s(t)\Vert$$

и, следовательно,
$$\begin{array}{rl}\chi [F(t)]=\chi [\Vert F(t)\Vert ]& ⩽\chi \left[\sum _{s=1}^N\Vert F_s(t)\Vert \right]=\\ & =\underset{s}{max}\chi \left[\Vert F_s(t)\Vert \right]=\underset{s}{max}[F_s(t)],\end{array}$$

что и требовалось доказать.
Замечание. Если среди матриц $F_s(t)(s=1,\dots ,N)$ имеется лишь одна обладающая наибольшим характеристическим показателем, то характеристический показатель суммы этих матриц равен сумме их характеристических показателей.

Действительно, пусть

и
$$\chi [F_1(t)]>\chi [F_s(t)]\text{ при }s>1$$
$$\begin{array}{l}{F}_s(t)=[f_{jk}^{(s)}(t)](s=1,\dots ,N),\\ F(t)=\sum _{s=1}^N{F}_s(t)=[f_{jk}(t)].\end{array}$$

Допустим, что
$$\chi [F_1(t)]=\underset{j,k}{max}\chi [f_{jk}^{(1)}(t)]=\chi [f_{pq}^{(1)}(t)].$$

На основании теоремы 1 из $\mathrm{\S }1$, учитывая, что
$$\chi [f_{pq}^{(s)}(t)]⩽\chi [F_s(t)]<\chi [f_{pq}^{(1)}(t)]$$

при $s>1$, имеем
$$\chi [f_{pq}(t)]=\chi [f_{pq}^{(1)}(t)]=\chi [F_1(t)].$$

Следовательно,
$$\chi [F(t)]⩾\chi [F_1(t)]=\underset{s}{max}\chi [F_s(t)].$$

Сопоставляя это неравенство с неравенством (3.2.2), получим окончательно
$$\chi [F(t)]=\underset{s}{max}\chi [F_s(t)],$$

что и требовалось доказать.
Теорема 2. Характеристический показатель произведения конечного числа матриц не превьішает суммы характеристических показателей этих матриц.

Доказательство. Пусть $F_s(t)(s=1,\dots ,N)$ — матрицы, допускающие последовательное умножение, и
$$F(t)=\prod _{s=1}^N{F}_s(t)$$

Отсюда
$$\Vert F(t)\Vert ⩽\prod _s\Vert F_s(t)\Vert$$

и, следовательно,
$$\chi [F(t)]=\chi [\Vert F(t)\Vert ]⩽\sum _s\chi \left[\Vert F_s(t)\Vert \right]=\sum _s\chi [F_s(t)],$$

что и требовалось доказать.

Следствие. Характеристичекий показатель линейной комбинации
$$\sum _s{c}_s{F}_s(t)\left(c_{s}eq0\right)$$

нескольких матриц не превышает наибольшего из характеристических показателей этих матриц и совпадает с ним, если наибольший характеристический показатель имеет лишь одна из матриц.