Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Рассмотрим нормальную систему обыкновенных дифференциальных уравнений где $t$ – независимое переменное (время); $y_{1}, \ldots, y_{n}$-искомые функции; $f_{j}$ – функции (в обцем случае комплекснозначные), определенные в некотором полуцилиндре: и учитывая, что систему (2.1.1) можно записать в виде матрично-векторного уравнения Действительную или комплекснозначную вектор-функцию $y=$ $=y(t) \subset C^{1}$, определенную в некотором интервале $(a, b) \subset I$ : и удовлетворяющую при $a<t<b$ уравнению (2.1.2), будем называть его решением. При этих условнях справедлива теорема Коши (см. [9], [10], [11]): для каждой системы значений $\left(t_{0}, y_{0}\right) \in Z$ существует единственное решение системы (2.1.2): определенное в некотором интервале $\left(t_{0}-A, t_{0}-B\right) \subset(t, \infty)$ и удовлетворяющее начальному условию: $\boldsymbol{y}\left(t_{0}\right)=\boldsymbol{y}_{0}$, т. е. однозначно разрешима соответствующая задача Коши. Иначе говоря, в области $Z \subset I_{t}^{+} \times \Re_{y}^{n}$ существует единственная интегральная кривая $y=y(t)$ системы $(2.1 .2)$, проходящая через точку Рис. 2. $M_{0}\left(t_{0}, y_{i}\right)$. Заметим, что если для любого $i \in\left[t_{0}, t_{0}-B\right)$ точка $y(t) \in K \subset D_{y}$, причем расстояние $d$ ограниченного замкнутого множества (компакта) $K$ до границы области $D$, положительно (рис. 2), то можно принять $B=\infty$, т. е. решение $y(t)$ имеет смысл при $t_{0} \leqslant t<\infty$ (бесконечно продолжаемо вправо). Аналогично при $t=-\infty$ формулируются условия бесконечной продолжаемости влево ( $A=-\infty$ ). В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением дифференциальных систем вида (2.1.2), обладающих свойством единственности, т. е. таких, для которых задача Коши при начальных данных $\left(t_{0}, y_{0}\right) \in Z$ имеет единственное решение. Иными словами, если есть решение системы (2.1.2), то оно тождественно при $a<t<b$ с решением этой системы $\tilde{\boldsymbol{y}}(t)$, определяемым начальными условиями: $\tilde{y}\left(t_{0}\right)=y\left(t_{0}\right)$, где $t_{0}$-любая точка интервала $(a, b)$. Решение $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}(t)$ можно рассматривать как траекторию фазового пространства $\Re_{y}^{n}$, где $t$ играет роль параметра. Для дифференциальных систем с непрерывной правой частыо и свойством единственности имеет место интегральная непрерывность решений (см. [9] – [12]), а именно: если $y(t)(a<t<b)$ есть решение системы (2.1.2), то для любых $\varepsilon>0$ и $[\alpha, \beta] \subset(a, b)$ существует $\delta>0$ такое, что решение $\boldsymbol{z}(t)$, определяемое начальным условием $\boldsymbol{z}(\gamma)=\boldsymbol{z}_{0}$, где $\gamma \in[\alpha, \beta]$ и $\|\boldsymbol{z}(\gamma)-\boldsymbol{y}(\gamma)\|<\delta$, будет иметь смысл при $\alpha \leqslant t \leqslant \beta$, причем $\|\boldsymbol{z}(t)-\boldsymbol{y}(t)\|<\varepsilon$ для $t \in[\alpha, \beta]$ (см. рис. 3). Определение 1. Решение $\boldsymbol{\eta}=\boldsymbol{\eta}(t)(a<t<\infty)$ системы (2.1.2) называется устойчивым по Ляпунову (см. [13]) при $t \rightarrow+\infty$ (или, короче, устойчивым), если для любых $\varepsilon>0$ и $t_{0} \in(a, \infty)$ существует $\delta=\delta\left(\varepsilon, t_{0}\right)>0$ такое, что определены в промежутке $t_{0}<t<\infty$, т. е. 2) для этих решений справедливо неравенство Иными словами, решение $\eta(t)$ устойчиво, если достаточно близкие к нему в любой начальный момент $t_{0}$ решения $y(t)$ целиком погружаются в сколь угодно узкую є-трубку, построенную вокрур решения $\boldsymbol{\eta}(t)$ (рис. 4 ). В частности, при $f(t, 0) \equiv 0$ тривиальное решение (положение равновесия) $\boldsymbol{\eta}(t) \equiv \mathbf{0}(a<t<\infty)$ устойчиво, если для любых $\varepsilon>0$ и $t_{0} \in(a, \infty)$ существует $\delta=\delta\left(\varepsilon, t_{0}\right)>0$ такое, что из неравенства следует неравенство Заметим, что из устойчивости нетривиального решения $\eta(t)$ не вытекает его ограниченность; обратно, из ограниченности решения, вообще говоря, не следует его устойчивость (см. §7). Определение 2. Если число $\delta>0$ можно выбрать не зависящим от начального момента $t_{0} \in T$, т. е. $\delta=\delta(\varepsilon)$, то устойчивость называется равномерной в области $T$. Определение 3. Решение $\boldsymbol{\eta}=\boldsymbol{\eta}(t)(a<t<\infty)$ будем называть неустойчивым по Ляпунву, если для некоторых $\varepsilon>0$, $t_{0} \in(a, \infty)$ и любого $\delta>0$ существует решение $y_{\delta}(t)$ (хотя бы одно) и момент $t_{1}=t_{1}(\hat{\delta})>t_{0}$ такие, что Из отрицания определения 1 вытекает, что следует считать также неустойчивым решение $\boldsymbol{\eta}(t)$, непродолжаемое при $t \rightarrow \infty$ или такое, для которого в любой окрестности точки $\eta\left(t_{0}\right)$ Аналогично, тривиальное решение (положение равновесия) $\eta \equiv 0$ неустойчиво (рис. 5), если для некоторых $\varepsilon>0, t_{0} \in(a, \infty)$ и любого $\delta>0$ существуют решение $\boldsymbol{y}_{i}(t)$ и момент $t_{1}>t_{0}$ такие, что Определение 4. Решение $\boldsymbol{\eta}=\boldsymbol{\eta}(t)(a<t<\infty)$ называется асимптотически ус. тойчивым при $t \rightarrow+\infty$, если: 1) это решение устойчиво по Ляпунову и 2) для любого $t_{0} \in(a, \infty)$ существует $\Delta=$ $=\Delta\left(t_{0}\right)>0$ такое, что все решения $y=y(t)\left(t_{0} \leqslant t<\infty\right)$, удовлетворяющие условию $\left\|\boldsymbol{y}\left(t_{0}\right)-\eta\left(t_{0}\right)\right\|<\Delta$, обладают свойством Таким образом, асимптотическая устойчивость есть «устойчивость с нагрузкой», т. е. устойчивость при наличии дополнительных условий. В частности, тривиальное решение $\boldsymbol{\eta}(t) \equiv 0$ асимптотически устойчиво, если оно устойчиво и IШар $\|\boldsymbol{y}\|<\Delta\left(t_{0}\right)$ при фиксированном $t_{0}$ является областью притяжения положения равновесия $O$. Определение 5. Пусть система (2.1.2) определена в полупространстве $Q=\{\underline{t}<t<\infty\} \times\{\|\boldsymbol{x}\|<\infty\}$. Если решение $\eta=\eta(t)(a<t<\infty)$ асимптотически устойчиво при $t \rightarrow \infty$ и все решения $y=y(t)\left(t_{0} \leqslant t<\infty, \quad t_{0}>a\right)$ обладают свойством (2.1.5), т. е. $\Delta=\infty$, то решение $\eta(t)$ называется acuмnтотически устойчивым в целом. Иными словами, в случае асимптотической устойчивости в целом решения $\eta(t)$ его областью притяжения в любой начальный момент $t=t_{0}$ является все пространство $\mathfrak{R}_{y}^{n}(\Delta=\infty)$. где Определение 6. Решение $\boldsymbol{\eta}=\boldsymbol{\eta}(t)(a<t<\infty)$ системы (2.1.2) называется устойчивым при постоянно дейтвующих возмущениях $\varphi\left(t, \boldsymbol{z}\right.$ ) (см. [14]), если для любых $\varepsilon>0$ и $t_{0} \in(a, \infty)$ существует $\delta=\delta\left(\hat{\varepsilon}, t_{0}\right)>0$ такое, что при $\|\boldsymbol{\varphi}(t, z)\|<\delta$ все решения $\boldsymbol{z}=\boldsymbol{z}(t)$ системы (2.1.6), удовлетворяющие условию $\left\|\boldsymbol{z}\left(t_{0}\right)\right\|<\delta$, определены на промежутке $\left[t_{0}, \infty\right)$, причем Замечание. Если решение $\boldsymbol{\eta}=\boldsymbol{\eta}(t)(a<t<\infty)$ системы (2.1.1) с непрерывной правой частью устойчиво для какого-нибудь фиксированного момента $t_{0} \in(a, \infty)$, то оно будет устойчиво для любого другого момента $t_{0}^{\prime} \in(a, \infty)$, т. е. является устойчивым в смысле определения 1. имеем В силу свойства интегральной непрерывности существует $8^{\prime}=$ $=\delta\left(\varepsilon, t_{0}^{\prime}\right)>0$ такое, что если то Поэтому на основании формул (2.1.7) и (2.1.8) из неравенства (2.1.9) вытекает неравенство Таким образом, можно ограничиваться проверкой устойчивости решения, а также его асимптогической устойчивости, лиць для некоторого заданного начального момента $t_{0}$. Отсюда также получаем, что если решение $\boldsymbol{\eta}(t)(a<t<\infty)$ неустойчиво при $t=t_{0}$, то оно является неустойчивым для любого другого момента $t_{0}^{\prime} \in(a, \infty)$. В дальнейшем для теорем устойчивости мы, как правило, начальный момент $t_{0}$ будем считать фиксированным (см. [14], [15], [16]).
|
1 |
Оглавление
|