Пусть $A$-квадратная матрица. Рассмотрим экспоненциал более общего вида
\[
e^{A t} \text {, }
\]
где $t$ – числовой множитель (параметр). Обозначим через
\[
\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{m}(m \leqslant n)
\]
собственные значения матрицы $A$, отвечающие различным клеткам $J_{1}\left(\lambda_{1}\right), \ldots, J_{m}\left(\lambda_{m}\right)$ ее канонической формы Жордана, и пусть $e_{1}, \ldots, e_{m}$, соответственно, порядки этих клеток. Тогда
\[
A=S^{-1} \operatorname{diag}\left[J_{1}\left(\lambda_{1}\right), \ldots, J_{m}\left(\lambda_{m}\right)\right] S,
\]
где $S$ – некоторая неособенная матрица ( $\operatorname{det} S
eq 0$ ).
Воспользовавшись формулой (1.12.1) и учитывая известные свойства квазидиагональных матриц, имеем
\[
\begin{array}{c}
e^{A t}=\exp \left\{t S^{-1} \operatorname{diag}\left[J_{1}\left(\lambda_{1}\right), \ldots, J_{m}\left(\lambda_{m}\right)\right] S\right\}= \\
\quad=S^{1} \operatorname{diag}\left[e^{t J_{1}\left(\lambda_{1}\right)}, \ldots, e^{t J_{m}^{\prime} m^{\prime}}\right] S .
\end{array}
\]
Так как
\[
J_{q}\left(\lambda_{q}\right)=\lambda_{q} E_{q}+I_{i}^{q} \quad(q=1, \ldots, m),
\]
где $E_{q}$– единичная матрица порядка $q$ и $I_{1}^{(q)}$ – ее первый единичный косой ряд, то
\[
\begin{aligned}
e^{t J} q_{q}^{i \lambda_{q}}=\sum_{p=1}^{\infty} \frac{t^{p}}{p !}\left(\lambda_{q} E_{q}+I_{1}^{(q)}\right)^{p} & =\sum_{p=0}^{\infty} \frac{t^{p}}{p !} \sum_{r=0}^{p} \frac{p !}{r !(p-r) !} \lambda_{q}^{p-r} I_{r}^{(q)}= \\
& =\sum_{r=1}^{\infty} \frac{I_{r}^{(q)} t^{r}}{r !} \sum_{p=r}^{\infty} \frac{\left(\lambda_{q} t\right)^{p-r}}{(p-r) !}
\end{aligned}
\]
Как известно,
\[
I_{r}^{(q)}=\left[\begin{array}{l}
\left.I_{i}^{q}\right)
\end{array}\right]^{r}=0 \text { при } r \geqslant e_{q} \text {, }
\]
причем
\[
\sum_{p=r}^{\infty} \frac{\left(\lambda_{q} t\right)^{p-r}}{(p-r) !}=e^{\lambda} q^{t} .
\]
Поэтому из формулы (1.13.3) окончательно получаем
\[
e^{t J_{0}\left(\lambda q^{\prime}\right.}=e^{\lambda} q^{e^{e}} \sum_{r=0}^{-1} \frac{t^{r}}{r !} I_{r}^{(q)}(q=1, \ldots, m),
\]
где
\[
I_{0}^{(q)}=E_{q} .
\]
Формулы (1.13.2) и (1.13.4) и дают нормальную форму матрицы.
Заметим, что формулу (1.13.4) можно было непосредственно получить из общих формул (1.9.9) и (1.9.10).
Замечание. Из формул (1.13.2) и (1.13.4) при $t=1$ вытекает, что если $i_{q}(q=1, \ldots, m)$ – собственные значения матрицы $A$, то $e^{\lambda}$ являются собственными значениями матрицы $e^{A}$, причем, так как $e^{\lambda} q
eq 0$, порядки соответствующих клеток Жордана матриц $A$ и $e^{A}$ одинаковы ( $\$ 9$, теорема 3 , следствие).
Пример. Написать нормальный вид матрицы $e^{t A}$, где
\[
A=\left[\begin{array}{lll}
2 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 2
\end{array}\right] .
\]
Гак как матрица $A$ в данном случае есть клетка Жордана, го на основании формулы (1.12.4) получаем
\[
e^{t A}=e^{2 t}\left(E+\frac{t}{1 !} I_{1}+\frac{t^{2}}{2 !} I_{2}\right)=e^{2 t}\left[\begin{array}{ccc}
1 & \frac{t}{1 !} & \frac{t^{2}}{2 !} \\
0 & 1 & \frac{t}{1 !} \\
0 & 0 & \vdots
\end{array}\right] .
\]
Замечание. Из формул (1.13.2) и (1.13.4) можно получить оценку нормы матрицы $e^{A t}$.
Пусть
\[
\alpha=\max _{q} \operatorname{Re} \lambda_{q}(A) .
\]
Используя I норму или II норму, на основании формулы (1.13.2) при $t \geqslant 0$ получаем
\[
\begin{array}{l}
\left\|e^{A} t\right\| \leqslant\left\|S^{-1}\right\| \max _{q}\left\|\exp t J_{q}\left(\lambda_{q}\right)\right\|\|S\| \leqslant \\
\leqslant \tilde{c} \max _{q}\left|e^{\lambda} \varphi^{t}\right| \sum_{r=0}^{e} \frac{t^{r}}{r !} \leqslant \tilde{c} e^{a t} P(t),
\end{array}
\]
где $P(t)$ – некоторый целый нолином степени $k=\max _{q}\left(e_{q}-1\right)$. Так как при любом $\equiv>0$ имеем
\[
\lim _{t \rightarrow+\infty} \frac{P(t)}{e^{t t}}=0,
\]
то из формулы (1.13.5) находим
\[
\left\|e^{A t}\right\| \leqslant c e^{(\alpha+\hat{\varepsilon}) t} \text { при } 0 \leqslant t<\infty,
\]
где $c=c(\varepsilon)$ – некоторая положительная постоянная.
Оценка вида (1.13.6) имеет место также и для II нормы.
Отметим, что если характеристические числа матрицы $A$, обладающие наибольшими вещественными частями $\alpha$, имеют простые элементарные делители, то при $t \geqslant 0$ справедлива улучшенная оценка:
\[
\left\|e^{A t}\right\| \leqslant c e^{a t} \text {. }
\]
