Пусть $A$-квадратная матрица. Рассмотрим экспоненциал более общего вида
$$e^{At}\text{, }$$

где $t$ — числовой множитель (параметр). Обозначим через
$${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m(m⩽n)$$

собственные значения матрицы $A$, отвечающие различным клеткам $J_1\left({\lambda }_1\right),\dots ,J_m\left({\lambda }_m\right)$ ее канонической формы Жордана, и пусть $e_1,\dots ,e_m$, соответственно, порядки этих клеток. Тогда
$$A=S^{-1}\mathrm{diag}[J_1\left({\lambda }_1\right),\dots ,J_m\left({\lambda }_m\right)]S,$$

где $S$ — некоторая неособенная матрица ( $\det Seq0$ ).

Воспользовавшись формулой (1.12.1) и учитывая известные свойства квазидиагональных матриц, имеем
$$\begin{array}{c}{e}^{At}=\exp \left\{t{S}^{-1}\mathrm{diag}[J_1\left({\lambda }_1\right),\dots ,J_m\left({\lambda }_m\right)]S\right\}=\\ =S^1\mathrm{diag}[e^{t{J}_1\left({\lambda }_1\right)},\dots ,e^{t{J}_m^{\prime }{m}^{\prime }}]S.\end{array}$$

Так как
$$J_q\left({\lambda }_q\right)={\lambda }_q{E}_q+I_i^q(q=1,\dots ,m),$$

где $E_q$— единичная матрица порядка $q$ и $I_1^{(q)}$ — ее первый единичный косой ряд, то
$$\begin{array}{rl}{e}^{tJ}{q}_q^{i{\lambda }_q}=\sum _{p=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{t^p}{p!}{({\lambda }_q{E}_q+I_1^{(q)})}^p& =\sum _{p=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{t^p}{p!}\sum _{r=0}^p\frac{p!}{r!(p-r)!}{\lambda }_q^{p-r}{I}_r^{(q)}=\\ & =\sum _{r=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{I_r^{(q)}{t}^r}{r!}\sum _{p=r}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\left({\lambda }_{q}t\right)}^{p-r}}{(p-r)!}\end{array}$$

Как известно,
$$I_r^{(q)}={\left[\begin{array}{l}{I}_i^q)\end{array}\right]}^r=0\text{ при }r⩾e_q\text{, }$$

причем
$$\sum _{p=r}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\left({\lambda }_{q}t\right)}^{p-r}}{(p-r)!}=e^{\lambda }{q}^t.$$

Поэтому из формулы (1.13.3) окончательно получаем
$$e^{t{J}_0(\lambda q^{\prime }}=e^{\lambda }{q}^{e^e}\sum _{r=0}^{-1}\frac{t^r}{r!}{I}_r^{(q)}(q=1,\dots ,m),$$

где
$$I_0^{(q)}=E_q.$$

Формулы (1.13.2) и (1.13.4) и дают нормальную форму матрицы.
Заметим, что формулу (1.13.4) можно было непосредственно получить из общих формул (1.9.9) и (1.9.10).

Замечание. Из формул (1.13.2) и (1.13.4) при $t=1$ вытекает, что если $i_q(q=1,\dots ,m)$ — собственные значения матрицы $A$, то $e^{\lambda }$ являются собственными значениями матрицы $e^A$, причем, так как $e^{\lambda }qeq0$, порядки соответствующих клеток Жордана матриц $A$ и $e^A$ одинаковы ( $\mathrm{\$}9$, теорема 3 , следствие).
Пример. Написать нормальный вид матрицы $e^{tA}$, где
$$A=\left[\begin{array}{lll}2& 1& 0\\ 0& 2& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\right].$$

Гак как матрица $A$ в данном случае есть клетка Жордана, го на основании формулы (1.12.4) получаем
$$e^{tA}=e^{2t}(E+\frac{t}{1!}{I}_1+\frac{t^2}{2!}{I}_2)=e^{2t}\left[\begin{array}{ccc}1& \frac{t}{1!}& \frac{t^2}{2!}\\ 0& 1& \frac{t}{1!}\\ 0& 0& ⋮\end{array}\right].$$

Замечание. Из формул (1.13.2) и (1.13.4) можно получить оценку нормы матрицы $e^{At}$.
Пусть
$$\alpha =\underset{q}{max}\mathrm{Re}{\lambda }_q(A).$$

Используя I норму или II норму, на основании формулы (1.13.2) при $t⩾0$ получаем
$$\begin{array}{l}\Vert e^{A}t\Vert ⩽\Vert S^{-1}\Vert \underset{q}{max}\Vert \exp t{J}_q\left({\lambda }_q\right)\Vert \Vert S\Vert ⩽\\ ⩽\tilde{c}\underset{q}{max}\left|e^{\lambda }{\phi }^t\right|\sum _{r=0}^e\frac{t^r}{r!}⩽\tilde{c}{e}^{at}P(t),\end{array}$$

где $P(t)$ — некоторый целый нолином степени $k=\underset{q}{max}(e_q-1)$. Так как при любом $\equiv >0$ имеем
$$\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{P(t)}{e^{tt}}=0,$$

то из формулы (1.13.5) находим
$$\Vert e^{At}\Vert ⩽c{e}^{(\alpha +\hat{\epsilon })t}\text{ при }0⩽t<\mathrm{\infty },$$

где $c=c(\epsilon )$ — некоторая положительная постоянная.
Оценка вида (1.13.6) имеет место также и для II нормы.
Отметим, что если характеристические числа матрицы $A$, обладающие наибольшими вещественными частями $\alpha$, имеют простые элементарные делители, то при $t⩾0$ справедлива улучшенная оценка:
$$\Vert e^{At}\Vert ⩽c{e}^{at}\text{. }$$