Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Рассмотрим однородную систему где $A(t) \in C\left(I^{+}\right)$. Теорема 1. Линейная однородная дифференциальная система (2.7.1) устойчива по Ляпунову тогда и только тогда, когда каждое решение $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}(t)\left(t_{0} \leqslant t<\infty, t_{0} \in I^{+}\right)$этой системы ограничено на полуоси $t_{0} \leqslant t<\infty$. Доказательство. 1) Докажем сначала, что ограниченность решений линейной однородной системы достаточна для ее устойчивости. Пусть любое решение системы (2.7.1) ограничено на $\left[t_{0}, \infty\right) \subset I^{+}$ Рассмотрим нормированную фундаментальную матрицу где $X\left(t_{0}\right)=E$. Так как матрица $X(t)$ состоит из ограниченных функций $x_{j k}(t)$, то она ограничена, т. е. где $M$ — некоторая положительная постоянная, зависящая, вообще говоря, от $t_{0}$. Как известно (2.2.10), каждое решение $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}(t)$ системы (2.7.1) может быть представлено в виде произведения Отсюда получаем если только Следовательно, тривиальное решение $\boldsymbol{x}_{0} \equiv \mathbf{0}$, а значит, в силу теоремы 1 из $\S 6$ и любое решение системы (2.7.1) устойчиво по Ляпунову при $t \rightarrow+\infty$. Пусть система (2.7.1) допускает неограниченное на $\left[t_{0}, \infty\right)$ решение $\boldsymbol{z}(t)$, где, очевидно, $\boldsymbol{z}\left(t_{\theta}\right) Очевидно, причем в силу неограниченности $\boldsymbol{z}(t)$ для неқоторого момента $t_{1}>t_{0}$ имеем Таким образом, тривиальное решение $\boldsymbol{x}_{0} \equiv \mathbf{0}$ системы (2.7.1) неустойчиво по Ляпунову при $t \rightarrow+\infty$, а следовательңо, на основании теоремы 1 из $\S 6$, система (2.7.1) также вполне неустойчива. Заметим, что здесь неустойчивость системы обнаруживается в усиленной форме, так как положительное число $\varepsilon$ произвольно. Следствие. Если неоднородная линейная дифференциальная система устойчива, то все ее решения или ограничены, или не ограничены при $t \rightarrow+\infty$. допускает неограниченное решение $y_{0}=t$. Так как то решение $y_{0}$, очевидно, устойчиво и даже асимптотически. Интегрируя, будем иметь (рис. 9) и Все решения (2.7.2) и (2.7.3), очевидно, ограничены на $(-\infty,+\infty)$. Однако решение $x_{0}=0$ неустойчиво при $t \rightarrow+\infty$, так как при любом $x_{0} \in(0, \pi)$ имеем Теорема 2. Линейная однородная дифференциальная система (2.7.1) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все ее решения $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}(t)$ стремятся к нулю при $t \rightarrow+\infty$, т. е. Доказательство. 1) Пусть система (2.7.1) асимптотически устойчива при $t \rightarrow+\infty$. Тогда все ее решения, в том числе тривиальное $x_{0} \equiv 0$, асимптотически устойчивы при $t \rightarrow+\infty$. Следовательно (см. $\S 1$, определение 4 ), для любого решения $\xi(t)$ системы (2.7.1) имеем если только $\left\|\boldsymbol{\xi}\left(t_{\theta}\right)\right\|<\Delta$, где $t_{0} \in I^{+}$произвольно. где Так как решение $\xi(t)$, очевидно, удовлетворяет условию то для него справедливо соотношение (2.7.5). Следовательно, Таким образом, необходимость условия теоремы доказана. Так как на конечном отрезке $\left[t_{0}, T\right]$ непрерывная век ор-функция $\boldsymbol{x}(t)$ ограничена, то любое решение $\boldsymbol{x}(t)$ ограничено на полупрямой $\left[t_{0}, \infty\right)$ и, следовательно, на основании теоремы 1 система (2.7.1) устойчива, причем ее тривиальное решение асимптотически устойчиво. Отсюда в силу теоремы 3 из § 6 вытекает асимптотическая устойчивость системы (2.7.1). Следствие. Асимптотически устойчивая линейная дифференциальная система асимптотически устойчива в целом ( $\$ 1$, определение 5). Замечание. Для нелинейной дифференциальной системы стремление к нулю всех решений, вообще говоря, не является достаточным условием для асимптотической устойчивости тривиального решения ее. допускающую тривиальное решение $x=0, y=0$. Интегрируя, получим или, полагая $t_{0}=1$, будем иметь Очевидно, Однако для любого $\delta>0$ при $x\left(t_{0}\right)=\delta^{2}, \quad y\left(t_{0}\right)=\delta$ будем иметь $x\left(1+\frac{1}{8^{2}}\right)>e^{-1}$. Следовательно, решение $x=0, y=0$ не является устойчивым, а тем более асимптотически устойчивым при $t \rightarrow+\infty$ (рис. 10).
|
1 |
Оглавление
|