Рассмотрим однородную систему
\[
\frac{d x}{d t}=A(t) x,
\]

где $A(t) \in C\left(I^{+}\right)$.
Покажем, что устойчивость системы (2.7.1) эквивалентна ограниченности всех ее решений.

Теорема 1. Линейная однородная дифференциальная система (2.7.1) устойчива по Ляпунову тогда и только тогда, когда каждое решение $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}(t)\left(t_{0} \leqslant t<\infty, t_{0} \in I^{+}\right)$этой системы ограничено на полуоси $t_{0} \leqslant t<\infty$.

Доказательство. 1) Докажем сначала, что ограниченность решений линейной однородной системы достаточна для ее устойчивости.

Пусть любое решение системы (2.7.1) ограничено на $\left[t_{0}, \infty\right) \subset I^{+}$ Рассмотрим нормированную фундаментальную матрицу
\[
X(t)=\left[x_{j k}(t)\right],
\]

где $X\left(t_{0}\right)=E$. Так как матрица $X(t)$ состоит из ограниченных функций $x_{j k}(t)$, то она ограничена, т. е.
\[
\|X(t)\| \leqslant M \text { при } t_{0} \leqslant t<\infty,
\]

где $M$ – некоторая положительная постоянная, зависящая, вообще говоря, от $t_{0}$.

Как известно (2.2.10), каждое решение $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}(t)$ системы (2.7.1) может быть представлено в виде произведения
\[
\boldsymbol{x}(t)=X(t) \boldsymbol{x}\left(t_{0}\right) .
\]

Отсюда получаем
\[
\|\boldsymbol{x}(t)\| \leqslant\|X(t)\|\left\|\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)\right\| \leqslant M\left\|\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)\right\|<\varepsilon,
\]

если только
\[
\left\|\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)\right\|<\frac{\varepsilon}{M}=\delta .
\]

Следовательно, тривиальное решение $\boldsymbol{x}_{0} \equiv \mathbf{0}$, а значит, в силу теоремы 1 из $\S 6$ и любое решение системы (2.7.1) устойчиво по Ляпунову при $t \rightarrow+\infty$.
Таким образом, система (2.7.1) устойчива.
2) Докажем теперь, что ограниченность решений линейной однородной системы необходима для ее устойчивости.

Пусть система (2.7.1) допускает неограниченное на $\left[t_{0}, \infty\right)$ решение $\boldsymbol{z}(t)$, где, очевидно, $\boldsymbol{z}\left(t_{\theta}\right)
eq 0$. Фиксируя два положительных числа $\varepsilon>0$ и $\delta>0$, рассмотрим решение
\[
\boldsymbol{x}(t)=\frac{\boldsymbol{z}(t)}{\left\|\boldsymbol{z}\left(\boldsymbol{t}_{0}\right)\right\|} \frac{\delta}{2} .
\]

Очевидно,
\[
\left\|\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)\right\|=\frac{\delta}{2}<\delta,
\]

причем в силу неограниченности $\boldsymbol{z}(t)$ для неқоторого момента $t_{1}>t_{0}$ имеем
\[
\left\|\boldsymbol{x}\left(t_{1}\right)\right\|=\frac{\left\|\boldsymbol{z}\left(t_{1}\right)\right\|}{\left\|\boldsymbol{z}\left(t_{0}\right)\right\|} \frac{\delta}{2}>\varepsilon .
\]

Таким образом, тривиальное решение $\boldsymbol{x}_{0} \equiv \mathbf{0}$ системы (2.7.1) неустойчиво по Ляпунову при $t \rightarrow+\infty$, а следовательңо, на основании теоремы 1 из $\S 6$, система (2.7.1) также вполне неустойчива.

Заметим, что здесь неустойчивость системы обнаруживается в усиленной форме, так как положительное число $\varepsilon$ произвольно.

Следствие. Если неоднородная линейная дифференциальная система устойчива, то все ее решения или ограничены, или не ограничены при $t \rightarrow+\infty$.
Пример. Скалярное уравнение
\[
\frac{d y}{d t}=1+t-y
\]

допускает неограниченное решение $y_{0}=t$. Так как
\[
y(t)=t+y(0) e^{-t},
\]

то решение $y_{0}$, очевидно, устойчиво и даже асимптотически.
Замечание. Для нелинейной дифференциальной системы из ограниченности ее решений, вообще говоря, не следует устойчивость их.
Пример. Рассмотрим скалярное уравнение
\[
\frac{d x}{d t}=\sin ^{2} x .
\]

Интегрируя, будем иметь (рис. 9)
\[
x=\operatorname{Arcctg}\left(\operatorname{ctg} x_{0}-t\right) \text { при } x_{0}
eq k \pi
\]

и
\[
x=k \pi \text { при } x_{0}=k \pi \quad(k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots) .
\]

Все решения (2.7.2) и (2.7.3), очевидно, ограничены на $(-\infty,+\infty)$.
Рис. 9.

Однако решение $x_{0}=0$ неустойчиво при $t \rightarrow+\infty$, так как при любом $x_{0} \in(0, \pi)$ имеем
\[
\lim _{t \rightarrow+\infty} x=\pi
\]

Теорема 2. Линейная однородная дифференциальная система (2.7.1) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все ее решения $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}(t)$ стремятся к нулю при $t \rightarrow+\infty$, т. е.
\[
\lim _{t \rightarrow+\infty} x(t)=0 .
\]

Доказательство. 1) Пусть система (2.7.1) асимптотически устойчива при $t \rightarrow+\infty$. Тогда все ее решения, в том числе тривиальное $x_{0} \equiv 0$, асимптотически устойчивы при $t \rightarrow+\infty$. Следовательно (см. $\S 1$, определение 4 ), для любого решения $\xi(t)$ системы (2.7.1) имеем
\[
\lim _{t \rightarrow+\infty} \xi(t)=\mathbf{0},
\]

если только $\left\|\boldsymbol{\xi}\left(t_{\theta}\right)\right\|<\Delta$, где $t_{0} \in I^{+}$произвольно.
Рассмотрим произвольное решение $\boldsymbol{x}(t)$, определяемое начальным условием $\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)=\boldsymbol{x}_{0}
eq 0$. Положим
\[
\boldsymbol{x}(t)=\xi(t) \frac{\left\|x\left(t_{0}\right)\right\|}{\frac{1}{2} \Delta},
\]

где
\[
\xi(t)=\frac{x(t)}{\left\|x\left(t_{0}\right)\right\|} \frac{\Delta}{2} .
\]

Так как решение $\xi(t)$, очевидно, удовлетворяет условию
\[
\left\|\xi\left(t_{0}\right)\right\|=\frac{\Delta}{2}<\Delta,
\]

то для него справедливо соотношение (2.7.5). Следовательно,
\[
\lim _{t \rightarrow+\infty} \boldsymbol{x}(t)=\mathbf{0} .
\]

Таким образом, необходимость условия теоремы доказана.
2) Пусть условие (2.7.4) выполнено. Тогда для каждого решения $\boldsymbol{x}(t)\left(t_{0} \leqslant t<\infty\right)$ будем иметь
\[
\|\boldsymbol{x}(t)\|<1 \text { при } T<t<\infty .
\]

Так как на конечном отрезке $\left[t_{0}, T\right]$ непрерывная век ор-функция $\boldsymbol{x}(t)$ ограничена, то любое решение $\boldsymbol{x}(t)$ ограничено на полупрямой $\left[t_{0}, \infty\right)$ и, следовательно, на основании теоремы 1 система (2.7.1) устойчива, причем ее тривиальное решение асимптотически устойчиво. Отсюда в силу теоремы 3 из § 6 вытекает асимптотическая устойчивость системы (2.7.1).

Следствие. Асимптотически устойчивая линейная дифференциальная система асимптотически устойчива в целом ( $\$ 1$, определение 5).

Замечание. Для нелинейной дифференциальной системы стремление к нулю всех решений, вообще говоря, не является достаточным условием для асимптотической устойчивости тривиального решения ее.
Пример. Рассмотрим систему
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{d x}{d t} & =\frac{x}{t}-t^{2} x y^{2}, \\
\frac{d y}{d t} & =-\frac{y}{t} \\
(t \geqslant 1),
\end{array}\right\}
\]

допускающую тривиальное решение $x=0, y=0$. Интегрируя, получим
\[
\left.\begin{array}{l}
x=c_{1} t e^{-c_{2}^{2} t} \\
y=\frac{c_{\mathrm{a}}}{t}
\end{array}\right\}
\]

или, полагая $t_{0}=1$, будем иметь
\[
\left.\begin{array}{l}
x(t)=x\left(t_{0}\right) t e^{-y^{2}\left(t_{0}\right)(t-1)}, \\
y(t)=\frac{y\left(t_{0}\right)}{t} .
\end{array}\right\}
\]

Очевидно,
\[
x(t) \rightarrow 0 \text { и } y(t) \rightarrow 0 \text { ири } t \rightarrow+\infty .
\]

Однако для любого $\delta>0$ при $x\left(t_{0}\right)=\delta^{2}, \quad y\left(t_{0}\right)=\delta$ будем иметь $x\left(1+\frac{1}{8^{2}}\right)>e^{-1}$.
Рис. 10.

Следовательно, решение $x=0, y=0$ не является устойчивым, а тем более асимптотически устойчивым при $t \rightarrow+\infty$ (рис. 10).