В этом параграфе будут установлены достаточные условия орбитальной устойчивости периодического решения автономной системы. Предварительно докажем три леммы (см. [28]).
Лемма 1. Пусть действительная периодическая система
$$\frac{dx}{dt}=P(t)x,$$

где $P(t)\in C(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ и $P(t+\omega )=P(t)(\omega >0)$ имеет один мультипликатор $p_1=1$, а модули всех остальных ее мультипликаторов ${\rho }_j(j=2,\dots ,n)$ меньше единицы:
$$\left|{\rho }_j\right|<1\text{ при }jeq1.$$

Тогда для системь (4.20.1) существует фундаментальная матрица специального вида
$$X(t)=\mathrm{\Phi }(t)\mathrm{diag}(E_1,e^{C_{1}t}),$$

где $\mathrm{\Phi }(t)$ — действительная неособенная (-периодическая непрерывно дифференцируемая $(n\times n)$-матрица, $E_1=1$ и $C_1$-действительная постоянная ( $n-1)\times (n-1)$-матрица, все характеристические корни которой имеют отрицательные действительные части:
$$\mathrm{Re}{\lambda }_j\left(C_1\right)<0(j=1,\dots ,n-1).$$

Доказательство. Пусть $\tilde{X}(t)(\tilde{X}(0)=E)$ — нормированная фундаментальная матрица системы (4.20.1). Так как матрица $P(t)$ — $\omega$-периодическая, то справедливо соотношение
$$\tilde{X}(t+\omega )=\tilde{X}(t)\tilde{X}(\omega ).$$

В силу условия теоремы для матрицы монодромии $\tilde{X}(\omega )$ одно из ее собственных значений равно 1, а все другие по модулю меньше 1. Поэтому существует действительная неособенная матрица $A$ такая, что
$$A^{-1}\tilde{X}(\omega )A=\mathrm{diag}(E_1,B_1)\equiv B,$$

где $B_1$ — действительная матрица типа $(n-1)\times (n-1{)}^1)$, все характеристические числа которой по модулю меньше 1. Тогда, вводя действительную фундаментальную матрицу
$$X(t)=\tilde{X}(t)A,$$

на основании соотношений (4.20.3) и (4.20.4) будем иметь
$$X(t+\omega )=\tilde{X}(t+\omega )A=\hat{X}(t)\tilde{X}(\omega )A=X(t)B.$$

Для матрицы $X(t)$ из (4.20.5) построим основную матрицу (обобщение, § 15 гл. III)
$$C=X^{-1}(0)X(\omega )=A^{-1}{\tilde{X}}^{-1}(0)\tilde{X}(\omega )A=B,$$

и пусть
$$\mathrm{\Lambda }=\frac{1}{\omega }\mathrm{Ln}B=\mathrm{diag}(0,C_1),$$

где
$$C_1=\frac{1}{\omega }\mathrm{Ln}{B}_1.$$

Согласно теореме Флоке имеем
$$X(t)=\mathrm{\Phi }(t)e^{\mathrm{\Lambda }t},$$

где $\mathrm{\Phi }(t)$ — неособенная $\omega$-периодическая матрица. Отсюда на основании формулы (4.20.6) получим
$$X(t)=\mathrm{\Phi }(t)\mathrm{diag}(E_1,e^{C_{1}t}),$$

где
$$\mathrm{Re}{\lambda }_j\left(C_1\right)=\mathrm{Re}\left[\frac{1}{\omega }\mathrm{Ln}{\lambda }_j\left(B_1\right)\right]<0.$$

Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Пусть $X(t)$ — дєйствительная фундаментальная матрица системы (4.20.1) вида (4.20.2) и
$$G(t,s)=\{\begin{array}{c}X(t)\mathrm{diag}(0,E_{n-1})X^{-1}(s)\text{ при }t>s,\\ -X(t)\mathrm{diag}(E_1,0)X^{-1}(s)\text{ при }t<s,\end{array}$$

где $E_p(p=1,\dots ,n)$ — единичная матрица соответствующего порядка. Тогда матрица $G(t,s)$ обладает следующими свойствами:
1) $G(t,t-0)-G(t,t+0)=E_n$;
2) ${\dot{G}}_t(t,s)=P(t)G(t,s)$ при $teqs$;
3) $\Vert G(t,s)\Vert ⩽\{\begin{array}{ll}k{e}^{-\alpha (t-s)}& \text{ при }t>s,\\ k& \text{ при }t<s,\end{array}$ где $\alpha >0$ и $k>0$ — постоянные;
1) Можно, например, воспользоваться приведением матрицы $\tilde{X}($ ( ) к нормальной форме Жордана в поле дейстьительных чисел (см. [4]).

4) вектор-функция
$$\mathit{y}(t)=X(t)\mathit{a}+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}G(t,s)\mathit{f}(s)ds,$$

где $\mathit{a}$-произвольный постоянный вектор с нулевой первой координатой, т. $е$.
$$(a,e_1)=0,e_1=\mathrm{colon}(1,0,\dots ,0)$$
$u$
$$f(t)\in C[0,\mathrm{\infty }),{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\Vert f(t)\Vert dt<\mathrm{\infty },$$

является решением неоднородной системь
$$\frac{dy}{dt}=P(t)y+f(t),$$

стремящимся к нулю при $t\to \mathrm{\infty }$ :
$$y(\mathrm{\infty })=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}y(t)=0.$$

Доказательство. Свойства 1) и 2) непосредственно вытекают из формулы (4.20.8).
В силу структуры матрицы $X(t)$ имеем
$$X(t)=\mathrm{\Phi }(t)\mathrm{diag}(E_1,e^{C_{1}t})$$

и
$$X^{-1}(s)=\mathrm{diag}(E_1,e^{-C_{1}s}){\mathrm{\Phi }}^{-1}(s),$$

где $\mathrm{\Phi }(t)-\omega$-периодическая матрица. Следовательно,
$$G(t,s)=\mathrm{\Phi }(t)\mathrm{diag}(0,e^{{\zeta }_1(t-s)}){\mathrm{\Phi }}^{-1}(s)\text{ при }t>s$$

и
$$G(t,s)=-\mathrm{\Phi }(t)\mathrm{diag}(E_1,0){\mathrm{\Phi }}^{-1}(s)\text{ при }t<s.$$

Так как все характеристические корни матрицы $C_1$ имеют отрицательные действительные части, а матрица $\mathrm{\Phi }(t)$ ограничена вместе с матрицей ${\mathrm{\Phi }}^{-1}(t)$, то, пслагая
$$0<\alpha <\underset{j}{min}[-\mathrm{Re}{\lambda }_j\left(C_1\right)]$$

получим оценки 3).
Рассмотрим теперь функцию $\mathit{y}(t)$, определяемую формулой (4.20.9). Так как $\Vert G(t,s)\Vert ⩽k$ при $t,s⩾0$, то имеем
$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\Vert G(t,s)\Vert \Vert \mathit{f}(s)\Vert ds⩽k{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\Vert \mathit{f}(s)\Vert ds<\mathrm{\infty }$$

и, следовательно, несобственный интеграл, стоящий в правой части равенства (4.20.9), является абсолютно сходящимся.
Записав формулу (4.20.9) в виде
$$\mathit{y}(t)=X(t)\mathit{a}+{\int }_0^{t}G(t,s)\mathit{f}(s)ds+{\int }_i^{\mathrm{\infty }}G(t,s)\mathit{f}(s)ds$$

и дифференцируя по параметру $t$, используя свойства 1) и 2), иаходим
$$\begin{array}{rl}\dot{y}(t)=& \dot{X}(t)\mathit{a}+\\ & +[G(t,t-0)-G(t,t+0)]\mathit{f}(t)+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\hat{G}}_t(t,s)\mathit{f}(s)ds=\\ & =P(t)X(t)\mathit{a}+\mathit{f}(t)+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}P(t)G(t,s)\mathit{f}(\mathrm{s})ds,\end{array}$$
T. e.
$$\dot{\mathit{y}}(t)=P(t;y(t)+\mathit{f}(t)$$

и, таким образом, $y(t)$ является решением неоднородной системы (4.20.10). Законность дифференширования под знаком интеграла легко проверить.
Учитывая структуру матриць: $X(t)$, будем иметь
$$X(t)\mathit{a}\to 0\text{ при }t\to \mathrm{\infty }.$$

Кроме того, на основании неравенства 3) получаем
$$\begin{array}{c}\Vert {\int }_0^{\mathrm{\infty }}G(t,s)\mathit{f}(s)ds\Vert ⩽{\int }_0^{\frac{t}{2}}\Vert \mathit{G}(t,s)\Vert \Vert \mathit{f}(s)\Vert ds+{\int }_{\frac{t}{2}}^{\mathrm{\infty }}\Vert \mathit{G}(t,s)\Vert \mathit{f}(s)\Vert ds⩽\\ ⩽{\int }_0^{\frac{t}{2}}k{e}^{-\alpha (t-s)}\Vert \mathit{f}(s)\Vert ds+{\int }_{\frac{t}{2}}^{\mathrm{\infty }}k\Vert \mathit{f}(s)\Vert ds⩽\\ ⩽k{e}^{-\frac{at}{2}}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\Vert \mathit{f}(s)\Vert ds+k{\int }_{\frac{i}{2}}^{\mathrm{\infty }}\Vert \mathit{f}(\mathrm{s})\Vert ds<\epsilon ,\end{array}$$

если $t>T(\epsilon )$. Поэтому
$$\begin{array}{c}\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}G(t,s)\mathit{f}(s)ds=\mathbf{0}.\\ \underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\mathit{y}(t)=\mathbf{0}.\end{array}$$

Лемма 2 полностью доказана.

Лемма 3. Пусть дана нелинейная система
$$\frac{d\mathit{z}}{dt}=P(t)z+\phi (t,z),$$

где ш-периодическая матрица $P(t)$ удовлетворяет условиям леммы 1 , а нелинейная вектор-функция $\mathbf{\Psi }(t,\mathit{z})$ w-периодична по $t$ и удовлетворяет условию Липшица по $z$ :
$$\begin{array}{l}\mathit{\phi }(t,{\mathit{z}}^{\prime })-\mathit{\phi }(t,\mathit{z})\Vert ⩽N\Vert {\mathit{z}}^{\prime }-\mathit{z}\Vert \\ (t\in [0,\mathrm{\infty }),\mathit{z}<\mathrm{\Delta },\Vert {\mathit{z}}^{\prime }\Vert <\mathrm{\Delta }),\end{array}$$

причем $\phi (t,\mathbf{0})=0$.
Рассмотрим интегральное уравнение
$$\mathit{z}(t,\mathit{a})=X(t)\mathit{a}+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}G(t,s)\mathit{\phi }(s,\mathit{z}(s,\mathit{a}))ds,$$

где $X(t)$ — фундаментальная матрица соответствующей однородной системы (4. 20.1), имеющая специальный вид (4.20.2), $G(t,s)$ определяется формулой (4.20.8) и а-произвольный постоянный вектор такой, что
$$(a,e_1)=0\text{. }$$

Тогда, если константа Липициа $N$ достаточно мала, то при $a<a_0$ интегральное уравнение (4.20.13) имеет решение $z(t,a)$, представляющее собой ( $n-1$ )-параметрическое семейство решений дифференциальной системы (4.20.11), обращающихся в нуль ка бесконечности:
$$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\mathit{z}(t,a)=0.$$

Доказательство. В силу формулы (4.20.2) при $t⩾0$ справедлива оценка
$$\Vert X(t)\mathit{a}\Vert ⩽k_1\Vert \mathit{a}\Vert e^{-\alpha ,t},$$

где $k_1(k_1⩾1)$ — некоторая положительная постоянная и
$$0<\alpha <\underset{j}{min}\mathrm{Re}[-{\lambda }_j\left(C_1\right)].$$

Предположим, что $k$ — постоянная из леммы 2 и константа Липшица $N$ удовлетворяет условию
$$N<\frac{\alpha }{8k}.$$

Применяя метод последовательных приближений, покажем, что если
$$\mathit{a}:\frac{\mathrm{\Delta }}{2k_1}=a_0,$$

то интегральное уравнение (4.20.13) при $t⩾0$ имеет решение

Второй Метод ляпунова
1.i. iv
$\mathit{z}(t,a)$, причем
$$\mathit{z}(t,\mathit{a})=2k_1;\mathit{a}{e}^{-\frac{\alpha }{2}t}<\mathrm{\Delta }.$$

За начальное приближение примем ${\mathit{z}}_0(t,\mathit{a})=\mathbf{0}$ и, как обычно, пюложим
$${\mathit{z}}_p(t,\mathit{a})=X(t)\mathit{a}+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}G(t,s)⇝(s,{\mathit{z}}_{p-1}(s,\mathit{a}))ds(p=1,2,\dots ).$$

Так как $\phi (s,0)=0$, то в силу неравенства (4.20.15) при $t⩾0$ имеем
$$\Vert {\mathit{z}}_1(t,\mathit{a})-{\mathit{z}}_0(t,\mathit{a})\Vert =\Vert X(t)\mathit{a}\Vert ⩽k_1\Vert \mathit{a}\Vert e^{-at}⩽k_1\Vert \mathit{a}\Vert e^{—\frac{a}{2}t}.$$

Пусть теперь
$$\Vert {\mathit{z}}_p(t,\mathit{a})-{\mathit{z}}_{p-1}(t,\mathit{a})\Vert ⩽\frac{k_1}{2^{\rho -1}}|\mathit{a}\Vert e^{-\frac{a}{2}t}\text{ при }t⩾0;$$

тогда в силу (4.20.18), учитывая неравенство (4.20.16) и оценку 3 ) для $\Vert G(t,s)$ (см. лемму 2), будем иметь
$$\begin{array}{l}\Vert z_{p+1}(t,a)-z_p(t,a)\Vert ⩽\\ ⩽{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\Vert G(t,s)\Vert \phi (s,z_p(s,a))-\phi (s,z_{p\cdot 1}(s,a))\Vert ds⩽\\ ⩽{\int }_0^{\mathrm{\infty }}|G(t,s)|\cdot \frac{\alpha }{8k}\Vert {\mathit{z}}_p(s,\mathit{a})-{\mathit{z}}_{p-1}(s,\mathit{a})\Vert d\mathrm{s}⩽\\ ⩽\frac{\alpha }{8k}\{{\int }_0^{t}k{e}^{-\gamma (t-s)}\cdot \frac{k_1}{2^{p-1}}\Vert \mathit{a}\Vert e^{-\frac{x}{2}s}ds+{\int }_i^{\mathrm{\infty }}k\cdot \frac{k_1}{2^{p-1}}\Vert \mathit{a}\Vert e^{-\frac{\alpha }{2}s}ds\}⩽\\ ⩽\frac{\alpha k_1}{2^{p-1}}\mathit{a}\Vert (\frac{2}{\alpha }{e}^{-\frac{\alpha t}{2}}+\frac{2}{\alpha }{e}^{-\frac{\alpha t}{2})}=\frac{k_1}{2^p}\Vert \mathit{a}\Vert e^{-\frac{\alpha t}{2}}<\mathrm{\Delta }\text{ при }t⩾0\\ (p=1,2,\dots )\text{. }\end{array}$$

Таким образом, на основаних принципа математической индукции заключаем, что все приближения ${\mathit{z}}_p(t,a)(p=1,2,\dots )$ имеют смысл и для них справедлива оценка (4.20.19). Отсюда, так как
$$z_p(t,a)=\sum _{q=1}^p[z_q(t,a)-{\mathit{z}}_{q-1}(t,a)]$$

то существует
$$\underset{p\to \mathrm{\infty }}{lim}{z}_p(t,a)=\mathit{z}(t,\mathit{a}),$$

причем сходимость последовательности равномерна в области
$$Z\{0⩽t<\mathrm{\infty },|\mathit{a}|<\frac{\mathrm{\Delta }}{4k_1}\}$$

и, значит, предельная функция $\mathit{z}(t,\mathit{a})$ непрерывна по совокупности переменных $t$ и $\mathit{a}$ при достаточно малой $\mathit{a}\mid$.

Переходя к пределу при $p\to \mathrm{\infty }$ в равенстве (4.20.18), получаем
$$\mathit{z}(t,\mathit{a})=X(t)\mathit{a}+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}G(t,s)\mathit{\phi }(s,\mathit{z}(t,\mathit{a}))ds,$$
т. е. $\mathit{z}(t,\mathit{a})$ в области $Z$ является решением интегрального уравнения (4.20.13). Отсюда, дифференцируя по $t$ последнее соотношение и используя свойства функции $G(t,s)$, будем иметь
$$\dot{\mathit{z}}(t,\mathit{a})=P(t)\mathit{z}(t,\mathit{a})+\mathit{\phi }(t,\mathit{z}(t,\mathit{a})),$$
т. е. $\mathit{z}(t,\mathit{a})$ в области $Z$ есть решение нелинейной дифференциальной системы (4.20.11).
Далее, из неравенств (4.20.19) выводим
$$\begin{array}{l}\Vert \mathit{z}(t,\mathit{a})\Vert ⩽\Vert {\mathit{z}}_0(t,\mathit{a})+\sum \Vert {\mathit{z}}_p(t,\mathit{a})-{\mathit{z}}_{p-1}(t,\mathit{a})\Vert ⩽\\ ⩽\sum _{p=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{k_1}{2^{p-1}}\Vert \mathit{a}{e}^{-\frac{\alpha }{2}t}⩽2k_1\Vert \mathit{a}\Vert e^{-\frac{t}{2}t}<\mathrm{\Delta }\text{ при }t⩾0.\text{ (4.20.20) }\end{array}$$

Следовательно,
$$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\mathit{z}(t,\mathit{a})=\mathbf{0},\text{ если }\Vert \mathit{a}\Vert <\frac{\mathrm{\Delta }}{4k_1}$$

в частности, при $\mathit{a}=\mathbf{0}$ имеем
$$\mathit{z}(t,\mathbf{0})\equiv \mathbf{0}.$$

Лемма 3 доказана.
Рассмотрим теперь действительную автономную систему
$$\frac{dy}{dt}=f(y)$$

где $\mathit{f}(\mathit{y})\in C^1(\Vert \mathit{y}\Vert <H)$, и пусть $\mathit{\eta }=\mathit{\eta }(t)$ — — -периодическое еe решение такое, что $\Vert \eta (t)\Vert ⩽h<H$. Уравнения в вариация здесь имеют вид
$$\frac{dx}{dt}=f_y^{\prime }(\eta (t))x$$

Аналог теоремы Андронов а-Витта (см. [52], [28]). Пусть автономная система (4.20.21) допускает ш-периодическое решение $\mathit{\eta }(t)$, не являющееся тождественной постоянкой ( $\dot{\mathit{\eta }}(t)eq0$ ), причем уравнения в вариациях (4.20.22) для эпого решения имеют один простой нулевой характеристический показатель, а все остальные -с отрицательными действительными частями. Тогда периодическое решение $\eta (t)$ асимптотически орбитально устойчиво nри $t\to \mathrm{\infty }$.

Более того, для каждого близкого к $\eta (t)$ решения $\mathit{y}(t)$ сущестеует асимптотическая фаза, т. е. если $\mathrm{\Delta }>0$ достаточно мало и
$$\mathit{y}\left(t_1\right)-\mathit{\eta }\left(t_0\right)\Vert <\mathrm{\Delta }$$

для некоторых $t_0$ и $t_1$, то найдепия постоянная $c=c[y]$ такая, что
$$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}[y(t+c)-\eta (t)]=0.$$

Доказательство (см. [28]). 1) Выберем новую прямоугольную систему координат $O^{\prime }{v}_1\dots v_n$, начало которой $O^{\prime }$ находится в точке $\eta (0)$, а первая ось $O^{\prime }{v}_1$ имеет направление,
Рис. 48.

определяемое вектором $\dot{\eta }(0)$ (рис. 48). Тогда система (4.20.21) примет вид
$$\frac{dv}{dt}=g(v),$$

где снова $\mathit{g}(\mathit{v})\in C^{\mathrm{I}}$.
Периодическое решение $\eta (t)$ при этом перейдет в периодическое решение ${\mathit{v}}_0=\mathit{p}(t)$, обладающее следующими свойствами:
$$p(0)=0,\dot{p}(0)=e_1\Vert \dot{p}(0)$$

где
$${\mathit{e}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right]\text{. }$$

уравнения в вариациях, соответственно, будут иметь вид
$$\frac{d\mathit{u}}{dt}={\mathit{g}}_v^{\prime }(\mathit{p}(t))\mathit{u},$$

причем, очевидно, характеристические показатели периодический системы (4.20.26) совпадают с характеристическими показателями системы в вариациях (4.20.22). Согласно лемме 1 для системы (4.20.26) существует действительная фундаментальная матрица вида
$$U(t)=\mathrm{\Phi }(t)\mathrm{diag}(E_1,e^{C_{1}t}),$$

где $\mathrm{\Phi }(t+\omega )=\mathrm{\Phi }(t)$ и $\mathrm{Re}{\lambda }_j\left(C_1\right)<0$. Из формулы (4.20.27) вытекает, что первый столбец матрицы $U(t)$ представляет собой $\omega$-периодическое решение уравнения (4.20.26). Так как $\dot{\mathit{p}}(t)$ является $\omega$-периодическим решением уравнений в вариация (4.20.26) (см. §18) и в силу условия телремы это решение единственно, с точностью до скалярного постоянного множителя, то можно принять
$$U(t)=[\frac{\dot{\mathit{p}}(t)}{\dot{\mathit{p}}(0)!!},U_1(t)],$$

где $U_1(t)$ — матрица типа $n\times (n-1)$, причем
$$U(0)=[e_1,U_1(0)].$$

Положим
$$\mathit{v}=\mathit{p}(t)+\mathit{z}.$$

Тогда уравнение (4.20.24) примет вид
$$\frac{dz}{dt}=g_v^{\prime }(p(t)\}z+\phi (t,z),$$

где
$$\phi (t,\mathit{z})=[\mathit{g}(\mathit{p}(t)+\mathit{z})-\mathit{g}(\mathit{p}(t))]-{\mathit{g}}_v^{\prime }(\mathit{p}(t))\mathit{z}.$$

Так как
$${\phi }_z^{\prime }(t,z)={\mathit{g}}_v^{\prime }(p(t)+z)-{\mathit{g}}_v^{\prime }(p(t)),$$

то
$$\phi (t,0)={\phi }_z^{\prime }(t,0)\equiv 0$$

и
$$\phi (t,z)\underset{t}{\to }0,{\phi }_z^{\prime }(t,z)\underset{t}{\to }\mathrm{\Theta }-\text{ при }z\to 0.$$

Отсюда следует, что $\phi (t,\mathit{z})$ удсвлетворяет условию Липшица:
$$\begin{array}{l}\Vert \phi (t,{\mathit{z}}^{\prime })-\phi (t,\mathit{z})\Vert ⩽N\Vert {\mathit{z}}^{\ast }-\mathit{z}\Vert \\ (t\in [0,\mathrm{\infty }),\Vert \mathit{z}\Vert <\mathrm{\Delta },\Vert {\mathit{z}}^{\prime }\Vert <\mathrm{\Delta }),\end{array}$$

где константа Липшица $N$ сколь угодно мала, если число $\mathrm{\Delta }$ достаточно мало.
Пусть
$$a=\left[\begin{array}{c}0\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right]$$
— любой вектор, перпендикулярный орту $e_1$.

В силу леммы 3 при $\Vert \mathit{a}\Vert <a_0$ нелинейная система (4.20.30) допускает непрерывное по $\mathit{a}$ многообразие решений
$$\mathit{z}(t,\mathit{a})\to 0\text{ при }t\to \mathrm{\infty },$$

норма которых подчинена неравенству (4.20.20). Эти решения удовлетворяют интегральному уравнению
$$\mathit{z}(t,\mathit{a})=U(t)\mathit{a}+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}G(t,s)\mathit{\phi }(s,\mathit{z}(s,\mathit{a}))ds,$$

где аналогично (4.20.2) имеем
$$G(t,s)=\{\begin{array}{c}U(t)\mathrm{diag}(0,E_{n-1})U^{-1}(s)\\ \text{ при }s<t,\\ -U(t)\mathrm{diag}(E_1,0)U^{-1}(s)\\ \text{ при }s>t,\end{array}$$

причем
$$\mid G(t,s)\Vert ⩽\{\begin{array}{ll}k{e}^{-\alpha (t-s)}& \text{ при }s<t,\\ k& \text{ при }s>t.\end{array}$$
2) Установим связь между началыным значениями $z^{(0)}=$ $=\mathit{z}(0,\mathit{a})$ решения $\mathit{z}(t,\mathit{a})$ и параметром $\mathit{a}$. Из уравнения (4.20.32), полагая $t=0$ и учитывая формулы (4.20.33), имеем
$${\mathit{z}}^{(0)}=U(0)\mathit{a}-U(0)\mathrm{diag}(E_1,0){\int }_0^{\mathrm{\infty }}{U}^{-1}(s)\mathit{\phi }(s,\mathit{z}(s,\mathit{a}))ds,$$

где интеграл справа сходится абсолютно и равномерно по параметру $\mathit{a}$ при $\Vert \mathit{a}\Vert <a_0$.
Используя формулу (4.20.29), получаем
$$U(0)\mathrm{diag}(E_1,0)=\mathrm{diag}(E_1,0).$$

Отсюда, полагая
$$z^{(0)}=\left[\begin{array}{c}{z}_1^{\prime \prime }\\ ⋮\\ z_n^{in}\end{array}\right]$$

и переходя в векторном уравнении (4.20.34) к координатам, будем иметь систему скалярных уравнений
$$\{\begin{array}{l}{z}_1^{\prime \prime }=\sum _{j=2}^n{c}_j^{\prime \prime }{a}_j+\tilde{\psi }(a_2,\dots ,a_n),\\ z_k^{\prime \prime }=\sum _{j=2}^n{c}_j^{(k)}{a}_j(k=2,\dots ,n),\end{array}$$

где $c_j^{(k)}$ — соответствующие элементы матрицы $U_1(0)$ и
$$\tilde{\psi }(a_2,\dots ,a_n)={[{\int }_0^{\mathrm{\infty }}G(0,s)\phi (s,\mathit{z}(s,\mathit{a}))ds]}_1$$
(символ [ ] обозначает первую компоненту соответствующего вектора), причем $\tilde{\psi }(a_2,\dots ,a_n)$ непрерывна при $\Vert \mathit{a}\Vert <{\mathit{a}}_0$. Так как матрица $U(0)$ неособенная, то из структуры формулы (4.20.29) следует, что
$$\det U(0)=A_{11}eq0\text{, }$$

где
$$A_{11}=\left|c_j^{(k)}\right|(i,k=2,\dots ,n).$$

Поэтому последние ( $n-1$ ) уравнений системы (4.20.35) можно разрешить относительно координат $a_2,\dots ,a_n$, и мы будем иметь
$$a_k=\sum _{j=2}^n{d}_j^{(k)}{z}_j^{(0)}(k=2,\dots ,n),$$

где $d_j^{(k)}$ — некоторые постоянные.
Подставляя эти выражения в первое уравнение системы (4.20.35), находим
$$z_1^{(0)}=\sum _{j=2}^n{k}_j{z}_j^{(0)}+\psi (z_2^{(0)},\dots ,z_n^{(0)})$$

где $k_j$ — некоторые постоянные и $\psi (z_2^{(0)},\dots ,z_n^{(0)})$ — результат подстановки параметров $a_2,\dots ,a_n$ в функцию $\mathrm{\Psi }(a_2,\dots ,a_n)$. В силу формулы (4.20.20) имеем:
$$\Vert \mathit{z}(s,\mathit{a})\Vert ⩽2k_1\Vert \mathit{a}\Vert e^{-\frac{\alpha }{2}s}\text{ при }s⩾0.$$

Кроме того, из соотношений (4.20.31) вытекает неравенство
$$\Vert \phi (s,z)\Vert ⩽\gamma (z)\Vert z\Vert ,$$

где $\mathit{\gamma }(\mathit{z})\to 0$ при $\mathit{z}\to \mathbf{0}$. Поэтому, учитывая ограниченность матрицы $G(0,s)$, получаем
$$\dot{\psi }(a_2,\dots ,a_n)=o(\Vert \mathit{a}\Vert )$$

и, следовательно, на основании (4.20.36) будем иметь
$$\psi (z_2^{(0)},\dots ,z_n^{(0)})=o(r),$$

где
$$r=\left|z_2^{(0)}\right|+\dots +\left|z_n^{i{0}^3}\right|\text{. }$$

Пусть
$$\mathit{v}(0)=\left[\begin{array}{c}{v}_1^{\prime 0}\\ ⋮\\ v_n^{i0!}\end{array}\right]$$
— начальные значения некоторого решения $\mathit{v}(t)$ преббразованной автономной системы (4.20.24). Так как
$$v(t)=p(t)+z(t)$$

и
$$v(0)=p(0)+z(0)=z^{(0)},$$

то уравнение (4.20.37) имеет вид
$$v_1^{(p)}=\sum _{j=2}^n{k}_j{v}_j^{\prime \prime }+\psi (v_2^{\prime 0},\dots ,v_n^{(0)}),$$

где функция $\psi$ непрерывна, если $r=\left|v_2^{(0)}\right|+\dots +\left|v_n^{\prime 0}\right|$ достаточно мало, причем
$$\psi (0,\dots ,0)=0.$$

В пространстве $O^{\prime }{v}_1\dots v_n$ уравнение (4.20.39) представляет собой некоторую непрерывную поверхность $S$ (рис. 48), определенную в окрестности точки $O^{\prime }$ и однозначную относительно координаты $v_1^{\prime ;}$, обладающую тем свойством, что из ее точек при $t=0$ выходят траектории $\mathit{v}=\mathit{v}(t)$ системы (4.20.24), неограниченно приближающиеся к замкнутой периодической траектории ${\mathfrak{v}}_0=\mathit{p}(t)$, т. е. такие, что
$$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}[\mathit{v}(t)-\mathit{p}(t)]=\mathbf{0}.$$

Заметим, что из уравнения (4.20.39) и формулы (4.20.38) вытекает, что функция $v_1^{(0)}$ дифференцируема в точке $v_2^0=\dots =$ $=v_n^{in!}=0$, причем уравнение касательной плоскости $Q$ в этой точке выражается линейной частью:
$$v_1^{(0\prime }=\sum _{j=2}^n{k}_j{v}_j^{\prime \prime }.$$

Обозначая через $\phi$ угол между единичным вектором $\mathit{n}$ нормали к плоскости $Q$ в точке $O^{\prime }$ и вектором $\dot{\mathit{p}}(0)={\mathit{e}}_1\Vert \dot{\mathit{p}}(0)\Vert$, из уравнения (4.20.40) будем иметь
$$\cos \phi =\frac{1}{\sqrt{1+k_2^2+\dots +k_n^2}}eq0.$$

Следовательно, периодическая траектория ${\mathit{v}}_0=\mathit{p}(t)$ пересекает поверхность $S$, не касаясь ее, и, значит, переходит с одной стороны поверхности на другую. А так как поверхность $S$ непрерывна и задана явным уравнением (4.20.39), то близкие к ней траектории $\mathit{v}=\mathit{v}(t)$ при возрастании или убывании $t$ имеют с поверхностью $S$ общие точки.
3) Пусть для некоторых $t_0$ и $t_1$ решение $v(t)$ системы (4.20.21) в системе координат $O^{\prime }{v}_1\dots v_n$ удовлетворяет неравенству
$$\Vert \mathit{v}\left(t_1\right)-\mathit{p}\left(t_0\right)\Vert <\mathrm{\Delta },$$

где $\mathrm{\Delta }$— некоторое достаточно малое положительное число. В силу автономности системы (4.20.21) вектор-функции

и
$$\begin{array}{l}{\mathit{v}}_1(t)=\mathit{v}(t+t_1)\\ {\mathit{p}}_0(t)=\mathit{p}(t+t_0)\end{array}$$

также являются ее решениями, причем, очевидно, выполнено неравенство
$$\Vert {\mathit{v}}_1(0)-{\mathit{p}}_0(0)\Vert <\mathrm{\Delta }.$$

Для периодической траектории ${\hat{\mathit{v}}}_0={\mathit{p}}_0(t)\left(L_0\right)$ в точке $t=0$ построим непрерывную поверхность $S_0$ со свойствами, аналогичными свойствам поверхности $S$, которую траектория $L_0$ пересекает без касания при $t=0$. Следовательно, близкие к ней при $t=0$ траектории $v_1=v_1(t)$, удовлетворяющие неравенству (4.20.41), где $\mathrm{\Delta }$ достаточно мало, также пересекают поверхность $S_0$ при $t$ возрастающем или при $t$ убывающем в некоторый момент $\hat{t}$. Так как траектория ${\hat{\mathit{v}}}_0={\mathit{p}}_0(t)$ не вырождается в точку, то момент $\hat{t}$ можно выбрать равномерно ограниченным для траекторий, подчиненных начальному условию (4.20.41), т. е.
$$|\hat{t}|⩽T(\mathrm{\Delta })\text{, }$$

где $T(\mathrm{\Delta })$ — некоторое положительное число.
Отсюда, полагая
$$\hat{\mathit{v}}(t)={\mathit{v}}_1(t+\hat{t})\equiv \mathit{v}(t+t_1+\hat{t}),$$

получаем
$$\hat{\mathit{v}}(0)=v_1(\hat{t})\in S_0.$$

В силу свойства поверхности $S_0$ имеем
$$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\Vert \hat{\mathit{v}}(t)-{\mathit{p}}_0(t)\Vert =0,$$
т. е.
$$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\Vert \mathit{v}(t+t_1+\hat{ı})-\mathit{p}(t+t_0)\Vert =0.$$

Отсюда находим
$$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\Vert \mathit{v}(t+c)-\mathit{p}(t)\Vert =0,$$

где
$$c=t_1-t_0+\hat{t}$$
— предельная фаза решения $\mathit{v}(t)$. В частности, если $t_1=t_0$. то $c=\hat{t}$.

Возвращаясь к старым коодинатам $y_1,\dots ,y_n$, получим, что соответствующее решение $\mathit{y}=\mathit{y}(t)$ системы (4.20.21) удовлетворяет условию (4.20.23).

Так как величина $\hat{t}$ может быть выбрана равномерно ограниченной в каждой начальной окрестности (4.20.41), то решение $\mathit{\eta }(t)$ является орбитально устойчивым, причем в силу наличия предельной фазы эта устойчивость асимптотическая (см. лемму 2 из §19). Теорема доказана полностью.
Для сравнения приводим формулировку теоремы Андронова Витта (см. [52a], [10]).

Теорема Андронова-Витта. Пусть о-периодическое решение $\eta (t)$ автономной систель (4.20.21) не сводится к тождественной постоянной $(\dot{\mathit{\eta }}(t)eq\mathbf{0}$ ), причем уравнения в вариациях для этого решения имеют один простой нулевой характеристический показатель, а все остальны характеристические показатели обладают отрицательными действительными частями. Тогда реиение $\mathit{\eta }(t)$ устойчиво в слысле Ляпунова при $t\to \mathrm{\infty }$.