В этом параграфе будут установлены достаточные условия орбитальной устойчивости периодического решения автономной системы. Предварительно докажем три леммы (см. [28]).
Лемма 1. Пусть действительная периодическая система
\[
\frac{d x}{d t}=P(t) x,
\]

где $P(t) \in C(-\infty,+\infty)$ и $P(t+\omega)=P(t)(\omega>0)$ имеет один мультипликатор $p_{1}=1$, а модули всех остальных ее мультипликаторов $\rho_{j}(j=2, \ldots, n)$ меньше единицы:
\[
\left|\rho_{j}\right|<1 \quad \text { при } \quad j
eq 1 .
\]

Тогда для системь (4.20.1) существует фундаментальная матрица специального вида
\[
X(t)=\Phi(t) \operatorname{diag}\left(E_{1}, e^{C_{1} t}\right),
\]

где $\Phi(t)$ – действительная неособенная (-периодическая непрерывно дифференцируемая $(n \times n)$-матрица, $E_{1}=1$ и $C_{1}$-действительная постоянная ( $n-1) \times(n-1)$-матрица, все характеристические корни которой имеют отрицательные действительные части:
\[
\operatorname{Re} \lambda_{j}\left(C_{1}\right)<0 \quad(j=1, \ldots, n-1) .
\]

Доказательство. Пусть $\tilde{X}(t)(\tilde{X}(0)=E)$ – нормированная фундаментальная матрица системы (4.20.1). Так как матрица $P(t)$ – $\omega$-периодическая, то справедливо соотношение
\[
\tilde{X}(t+\omega)=\tilde{X}(t) \tilde{X}(\omega) .
\]

В силу условия теоремы для матрицы монодромии $\tilde{X}(\omega)$ одно из ее собственных значений равно 1, а все другие по модулю меньше 1. Поэтому существует действительная неособенная матрица $A$ такая, что
\[
A^{-1} \tilde{X}(\omega) A=\operatorname{diag}\left(E_{1}, B_{1}\right) \equiv B,
\]

где $B_{1}$ – действительная матрица типа $\left.(n-1) \times(n-1)^{1}\right)$, все характеристические числа которой по модулю меньше 1. Тогда, вводя действительную фундаментальную матрицу
\[
X(t)=\tilde{X}(t) A,
\]

на основании соотношений (4.20.3) и (4.20.4) будем иметь
\[
X(t+\omega)=\tilde{X}(t+\omega) A=\hat{X}(t) \tilde{X}(\omega) A=X(t) B .
\]

Для матрицы $X(t)$ из (4.20.5) построим основную матрицу (обобщение, § 15 гл. III)
\[
C=X^{-1}(0) X(\omega)=A^{-1} \tilde{X}^{-1}(0) \tilde{X}(\omega) A=B,
\]

и пусть
\[
\Lambda=\frac{1}{\omega} \operatorname{Ln} B=\operatorname{diag}\left(0, C_{1}\right),
\]

где
\[
C_{1}=\frac{1}{\omega} \operatorname{Ln} B_{1} .
\]

Согласно теореме Флоке имеем
\[
X(t)=\Phi(t) e^{\Lambda t},
\]

где $\Phi(t)$ – неособенная $\omega$-периодическая матрица. Отсюда на основании формулы (4.20.6) получим
\[
X(t)=\Phi(t) \operatorname{diag}\left(E_{1}, e^{C_{1} t}\right),
\]

где
\[
\operatorname{Re} \lambda_{j}\left(C_{1}\right)=\operatorname{Re}\left[\frac{1}{\omega} \operatorname{Ln} \lambda_{j}\left(B_{1}\right)\right]<0 .
\]

Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Пусть $X(t)$ – дєйствительная фундаментальная матрица системы (4.20.1) вида (4.20.2) и
\[
G(t, s)=\left\{\begin{array}{c}
X(t) \operatorname{diag}\left(0, E_{n-1}\right) X^{-1}(s) \text { при } t>s, \\
-X(t) \operatorname{diag}\left(E_{1}, 0\right) X^{-1}(s) \quad \text { при } t<s,
\end{array}\right.
\]

где $E_{p}(p=1, \ldots, n)$ – единичная матрица соответствующего порядка. Тогда матрица $G(t, s)$ обладает следующими свойствами:
1) $G(t, t-0)-G(t, t+0)=E_{n}$;
2) $\dot{G}_{t}(t, s)=P(t) G(t, s)$ при $t
eq s$;
3) $\|G(t, s)\| \leqslant\left\{\begin{array}{ll}k e^{-\alpha(t-s)} & \text { при } t>s, \\ k & \text { при } t<s,\end{array}\right.$ где $\alpha>0$ и $k>0$ – постоянные;
1) Можно, например, воспользоваться приведением матрицы $\tilde{X}($ ( ) к нормальной форме Жордана в поле дейстьительных чисел (см. [4]).

4) вектор-функция
\[
\boldsymbol{y}(t)=X(t) \boldsymbol{a}+\int_{0}^{\infty} G(t, s) \boldsymbol{f}(s) d s,
\]

где $\boldsymbol{a}$-произвольный постоянный вектор с нулевой первой координатой, т. $е$.
\[
\left(a, e_{1}\right)=0, e_{1}=\operatorname{colon}(1,0, \ldots, 0)
\]
$u$
\[
f(t) \in C[0, \infty), \int_{0}^{\infty}\|f(t)\| d t<\infty,
\]

является решением неоднородной системь
\[
\frac{d y}{d t}=P(t) y+f(t),
\]

стремящимся к нулю при $t \rightarrow \infty$ :
\[
y(\infty)=\lim _{t \rightarrow \infty} y(t)=0 .
\]

Доказательство. Свойства 1) и 2) непосредственно вытекают из формулы (4.20.8).
В силу структуры матрицы $X(t)$ имеем
\[
X(t)=\Phi(t) \operatorname{diag}\left(E_{1}, e^{C_{1} t}\right)
\]

и
\[
X^{-1}(s)=\operatorname{diag}\left(E_{1}, e^{-C_{1} s}\right) \Phi^{-1}(s),
\]

где $\Phi(t)-\omega$-периодическая матрица. Следовательно,
\[
G(t, s)=\Phi(t) \operatorname{diag}\left(0, e^{\zeta_{1}(t-s)}\right) \Phi^{-1}(s) \quad \text { при } t>s
\]

и
\[
G(t, s)=-\Phi(t) \operatorname{diag}\left(E_{1}, 0\right) \Phi^{-1}(s) \quad \text { при } t<s .
\]

Так как все характеристические корни матрицы $C_{1}$ имеют отрицательные действительные части, а матрица $\Phi(t)$ ограничена вместе с матрицей $\Phi^{-1}(t)$, то, пслагая
\[
0<\alpha<\min _{j}\left[-\operatorname{Re} \lambda_{j}\left(C_{1}\right)\right]
\]

получим оценки 3).
Рассмотрим теперь функцию $\boldsymbol{y}(t)$, определяемую формулой (4.20.9). Так как $\|G(t, s)\| \leqslant k$ при $t, s \geqslant 0$, то имеем
\[
\int_{0}^{\infty}\|G(t, s)\|\|\boldsymbol{f}(s)\| d s \leqslant k \int_{0}^{\infty}\|\boldsymbol{f}(s)\| d s<\infty
\]

и, следовательно, несобственный интеграл, стоящий в правой части равенства (4.20.9), является абсолютно сходящимся.
Записав формулу (4.20.9) в виде
\[
\boldsymbol{y}(t)=X(t) \boldsymbol{a}+\int_{0}^{t} G(t, s) \boldsymbol{f}(s) d s+\int_{i}^{\infty} G(t, s) \boldsymbol{f}(s) d s
\]

и дифференцируя по параметру $t$, используя свойства 1) и 2), иаходим
\[
\begin{aligned}
\dot{y}(t)= & \dot{X}(t) \boldsymbol{a}+ \\
& +[G(t, t-0)-G(t, t+0)] \boldsymbol{f}(t)+\int_{0}^{\infty} \hat{G}_{t}(t, s) \boldsymbol{f}(s) d s= \\
& =P(t) X(t) \boldsymbol{a}+\boldsymbol{f}(t)+\int_{0}^{\infty} P(t) G(t, s) \boldsymbol{f}(\mathrm{s}) d s,
\end{aligned}
\]
T. e.
\[
\dot{\boldsymbol{y}}(t)=P(t ; y(t)+\boldsymbol{f}(t)
\]

и, таким образом, $y(t)$ является решением неоднородной системы (4.20.10). Законность дифференширования под знаком интеграла легко проверить.
Учитывая структуру матриць: $X(t)$, будем иметь
\[
X(t) \boldsymbol{a} \rightarrow 0 \quad \text { при } t \rightarrow \infty .
\]

Кроме того, на основании неравенства 3) получаем
\[
\begin{array}{c}
\left\|\int_{0}^{\infty} G(t, s) \boldsymbol{f}(s) d s\right\| \leqslant \int_{0}^{\frac{t}{2}}\|\boldsymbol{G}(t, s)\|\|\boldsymbol{f}(s)\| d s+\int_{\frac{t}{2}}^{\infty}\|\boldsymbol{G}(t, s)\| \boldsymbol{f}(s) \| d s \leqslant \\
\leqslant \int_{0}^{\frac{t}{2}} k e^{-\alpha(t-s)}\|\boldsymbol{f}(s)\| d s+\int_{\frac{t}{2}}^{\infty} k\|\boldsymbol{f}(s)\| d s \leqslant \\
\leqslant k e^{-\frac{a t}{2}} \int_{0}^{\infty}\|\boldsymbol{f}(s)\| d s+k \int_{\frac{i}{2}}^{\infty}\|\boldsymbol{f}(\mathrm{s})\| d s<\varepsilon,
\end{array}
\]

если $t>T(\varepsilon)$. Поэтому
\[
\begin{array}{c}
\lim _{t \rightarrow \infty} \int_{0}^{\infty} G(t, s) \boldsymbol{f}(s) d s=\mathbf{0} . \\
\lim _{t \rightarrow \infty} \boldsymbol{y}(t)=\mathbf{0} .
\end{array}
\]

Лемма 2 полностью доказана.

Лемма 3. Пусть дана нелинейная система
\[
\frac{d \boldsymbol{z}}{d t}=P(t) z+\varphi(t, z),
\]

где ш-периодическая матрица $P(t)$ удовлетворяет условиям леммы 1 , а нелинейная вектор-функция $\mathbf{\Psi}(t, \boldsymbol{z})$ w-периодична по $t$ и удовлетворяет условию Липшица по $z$ :
\[
\begin{array}{l}
\boldsymbol{\varphi}\left(t, \boldsymbol{z}^{\prime}\right)-\boldsymbol{\varphi}(t, \boldsymbol{z})\|\leqslant N\| \boldsymbol{z}^{\prime}-\boldsymbol{z} \| \\
\left(t \in[0, \infty), \quad \boldsymbol{z}<\Delta, \quad\left\|\boldsymbol{z}^{\prime}\right\|<\Delta\right),
\end{array}
\]

причем $\varphi(t, \mathbf{0})=0$.
Рассмотрим интегральное уравнение
\[
\boldsymbol{z}(t, \boldsymbol{a})=X(t) \boldsymbol{a}+\int_{0}^{\infty} G(t, s) \boldsymbol{\varphi}(s, \boldsymbol{z}(s, \boldsymbol{a})) d s,
\]

где $X(t)$ – фундаментальная матрица соответствующей однородной системы (4. 20.1), имеющая специальный вид (4.20.2), $G(t, s)$ определяется формулой (4.20.8) и а-произвольный постоянный вектор такой, что
\[
\left(a, e_{1}\right)=0 \text {. }
\]

Тогда, если константа Липициа $N$ достаточно мала, то при $a<a_{0}$ интегральное уравнение (4.20.13) имеет решение $z(t, a)$, представляющее собой ( $n-1$ )-параметрическое семейство решений дифференциальной системы (4.20.11), обращающихся в нуль ка бесконечности:
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} \boldsymbol{z}(t, a)=0 .
\]

Доказательство. В силу формулы (4.20.2) при $t \geqslant 0$ справедлива оценка
\[
\|X(t) \boldsymbol{a}\| \leqslant k_{1}\|\boldsymbol{a}\| e^{-\alpha, t},
\]

где $k_{1}\left(k_{1} \geqslant 1\right)$ – некоторая положительная постоянная и
\[
0<\alpha<\min _{j} \operatorname{Re}\left[-\lambda_{j}\left(C_{1}\right)\right] .
\]

Предположим, что $k$ – постоянная из леммы 2 и константа Липшица $N$ удовлетворяет условию
\[
N<\frac{\alpha}{8 k} .
\]

Применяя метод последовательных приближений, покажем, что если
\[
\boldsymbol{a}: \frac{\Delta}{2 k_{1}}=a_{0},
\]

то интегральное уравнение (4.20.13) при $t \geqslant 0$ имеет решение

Второй Метод ляпунова
1.i. iv
$\boldsymbol{z}(t, a)$, причем
\[
\boldsymbol{z}(t, \boldsymbol{a})=2 k_{1} ; \boldsymbol{a} e^{-\frac{\alpha}{2} t}<\Delta .
\]

За начальное приближение примем $\boldsymbol{z}_{0}(t, \boldsymbol{a})=\mathbf{0}$ и, как обычно, пюложим
\[
\boldsymbol{z}_{p}(t, \boldsymbol{a})=X(t) \boldsymbol{a}+\int_{0}^{\infty} G(t, s) \rightsquigarrow\left(s, \boldsymbol{z}_{p-1}(s, \boldsymbol{a})\right) d s \quad(p=1,2, \ldots) .
\]

Так как $\varphi(s, 0)=0$, то в силу неравенства (4.20.15) при $t \geqslant 0$ имеем
\[
\left\|\boldsymbol{z}_{1}(t, \boldsymbol{a})-\boldsymbol{z}_{0}(t, \boldsymbol{a})\right\|=\|X(t) \boldsymbol{a}\| \leqslant k_{1}\|\boldsymbol{a}\| e^{-a t} \leqslant k_{1}\|\boldsymbol{a}\| e^{–\frac{a}{2} t} .
\]

Пусть теперь
\[
\left.\left\|\boldsymbol{z}_{p}(t, \boldsymbol{a})-\boldsymbol{z}_{p-1}(t, \boldsymbol{a})\right\| \leqslant \frac{k_{1}}{2^{\rho-1}} \right\rvert\, \boldsymbol{a} \| e^{-\frac{a}{2} t} \quad \text { при } t \geqslant 0 ;
\]

тогда в силу (4.20.18), учитывая неравенство (4.20.16) и оценку 3 ) для $\| G(t, s)$ (см. лемму 2), будем иметь
\[
\begin{array}{l}
\left\|z_{p+1}(t, a)-z_{p}(t, a)\right\| \leqslant \\
\leqslant \int_{0}^{\infty}\|G(t, s)\| \varphi\left(s, z_{p}(s, a)\right)-\varphi\left(s, z_{p \cdot 1}(s, a)\right) \| d s \leqslant \\
\leqslant \int_{0}^{\infty}|G(t, s)| \cdot \frac{\alpha}{8 k}\left\|\boldsymbol{z}_{p}(s, \boldsymbol{a})-\boldsymbol{z}_{p-1}(s, \boldsymbol{a})\right\| d \mathrm{~s} \leqslant \\
\leqslant \frac{\alpha}{8 k}\left\{\int_{0}^{t} k e^{-\gamma(t-s)} \cdot \frac{k_{1}}{2^{p-1}}\|\boldsymbol{a}\| e^{-\frac{x}{2} s} d s+\int_{i}^{\infty} k \cdot \frac{k_{1}}{2^{p-1}}\|\boldsymbol{a}\| e^{-\frac{\alpha}{2} s} d s\right\} \leqslant \\
\leqslant \frac{\alpha k_{1}}{2^{p-1}} \boldsymbol{a} \|\left(\frac{2}{\alpha} e^{-\frac{\alpha t}{2}}+\frac{2}{\alpha} e^{\left.-\frac{\alpha t}{2}\right)}=\frac{k_{1}}{2^{p}}\|\boldsymbol{a}\| e^{-\frac{\alpha t}{2}}<\Delta \text { при } t \geqslant 0\right. \\
(p=1,2, \ldots) \text {. } \\
\end{array}
\]

Таким образом, на основаних принципа математической индукции заключаем, что все приближения $\boldsymbol{z}_{p}(t, a)(p=1,2, \ldots)$ имеют смысл и для них справедлива оценка (4.20.19). Отсюда, так как
\[
z_{p}(t, a)=\sum_{q=1}^{p}\left[z_{q}(t, a)-\boldsymbol{z}_{q-1}(t, a)\right]
\]

то существует
\[
\lim _{p \rightarrow \infty} z_{p}(t, a)=\boldsymbol{z}(t, \boldsymbol{a}),
\]

причем сходимость последовательности равномерна в области
\[
Z\left\{0 \leqslant t<\infty, \quad|\boldsymbol{a}|<\frac{\Delta}{4 k_{1}}\right\}
\]

и, значит, предельная функция $\boldsymbol{z}(t, \boldsymbol{a})$ непрерывна по совокупности переменных $t$ и $\boldsymbol{a}$ при достаточно малой $\boldsymbol{a} \mid$.

Переходя к пределу при $p \rightarrow \infty$ в равенстве (4.20.18), получаем
\[
\boldsymbol{z}(t, \boldsymbol{a})=X(t) \boldsymbol{a}+\int_{0}^{\infty} G(t, s) \boldsymbol{\varphi}(s, \boldsymbol{z}(t, \boldsymbol{a})) d s,
\]
т. е. $\boldsymbol{z}(t, \boldsymbol{a})$ в области $Z$ является решением интегрального уравнения (4.20.13). Отсюда, дифференцируя по $t$ последнее соотношение и используя свойства функции $G(t, s)$, будем иметь
\[
\dot{\boldsymbol{z}}(t, \boldsymbol{a})=P(t) \boldsymbol{z}(t, \boldsymbol{a})+\boldsymbol{\varphi}(t, \boldsymbol{z}(t, \boldsymbol{a})),
\]
т. е. $\boldsymbol{z}(t, \boldsymbol{a})$ в области $Z$ есть решение нелинейной дифференциальной системы (4.20.11).
Далее, из неравенств (4.20.19) выводим
\[
\begin{array}{l}
\|\boldsymbol{z}(t, \boldsymbol{a})\| \leqslant\left\|\boldsymbol{z}_{0}(t, \boldsymbol{a})+\sum\right\| \boldsymbol{z}_{p}(t, \boldsymbol{a})-\boldsymbol{z}_{p-1}(t, \boldsymbol{a}) \| \leqslant \\
\leqslant \sum_{p=1}^{\infty} \frac{k_{1}}{2^{p-1}}\left\|\boldsymbol{a} e^{-\frac{\alpha}{2} t} \leqslant 2 k_{1}\right\| \boldsymbol{a} \| e^{-\frac{t}{2} t}<\Delta \text { при } t \geqslant 0 . \text { (4.20.20) }
\end{array}
\]

Следовательно,
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} \boldsymbol{z}(t, \boldsymbol{a})=\mathbf{0}, \text { если }\|\boldsymbol{a}\|<\frac{\Delta}{4 k_{1}}
\]

в частности, при $\boldsymbol{a}=\mathbf{0}$ имеем
\[
\boldsymbol{z}(t, \mathbf{0}) \equiv \mathbf{0} .
\]

Лемма 3 доказана.
Рассмотрим теперь действительную автономную систему
\[
\frac{d y}{d t}=f(y)
\]

где $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{y}) \in C^{1} \quad(\|\boldsymbol{y}\|<H)$, и пусть $\boldsymbol{\eta}=\boldsymbol{\eta}(t)$ – – -периодическое еe решение такое, что $\|\eta(t)\| \leqslant h<H$. Уравнения в вариация здесь имеют вид
\[
\frac{d x}{d t}=f_{y}^{\prime}(\eta(t)) x
\]

Аналог теоремы Андронов а-Витта (см. [52], [28]). Пусть автономная система (4.20.21) допускает ш-периодическое решение $\boldsymbol{\eta}(t)$, не являющееся тождественной постоянкой ( $\dot{\boldsymbol{\eta}}(t)
eq 0$ ), причем уравнения в вариациях (4.20.22) для эпого решения имеют один простой нулевой характеристический показатель, а все остальные -с отрицательными действительными частями. Тогда периодическое решение $\eta(t)$ асимптотически орбитально устойчиво nри $t \rightarrow \infty$.

Более того, для каждого близкого к $\eta(t)$ решения $\boldsymbol{y}(t)$ сущестеует асимптотическая фаза, т. е. если $\Delta>0$ достаточно мало и
\[
\boldsymbol{y}\left(t_{1}\right)-\boldsymbol{\eta}\left(t_{0}\right) \|<\Delta
\]

для некоторых $t_{0}$ и $t_{1}$, то найдепия постоянная $c=c[y]$ такая, что
\[
\lim _{t \rightarrow \infty}[y(t+c)-\eta(t)]=0 .
\]

Доказательство (см. [28]). 1) Выберем новую прямоугольную систему координат $O^{\prime} v_{1} \ldots v_{n}$, начало которой $O^{\prime}$ находится в точке $\eta(0)$, а первая ось $O^{\prime} v_{1}$ имеет направление,
Рис. 48.

определяемое вектором $\dot{\eta}(0)$ (рис. 48). Тогда система (4.20.21) примет вид
\[
\frac{d v}{d t}=g(v),
\]

где снова $\boldsymbol{g}(\boldsymbol{v}) \in C^{\mathrm{I}}$.
Периодическое решение $\eta(t)$ при этом перейдет в периодическое решение $\boldsymbol{v}_{0}=\boldsymbol{p}(t)$, обладающее следующими свойствами:
\[
p(0)=0, \quad \dot{p}(0)=e_{1} \| \dot{p}(0)
\]

где
\[
\boldsymbol{e}_{1}=\left[\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right] \text {. }
\]

уравнения в вариациях, соответственно, будут иметь вид
\[
\frac{d \boldsymbol{u}}{d t}=\boldsymbol{g}_{v}^{\prime}(\boldsymbol{p}(t)) \boldsymbol{u},
\]

причем, очевидно, характеристические показатели периодический системы (4.20.26) совпадают с характеристическими показателями системы в вариациях (4.20.22). Согласно лемме 1 для системы (4.20.26) существует действительная фундаментальная матрица вида
\[
U(t)=\Phi(t) \operatorname{diag}\left(E_{1}, e^{C_{1} t}\right),
\]

где $\Phi(t+\omega)=\Phi(t)$ и $\operatorname{Re} \lambda_{j}\left(C_{1}\right)<0$. Из формулы (4.20.27) вытекает, что первый столбец матрицы $U(t)$ представляет собой $\omega$-периодическое решение уравнения (4.20.26). Так как $\dot{\boldsymbol{p}}(t)$ является $\omega$-периодическим решением уравнений в вариация (4.20.26) (см. §18) и в силу условия телремы это решение единственно, с точностью до скалярного постоянного множителя, то можно принять
\[
U(t)=\left[\frac{\dot{\boldsymbol{p}}(t)}{\dot{\boldsymbol{p}}(0) ! !}, U_{1}(t)\right],
\]

где $U_{1}(t)$ – матрица типа $n \times(n-1)$, причем
\[
U(0)=\left[e_{1}, U_{1}(0)\right] .
\]

Положим
\[
\boldsymbol{v}=\boldsymbol{p}(t)+\boldsymbol{z} .
\]

Тогда уравнение (4.20.24) примет вид
\[
\frac{d z}{d t}=g_{v}^{\prime}(p(t)\} z+\varphi(t, z),
\]

где
\[
\varphi(t, \boldsymbol{z})=[\boldsymbol{g}(\boldsymbol{p}(t)+\boldsymbol{z})-\boldsymbol{g}(\boldsymbol{p}(t))]-\boldsymbol{g}_{v}^{\prime}(\boldsymbol{p}(t)) \boldsymbol{z} .
\]

Так как
\[
\varphi_{z}^{\prime}(t, z)=\boldsymbol{g}_{v}^{\prime}(p(t)+z)-\boldsymbol{g}_{v}^{\prime}(p(t)),
\]

то
\[
\varphi(t, 0)=\varphi_{z}^{\prime}(t, 0) \equiv 0
\]

и
\[
\varphi(t, z) \underset{t}{\rightarrow} 0, \quad \varphi_{z}^{\prime}(t, z) \underset{t}{\rightarrow} \Theta-\text { при } z \rightarrow 0 .
\]

Отсюда следует, что $\varphi(t, \boldsymbol{z})$ удсвлетворяет условию Липшица:
\[
\begin{array}{l}
\left\|\varphi\left(t, \boldsymbol{z}^{\prime}\right)-\varphi(t, \boldsymbol{z})\right\| \leqslant N\left\|\boldsymbol{z}^{*}-\boldsymbol{z}\right\| \\
\left(t \in[0, \infty), \quad\|\boldsymbol{z}\|<\Delta, \quad\left\|\boldsymbol{z}^{\prime}\right\|<\Delta\right),
\end{array}
\]

где константа Липшица $N$ сколь угодно мала, если число $\Delta$ достаточно мало.
Пусть
\[
a=\left[\begin{array}{c}
0 \\
a_{2} \\
\vdots \\
a_{n}
\end{array}\right]
\]
– любой вектор, перпендикулярный орту $e_{1}$.

В силу леммы 3 при $\|\boldsymbol{a}\|<a_{0}$ нелинейная система (4.20.30) допускает непрерывное по $\boldsymbol{a}$ многообразие решений
\[
\boldsymbol{z}(t, \boldsymbol{a}) \rightarrow 0 \text { при } t \rightarrow \infty,
\]

норма которых подчинена неравенству (4.20.20). Эти решения удовлетворяют интегральному уравнению
\[
\boldsymbol{z}(t, \boldsymbol{a})=U(t) \boldsymbol{a}+\int_{0}^{\infty} G(t, s) \boldsymbol{\varphi}(s, \boldsymbol{z}(s, \boldsymbol{a})) d s,
\]

где аналогично (4.20.2) имеем
\[
G(t, s)=\left\{\begin{array}{c}
U(t) \operatorname{diag}\left(0, E_{n-1}\right) U^{-1}(s) \\
\text { при } s<t, \\
-U(t) \operatorname{diag}\left(E_{1}, 0\right) U^{-1}(s) \\
\text { при } s>t,
\end{array}\right.
\]

причем
\[
\mid G(t, s) \| \leqslant\left\{\begin{array}{ll}
k e^{-\alpha(t-s)} & \text { при } s<t, \\
k & \text { при } s>t .
\end{array}\right.
\]
2) Установим связь между началыным значениями $z^{(0)}=$ $=\boldsymbol{z}(0, \boldsymbol{a})$ решения $\boldsymbol{z}(t, \boldsymbol{a})$ и параметром $\boldsymbol{a}$. Из уравнения (4.20.32), полагая $t=0$ и учитывая формулы (4.20.33), имеем
\[
\boldsymbol{z}^{(0)}=U(0) \boldsymbol{a}-U(0) \operatorname{diag}\left(E_{1}, 0\right) \int_{0}^{\infty} U^{-1}(s) \boldsymbol{\varphi}(s, \boldsymbol{z}(s, \boldsymbol{a})) d s,
\]

где интеграл справа сходится абсолютно и равномерно по параметру $\boldsymbol{a}$ при $\|\boldsymbol{a}\|<a_{0}$.
Используя формулу (4.20.29), получаем
\[
U(0) \operatorname{diag}\left(E_{1}, 0\right)=\operatorname{diag}\left(E_{1}, 0\right) .
\]

Отсюда, полагая
\[
z^{(0)}=\left[\begin{array}{c}
z_{1}^{\prime \prime} \\
\vdots \\
z_{n}^{i n}
\end{array}\right]
\]

и переходя в векторном уравнении (4.20.34) к координатам, будем иметь систему скалярных уравнений
\[
\left\{\begin{array}{l}
z_{1}^{\prime \prime}=\sum_{j=2}^{n} c_{j}^{\prime \prime} a_{j}+\tilde{\psi}\left(a_{2}, \ldots, a_{n}\right), \\
z_{k}^{\prime \prime}=\sum_{j=2}^{n} c_{j}^{(k)} a_{j} \quad(k=2, \ldots, n),
\end{array}\right.
\]

где $c_{j}^{(k)}$ – соответствующие элементы матрицы $U_{1}(0)$ и
\[
\tilde{\psi}\left(a_{2}, \ldots, a_{n}\right)=\left[\int_{0}^{\infty} G(0, s) \varphi(s, \boldsymbol{z}(s, \boldsymbol{a})) d s\right]_{1}
\]
(символ [ ] обозначает первую компоненту соответствующего вектора), причем $\tilde{\psi}\left(a_{2}, \ldots, a_{n}\right)$ непрерывна при $\|\boldsymbol{a}\|<\boldsymbol{a}_{0}$. Так как матрица $U(0)$ неособенная, то из структуры формулы (4.20.29) следует, что
\[
\operatorname{det} U(0)=A_{11}
eq 0 \text {, }
\]

где
\[
A_{11}=\left|c_{j}^{(k)}\right| \quad(i, k=2, \ldots, n) .
\]

Поэтому последние ( $n-1$ ) уравнений системы (4.20.35) можно разрешить относительно координат $a_{2}, \ldots, a_{n}$, и мы будем иметь
\[
a_{k}=\sum_{j=2}^{n} d_{j}^{(k)} z_{j}^{(0)} \quad(k=2, \ldots, n),
\]

где $d_{j}^{(k)}$ – некоторые постоянные.
Подставляя эти выражения в первое уравнение системы (4.20.35), находим
\[
z_{1}^{(0)}=\sum_{j=2}^{n} k_{j} z_{j}^{(0)}+\psi\left(z_{2}^{(0)}, \ldots, z_{n}^{(0)}\right)
\]

где $k_{j}$ – некоторые постоянные и $\psi\left(z_{2}^{(0)}, \ldots, z_{n}^{(0)}\right)$ – результат подстановки параметров $a_{2}, \ldots, a_{n}$ в функцию $\Psi\left(a_{2}, \ldots, a_{n}\right)$. В силу формулы (4.20.20) имеем:
\[
\|\boldsymbol{z}(s, \boldsymbol{a})\| \leqslant 2 k_{1}\|\boldsymbol{a}\| e^{-\frac{\alpha}{2} s} \text { при } s \geqslant 0 .
\]

Кроме того, из соотношений (4.20.31) вытекает неравенство
\[
\|\varphi(s, z)\| \leqslant \gamma(z)\|z\|,
\]

где $\boldsymbol{\gamma}(\boldsymbol{z}) \rightarrow 0$ при $\boldsymbol{z} \rightarrow \mathbf{0}$. Поэтому, учитывая ограниченность матрицы $G(0, s)$, получаем
\[
\dot{\psi}\left(a_{2}, \ldots, a_{n}\right)=o(\|\boldsymbol{a}\|)
\]

и, следовательно, на основании (4.20.36) будем иметь
\[
\psi\left(z_{2}^{(0)}, \ldots, z_{n}^{(0)}\right)=o(r),
\]

где
\[
r=\left|z_{2}^{(0)}\right|+\ldots+\left|z_{n}^{i 0^{3}}\right| \text {. }
\]

Пусть
\[
\boldsymbol{v}(0)=\left[\begin{array}{c}
v_{1}^{\prime 0} \\
\vdots \\
v_{n}^{i 0 !}
\end{array}\right]
\]
– начальные значения некоторого решения $\boldsymbol{v}(t)$ преббразованной автономной системы (4.20.24). Так как
\[
v(t)=p(t)+z(t)
\]

и
\[
v(0)=p(0)+z(0)=z^{(0)},
\]

то уравнение (4.20.37) имеет вид
\[
v_{1}^{(p)}=\sum_{j=2}^{n} k_{j} v_{j}^{\prime \prime}+\psi\left(v_{2}^{\prime 0}, \ldots, v_{n}^{(0)}\right),
\]

где функция $\psi$ непрерывна, если $r=\left|v_{2}^{(0)}\right|+\ldots+\left|v_{n}^{\prime 0}\right|$ достаточно мало, причем
\[
\psi(0, \ldots, 0)=0 .
\]

В пространстве $O^{\prime} v_{1} \ldots v_{n}$ уравнение (4.20.39) представляет собой некоторую непрерывную поверхность $S$ (рис. 48), определенную в окрестности точки $O^{\prime}$ и однозначную относительно координаты $v_{1}^{\prime ;}$, обладающую тем свойством, что из ее точек при $t=0$ выходят траектории $\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}(t)$ системы (4.20.24), неограниченно приближающиеся к замкнутой периодической траектории $\mathfrak{v}_{0}=\boldsymbol{p}(t)$, т. е. такие, что
\[
\lim _{t \rightarrow \infty}[\boldsymbol{v}(t)-\boldsymbol{p}(t)]=\mathbf{0} .
\]

Заметим, что из уравнения (4.20.39) и формулы (4.20.38) вытекает, что функция $v_{1}^{(0)}$ дифференцируема в точке $v_{2}^{0}=\ldots=$ $=v_{n}^{i n !}=0$, причем уравнение касательной плоскости $Q$ в этой точке выражается линейной частью:
\[
v_{1}^{(0 \prime}=\sum_{j=2}^{n} k_{j} v_{j}^{\prime \prime} .
\]

Обозначая через $\varphi$ угол между единичным вектором $\boldsymbol{n}$ нормали к плоскости $Q$ в точке $O^{\prime}$ и вектором $\dot{\boldsymbol{p}}(0)=\boldsymbol{e}_{1}\|\dot{\boldsymbol{p}}(0)\|$, из уравнения (4.20.40) будем иметь
\[
\cos \varphi=\frac{1}{\sqrt{1+k_{2}^{2}+\ldots+k_{n}^{2}}}
eq 0 .
\]

Следовательно, периодическая траектория $\boldsymbol{v}_{0}=\boldsymbol{p}(t)$ пересекает поверхность $S$, не касаясь ее, и, значит, переходит с одной стороны поверхности на другую. А так как поверхность $S$ непрерывна и задана явным уравнением (4.20.39), то близкие к ней траектории $\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}(t)$ при возрастании или убывании $t$ имеют с поверхностью $S$ общие точки.
3) Пусть для некоторых $t_{0}$ и $t_{1}$ решение $v(t)$ системы (4.20.21) в системе координат $O^{\prime} v_{1} \ldots v_{n}$ удовлетворяет неравенству
\[
\left\|\boldsymbol{v}\left(t_{1}\right)-\boldsymbol{p}\left(t_{0}\right)\right\|<\Delta,
\]

где $\Delta$— некоторое достаточно малое положительное число. В силу автономности системы (4.20.21) вектор-функции

и
\[
\begin{array}{l}
\boldsymbol{v}_{1}(t)=\boldsymbol{v}\left(t+t_{1}\right) \\
\boldsymbol{p}_{0}(t)=\boldsymbol{p}\left(t+t_{0}\right)
\end{array}
\]

также являются ее решениями, причем, очевидно, выполнено неравенство
\[
\left\|\boldsymbol{v}_{1}(0)-\boldsymbol{p}_{0}(0)\right\|<\Delta .
\]

Для периодической траектории $\hat{\boldsymbol{v}}_{0}=\boldsymbol{p}_{0}(t) \quad\left(L_{0}\right)$ в точке $t=0$ построим непрерывную поверхность $S_{0}$ со свойствами, аналогичными свойствам поверхности $S$, которую траектория $L_{0}$ пересекает без касания при $t=0$. Следовательно, близкие к ней при $t=0$ траектории $v_{1}=v_{1}(t)$, удовлетворяющие неравенству (4.20.41), где $\Delta$ достаточно мало, также пересекают поверхность $S_{0}$ при $t$ возрастающем или при $t$ убывающем в некоторый момент $\hat{t}$. Так как траектория $\hat{\boldsymbol{v}}_{0}=\boldsymbol{p}_{0}(t)$ не вырождается в точку, то момент $\hat{t}$ можно выбрать равномерно ограниченным для траекторий, подчиненных начальному условию (4.20.41), т. е.
\[
|\hat{t}| \leqslant T(\Delta) \text {, }
\]

где $T(\Delta)$ – некоторое положительное число.
Отсюда, полагая
\[
\hat{\boldsymbol{v}}(t)=\boldsymbol{v}_{1}(t+\hat{t}) \equiv \boldsymbol{v}\left(t+t_{1}+\hat{t}\right),
\]

получаем
\[
\hat{\boldsymbol{v}}(0)=v_{1}(\hat{t}) \in S_{0} .
\]

В силу свойства поверхности $S_{0}$ имеем
\[
\lim _{t \rightarrow \infty}\left\|\hat{\boldsymbol{v}}(t)-\boldsymbol{p}_{0}(t)\right\|=0,
\]
т. е.
\[
\lim _{t \rightarrow \infty}\left\|\boldsymbol{v}\left(t+t_{1}+\hat{\imath}\right)-\boldsymbol{p}\left(t+t_{0}\right)\right\|=0 .
\]

Отсюда находим
\[
\lim _{t \rightarrow \infty}\|\boldsymbol{v}(t+c)-\boldsymbol{p}(t)\|=0,
\]

где
\[
c=t_{1}-t_{0}+\hat{t}
\]
– предельная фаза решения $\boldsymbol{v}(t)$. В частности, если $t_{1}=t_{0}$. то $c=\hat{t}$.

Возвращаясь к старым коодинатам $y_{1}, \ldots, y_{n}$, получим, что соответствующее решение $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}(t)$ системы (4.20.21) удовлетворяет условию (4.20.23).

Так как величина $\hat{t}$ может быть выбрана равномерно ограниченной в каждой начальной окрестности (4.20.41), то решение $\boldsymbol{\eta}(t)$ является орбитально устойчивым, причем в силу наличия предельной фазы эта устойчивость асимптотическая (см. лемму 2 из §19). Теорема доказана полностью.
Для сравнения приводим формулировку теоремы Андронова Витта (см. [52a], [10]).

Теорема Андронова-Витта. Пусть о-периодическое решение $\eta(t)$ автономной систель (4.20.21) не сводится к тождественной постоянной $(\dot{\boldsymbol{\eta}}(t)
eq \mathbf{0}$ ), причем уравнения в вариациях для этого решения имеют один простой нулевой характеристический показатель, а все остальны характеристические показатели обладают отрицательными действительными частями. Тогда реиение $\boldsymbol{\eta}(t)$ устойчиво в слысле Ляпунова при $t \rightarrow \infty$.