Главная > ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ (Б. П. ДЕМИДОВИЧ)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

В этом параграфе будут установлены достаточные условия орбитальной устойчивости периодического решения автономной системы. Предварительно докажем три леммы (см. [28]).
Лемма 1. Пусть действительная периодическая система
dxdt=P(t)x,

где P(t)C(,+) и P(t+ω)=P(t)(ω>0) имеет один мультипликатор p1=1, а модули всех остальных ее мультипликаторов ρj(j=2,,n) меньше единицы:
|ρj|<1 при jeq1.

Тогда для системь (4.20.1) существует фундаментальная матрица специального вида
X(t)=Φ(t)diag(E1,eC1t),

где Φ(t) — действительная неособенная (-периодическая непрерывно дифференцируемая (n×n)-матрица, E1=1 и C1-действительная постоянная ( n1)×(n1)-матрица, все характеристические корни которой имеют отрицательные действительные части:
Reλj(C1)<0(j=1,,n1).

Доказательство. Пусть X~(t)(X~(0)=E) — нормированная фундаментальная матрица системы (4.20.1). Так как матрица P(t)ω-периодическая, то справедливо соотношение
X~(t+ω)=X~(t)X~(ω).

В силу условия теоремы для матрицы монодромии X~(ω) одно из ее собственных значений равно 1, а все другие по модулю меньше 1. Поэтому существует действительная неособенная матрица A такая, что
A1X~(ω)A=diag(E1,B1)B,

где B1 — действительная матрица типа (n1)×(n1)1), все характеристические числа которой по модулю меньше 1. Тогда, вводя действительную фундаментальную матрицу
X(t)=X~(t)A,

на основании соотношений (4.20.3) и (4.20.4) будем иметь
X(t+ω)=X~(t+ω)A=X^(t)X~(ω)A=X(t)B.

Для матрицы X(t) из (4.20.5) построим основную матрицу (обобщение, § 15 гл. III)
C=X1(0)X(ω)=A1X~1(0)X~(ω)A=B,

и пусть
Λ=1ωLnB=diag(0,C1),

где
C1=1ωLnB1.

Согласно теореме Флоке имеем
X(t)=Φ(t)eΛt,

где Φ(t) — неособенная ω-периодическая матрица. Отсюда на основании формулы (4.20.6) получим
X(t)=Φ(t)diag(E1,eC1t),

где
Reλj(C1)=Re[1ωLnλj(B1)]<0.

Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Пусть X(t) — дєйствительная фундаментальная матрица системы (4.20.1) вида (4.20.2) и
G(t,s)={X(t)diag(0,En1)X1(s) при t>s,X(t)diag(E1,0)X1(s) при t<s,

где Ep(p=1,,n) — единичная матрица соответствующего порядка. Тогда матрица G(t,s) обладает следующими свойствами:
1) G(t,t0)G(t,t+0)=En;
2) G˙t(t,s)=P(t)G(t,s) при teqs;
3) G(t,s){keα(ts) при t>s,k при t<s, где α>0 и k>0 — постоянные;
1) Можно, например, воспользоваться приведением матрицы X~( ( ) к нормальной форме Жордана в поле дейстьительных чисел (см. [4]).

4) вектор-функция
y(t)=X(t)a+0G(t,s)f(s)ds,

где a-произвольный постоянный вектор с нулевой первой координатой, т. е.
(a,e1)=0,e1=colon(1,0,,0)
u
f(t)C[0,),0f(t)dt<,

является решением неоднородной системь
dydt=P(t)y+f(t),

стремящимся к нулю при t :
y()=limty(t)=0.

Доказательство. Свойства 1) и 2) непосредственно вытекают из формулы (4.20.8).
В силу структуры матрицы X(t) имеем
X(t)=Φ(t)diag(E1,eC1t)

и
X1(s)=diag(E1,eC1s)Φ1(s),

где Φ(t)ω-периодическая матрица. Следовательно,
G(t,s)=Φ(t)diag(0,eζ1(ts))Φ1(s) при t>s

и
G(t,s)=Φ(t)diag(E1,0)Φ1(s) при t<s.

Так как все характеристические корни матрицы C1 имеют отрицательные действительные части, а матрица Φ(t) ограничена вместе с матрицей Φ1(t), то, пслагая
0<α<minj[Reλj(C1)]

получим оценки 3).
Рассмотрим теперь функцию y(t), определяемую формулой (4.20.9). Так как G(t,s)k при t,s0, то имеем
0G(t,s)f(s)dsk0f(s)ds<

и, следовательно, несобственный интеграл, стоящий в правой части равенства (4.20.9), является абсолютно сходящимся.
Записав формулу (4.20.9) в виде
y(t)=X(t)a+0tG(t,s)f(s)ds+iG(t,s)f(s)ds

и дифференцируя по параметру t, используя свойства 1) и 2), иаходим
y˙(t)=X˙(t)a++[G(t,t0)G(t,t+0)]f(t)+0G^t(t,s)f(s)ds==P(t)X(t)a+f(t)+0P(t)G(t,s)f(s)ds,
T. e.
y˙(t)=P(t;y(t)+f(t)

и, таким образом, y(t) является решением неоднородной системы (4.20.10). Законность дифференширования под знаком интеграла легко проверить.
Учитывая структуру матриць: X(t), будем иметь
X(t)a0 при t.

Кроме того, на основании неравенства 3) получаем
0G(t,s)f(s)ds0t2G(t,s)f(s)ds+t2G(t,s)f(s)ds0t2keα(ts)f(s)ds+t2kf(s)dskeat20f(s)ds+ki2f(s)ds<ε,

если t>T(ε). Поэтому
limt0G(t,s)f(s)ds=0.limty(t)=0.

Лемма 2 полностью доказана.

Лемма 3. Пусть дана нелинейная система
dzdt=P(t)z+φ(t,z),

где ш-периодическая матрица P(t) удовлетворяет условиям леммы 1 , а нелинейная вектор-функция Ψ(t,z) w-периодична по t и удовлетворяет условию Липшица по z :
φ(t,z)φ(t,z)Nzz(t[0,),z<Δ,z<Δ),

причем φ(t,0)=0.
Рассмотрим интегральное уравнение
z(t,a)=X(t)a+0G(t,s)φ(s,z(s,a))ds,

где X(t) — фундаментальная матрица соответствующей однородной системы (4. 20.1), имеющая специальный вид (4.20.2), G(t,s) определяется формулой (4.20.8) и а-произвольный постоянный вектор такой, что
(a,e1)=0

Тогда, если константа Липициа N достаточно мала, то при a<a0 интегральное уравнение (4.20.13) имеет решение z(t,a), представляющее собой ( n1 )-параметрическое семейство решений дифференциальной системы (4.20.11), обращающихся в нуль ка бесконечности:
limtz(t,a)=0.

Доказательство. В силу формулы (4.20.2) при t0 справедлива оценка
X(t)ak1aeα,t,

где k1(k11) — некоторая положительная постоянная и
0<α<minjRe[λj(C1)].

Предположим, что k — постоянная из леммы 2 и константа Липшица N удовлетворяет условию
N<α8k.

Применяя метод последовательных приближений, покажем, что если
a:Δ2k1=a0,

то интегральное уравнение (4.20.13) при t0 имеет решение

Второй Метод ляпунова
1.i. iv
z(t,a), причем
z(t,a)=2k1;aeα2t<Δ.

За начальное приближение примем z0(t,a)=0 и, как обычно, пюложим
zp(t,a)=X(t)a+0G(t,s)(s,zp1(s,a))ds(p=1,2,).

Так как φ(s,0)=0, то в силу неравенства (4.20.15) при t0 имеем
z1(t,a)z0(t,a)=X(t)ak1aeatk1aea2t.

Пусть теперь
zp(t,a)zp1(t,a)k12ρ1|aea2t при t0;

тогда в силу (4.20.18), учитывая неравенство (4.20.16) и оценку 3 ) для G(t,s) (см. лемму 2), будем иметь
zp+1(t,a)zp(t,a)0G(t,s)φ(s,zp(s,a))φ(s,zp1(s,a))ds0|G(t,s)|α8kzp(s,a)zp1(s,a)d sα8k{0tkeγ(ts)k12p1aex2sds+ikk12p1aeα2sds}αk12p1a(2αeαt2+2αeαt2)=k12paeαt2<Δ при t0(p=1,2,)

Таким образом, на основаних принципа математической индукции заключаем, что все приближения zp(t,a)(p=1,2,) имеют смысл и для них справедлива оценка (4.20.19). Отсюда, так как
zp(t,a)=q=1p[zq(t,a)zq1(t,a)]

то существует
limpzp(t,a)=z(t,a),

причем сходимость последовательности равномерна в области
Z{0t<,|a|<Δ4k1}

и, значит, предельная функция z(t,a) непрерывна по совокупности переменных t и a при достаточно малой a.

Переходя к пределу при p в равенстве (4.20.18), получаем
z(t,a)=X(t)a+0G(t,s)φ(s,z(t,a))ds,
т. е. z(t,a) в области Z является решением интегрального уравнения (4.20.13). Отсюда, дифференцируя по t последнее соотношение и используя свойства функции G(t,s), будем иметь
z˙(t,a)=P(t)z(t,a)+φ(t,z(t,a)),
т. е. z(t,a) в области Z есть решение нелинейной дифференциальной системы (4.20.11).
Далее, из неравенств (4.20.19) выводим
z(t,a)z0(t,a)+zp(t,a)zp1(t,a)p=1k12p1aeα2t2k1aet2t<Δ при t0. (4.20.20) 

Следовательно,
limtz(t,a)=0, если a<Δ4k1

в частности, при a=0 имеем
z(t,0)0.

Лемма 3 доказана.
Рассмотрим теперь действительную автономную систему
dydt=f(y)

где f(y)C1(y<H), и пусть η=η(t) — — -периодическое еe решение такое, что η(t)h<H. Уравнения в вариация здесь имеют вид
dxdt=fy(η(t))x

Аналог теоремы Андронов а-Витта (см. [52], [28]). Пусть автономная система (4.20.21) допускает ш-периодическое решение η(t), не являющееся тождественной постоянкой ( η˙(t)eq0 ), причем уравнения в вариациях (4.20.22) для эпого решения имеют один простой нулевой характеристический показатель, а все остальные -с отрицательными действительными частями. Тогда периодическое решение η(t) асимптотически орбитально устойчиво nри t.

Более того, для каждого близкого к η(t) решения y(t) сущестеует асимптотическая фаза, т. е. если Δ>0 достаточно мало и
y(t1)η(t0)<Δ

для некоторых t0 и t1, то найдепия постоянная c=c[y] такая, что
limt[y(t+c)η(t)]=0.

Доказательство (см. [28]). 1) Выберем новую прямоугольную систему координат Ov1vn, начало которой O находится в точке η(0), а первая ось Ov1 имеет направление,
Рис. 48.

определяемое вектором η˙(0) (рис. 48). Тогда система (4.20.21) примет вид
dvdt=g(v),

где снова g(v)CI.
Периодическое решение η(t) при этом перейдет в периодическое решение v0=p(t), обладающее следующими свойствами:
p(0)=0,p˙(0)=e1p˙(0)

где
e1=[100]

уравнения в вариациях, соответственно, будут иметь вид
dudt=gv(p(t))u,

причем, очевидно, характеристические показатели периодический системы (4.20.26) совпадают с характеристическими показателями системы в вариациях (4.20.22). Согласно лемме 1 для системы (4.20.26) существует действительная фундаментальная матрица вида
U(t)=Φ(t)diag(E1,eC1t),

где Φ(t+ω)=Φ(t) и Reλj(C1)<0. Из формулы (4.20.27) вытекает, что первый столбец матрицы U(t) представляет собой ω-периодическое решение уравнения (4.20.26). Так как p˙(t) является ω-периодическим решением уравнений в вариация (4.20.26) (см. §18) и в силу условия телремы это решение единственно, с точностью до скалярного постоянного множителя, то можно принять
U(t)=[p˙(t)p˙(0)!!,U1(t)],

где U1(t) — матрица типа n×(n1), причем
U(0)=[e1,U1(0)].

Положим
v=p(t)+z.

Тогда уравнение (4.20.24) примет вид
dzdt=gv(p(t)}z+φ(t,z),

где
φ(t,z)=[g(p(t)+z)g(p(t))]gv(p(t))z.

Так как
φz(t,z)=gv(p(t)+z)gv(p(t)),

то
φ(t,0)=φz(t,0)0

и
φ(t,z)t0,φz(t,z)tΘ при z0.

Отсюда следует, что φ(t,z) удсвлетворяет условию Липшица:
φ(t,z)φ(t,z)Nzz(t[0,),z<Δ,z<Δ),

где константа Липшица N сколь угодно мала, если число Δ достаточно мало.
Пусть
a=[0a2an]
— любой вектор, перпендикулярный орту e1.

В силу леммы 3 при a<a0 нелинейная система (4.20.30) допускает непрерывное по a многообразие решений
z(t,a)0 при t,

норма которых подчинена неравенству (4.20.20). Эти решения удовлетворяют интегральному уравнению
z(t,a)=U(t)a+0G(t,s)φ(s,z(s,a))ds,

где аналогично (4.20.2) имеем
G(t,s)={U(t)diag(0,En1)U1(s) при s<t,U(t)diag(E1,0)U1(s) при s>t,

причем
G(t,s){keα(ts) при s<t,k при s>t.
2) Установим связь между началыным значениями z(0)= =z(0,a) решения z(t,a) и параметром a. Из уравнения (4.20.32), полагая t=0 и учитывая формулы (4.20.33), имеем
z(0)=U(0)aU(0)diag(E1,0)0U1(s)φ(s,z(s,a))ds,

где интеграл справа сходится абсолютно и равномерно по параметру a при a<a0.
Используя формулу (4.20.29), получаем
U(0)diag(E1,0)=diag(E1,0).

Отсюда, полагая
z(0)=[z1znin]

и переходя в векторном уравнении (4.20.34) к координатам, будем иметь систему скалярных уравнений
{z1=j=2ncjaj+ψ~(a2,,an),zk=j=2ncj(k)aj(k=2,,n),

где cj(k) — соответствующие элементы матрицы U1(0) и
ψ~(a2,,an)=[0G(0,s)φ(s,z(s,a))ds]1
(символ [ ] обозначает первую компоненту соответствующего вектора), причем ψ~(a2,,an) непрерывна при a<a0. Так как матрица U(0) неособенная, то из структуры формулы (4.20.29) следует, что
detU(0)=A11eq0

где
A11=|cj(k)|(i,k=2,,n).

Поэтому последние ( n1 ) уравнений системы (4.20.35) можно разрешить относительно координат a2,,an, и мы будем иметь
ak=j=2ndj(k)zj(0)(k=2,,n),

где dj(k) — некоторые постоянные.
Подставляя эти выражения в первое уравнение системы (4.20.35), находим
z1(0)=j=2nkjzj(0)+ψ(z2(0),,zn(0))

где kj — некоторые постоянные и ψ(z2(0),,zn(0)) — результат подстановки параметров a2,,an в функцию Ψ(a2,,an). В силу формулы (4.20.20) имеем:
z(s,a)2k1aeα2s при s0.

Кроме того, из соотношений (4.20.31) вытекает неравенство
φ(s,z)γ(z)z,

где γ(z)0 при z0. Поэтому, учитывая ограниченность матрицы G(0,s), получаем
ψ˙(a2,,an)=o(a)

и, следовательно, на основании (4.20.36) будем иметь
ψ(z2(0),,zn(0))=o(r),

где
r=|z2(0)|++|zni03|

Пусть
v(0)=[v10vni0!]
— начальные значения некоторого решения v(t) преббразованной автономной системы (4.20.24). Так как
v(t)=p(t)+z(t)

и
v(0)=p(0)+z(0)=z(0),

то уравнение (4.20.37) имеет вид
v1(p)=j=2nkjvj+ψ(v20,,vn(0)),

где функция ψ непрерывна, если r=|v2(0)|++|vn0| достаточно мало, причем
ψ(0,,0)=0.

В пространстве Ov1vn уравнение (4.20.39) представляет собой некоторую непрерывную поверхность S (рис. 48), определенную в окрестности точки O и однозначную относительно координаты v1;, обладающую тем свойством, что из ее точек при t=0 выходят траектории v=v(t) системы (4.20.24), неограниченно приближающиеся к замкнутой периодической траектории v0=p(t), т. е. такие, что
limt[v(t)p(t)]=0.

Заметим, что из уравнения (4.20.39) и формулы (4.20.38) вытекает, что функция v1(0) дифференцируема в точке v20== =vnin!=0, причем уравнение касательной плоскости Q в этой точке выражается линейной частью:
v1(0=j=2nkjvj.

Обозначая через φ угол между единичным вектором n нормали к плоскости Q в точке O и вектором p˙(0)=e1p˙(0), из уравнения (4.20.40) будем иметь
cosφ=11+k22++kn2eq0.

Следовательно, периодическая траектория v0=p(t) пересекает поверхность S, не касаясь ее, и, значит, переходит с одной стороны поверхности на другую. А так как поверхность S непрерывна и задана явным уравнением (4.20.39), то близкие к ней траектории v=v(t) при возрастании или убывании t имеют с поверхностью S общие точки.
3) Пусть для некоторых t0 и t1 решение v(t) системы (4.20.21) в системе координат Ov1vn удовлетворяет неравенству
v(t1)p(t0)<Δ,

где Δ— некоторое достаточно малое положительное число. В силу автономности системы (4.20.21) вектор-функции

и
v1(t)=v(t+t1)p0(t)=p(t+t0)

также являются ее решениями, причем, очевидно, выполнено неравенство
v1(0)p0(0)<Δ.

Для периодической траектории v^0=p0(t)(L0) в точке t=0 построим непрерывную поверхность S0 со свойствами, аналогичными свойствам поверхности S, которую траектория L0 пересекает без касания при t=0. Следовательно, близкие к ней при t=0 траектории v1=v1(t), удовлетворяющие неравенству (4.20.41), где Δ достаточно мало, также пересекают поверхность S0 при t возрастающем или при t убывающем в некоторый момент t^. Так как траектория v^0=p0(t) не вырождается в точку, то момент t^ можно выбрать равномерно ограниченным для траекторий, подчиненных начальному условию (4.20.41), т. е.
|t^|T(Δ)

где T(Δ) — некоторое положительное число.
Отсюда, полагая
v^(t)=v1(t+t^)v(t+t1+t^),

получаем
v^(0)=v1(t^)S0.

В силу свойства поверхности S0 имеем
limtv^(t)p0(t)=0,
т. е.
limtv(t+t1+ı^)p(t+t0)=0.

Отсюда находим
limtv(t+c)p(t)=0,

где
c=t1t0+t^
— предельная фаза решения v(t). В частности, если t1=t0. то c=t^.

Возвращаясь к старым коодинатам y1,,yn, получим, что соответствующее решение y=y(t) системы (4.20.21) удовлетворяет условию (4.20.23).

Так как величина t^ может быть выбрана равномерно ограниченной в каждой начальной окрестности (4.20.41), то решение η(t) является орбитально устойчивым, причем в силу наличия предельной фазы эта устойчивость асимптотическая (см. лемму 2 из §19). Теорема доказана полностью.
Для сравнения приводим формулировку теоремы Андронова Витта (см. [52a], [10]).

Теорема Андронова-Витта. Пусть о-периодическое решение η(t) автономной систель (4.20.21) не сводится к тождественной постоянной (η˙(t)eq0 ), причем уравнения в вариациях для этого решения имеют один простой нулевой характеристический показатель, а все остальны характеристические показатели обладают отрицательными действительными частями. Тогда реиение η(t) устойчиво в слысле Ляпунова при t.

1
Оглавление
email@scask.ru