Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
В этом параграфе будут установлены достаточные условия орбитальной устойчивости периодического решения автономной системы. Предварительно докажем три леммы (см. [28]). где Тогда для системь (4.20.1) существует фундаментальная матрица специального вида где Доказательство. Пусть В силу условия теоремы для матрицы монодромии где на основании соотношений (4.20.3) и (4.20.4) будем иметь Для матрицы и пусть где Согласно теореме Флоке имеем где где Лемма 1 доказана. где 4) вектор-функция где является решением неоднородной системь стремящимся к нулю при Доказательство. Свойства 1) и 2) непосредственно вытекают из формулы (4.20.8). и где и Так как все характеристические корни матрицы получим оценки 3). и, следовательно, несобственный интеграл, стоящий в правой части равенства (4.20.9), является абсолютно сходящимся. и дифференцируя по параметру и, таким образом, Кроме того, на основании неравенства 3) получаем если Лемма 2 полностью доказана. Лемма 3. Пусть дана нелинейная система где ш-периодическая матрица причем где Тогда, если константа Липициа Доказательство. В силу формулы (4.20.2) при где Предположим, что Применяя метод последовательных приближений, покажем, что если то интегральное уравнение (4.20.13) при Второй Метод ляпунова За начальное приближение примем Так как Пусть теперь тогда в силу (4.20.18), учитывая неравенство (4.20.16) и оценку 3 ) для Таким образом, на основаних принципа математической индукции заключаем, что все приближения то существует причем сходимость последовательности равномерна в области и, значит, предельная функция Переходя к пределу при Следовательно, в частности, при Лемма 3 доказана. где Аналог теоремы Андронов а-Витта (см. [52], [28]). Пусть автономная система (4.20.21) допускает ш-периодическое решение Более того, для каждого близкого к для некоторых Доказательство (см. [28]). 1) Выберем новую прямоугольную систему координат определяемое вектором где снова где уравнения в вариациях, соответственно, будут иметь вид причем, очевидно, характеристические показатели периодический системы (4.20.26) совпадают с характеристическими показателями системы в вариациях (4.20.22). Согласно лемме 1 для системы (4.20.26) существует действительная фундаментальная матрица вида где где Положим Тогда уравнение (4.20.24) примет вид где Так как то и Отсюда следует, что где константа Липшица В силу леммы 3 при норма которых подчинена неравенству (4.20.20). Эти решения удовлетворяют интегральному уравнению где аналогично (4.20.2) имеем причем где интеграл справа сходится абсолютно и равномерно по параметру Отсюда, полагая и переходя в векторном уравнении (4.20.34) к координатам, будем иметь систему скалярных уравнений где где Поэтому последние ( где где Кроме того, из соотношений (4.20.31) вытекает неравенство где и, следовательно, на основании (4.20.36) будем иметь где Пусть и то уравнение (4.20.37) имеет вид где функция В пространстве Заметим, что из уравнения (4.20.39) и формулы (4.20.38) вытекает, что функция Обозначая через Следовательно, периодическая траектория где и также являются ее решениями, причем, очевидно, выполнено неравенство Для периодической траектории где получаем В силу свойства поверхности Отсюда находим где Возвращаясь к старым коодинатам Так как величина Теорема Андронова-Витта. Пусть о-периодическое решение
|
1 |
Оглавление
|