1. Пусть для приведенной системы
\[
\frac{d x}{d t}=\boldsymbol{X}(t, x) \quad(\boldsymbol{X}(t, 0)=0)
\]

существует ограниченная функция
\[
\begin{array}{c}
V(t, x) \in C_{t x}^{(1,1)}(Z), \\
Z=\left\{t_{0} \leqslant t<\infty, \quad\|x\|<H\right\},
\end{array}
\]

имеющая полную производную в силу системы (;):
\[
\dot{V}(t, x)=\alpha V(t, x)+W(t, x),
\]

где $\alpha$ – положительное число и $W(t, x)$ – знакопостоянная функция, причем функция $V$ такова, что в любой окрестности $t=t_{0},\|\boldsymbol{x}\|<\delta$ существует точка $x_{0}$, для которой выполнено неравенство
\[
V\left(t_{0}, x_{0}\right) W\left(t_{0}, x_{0}\right)>0 .
\]

Тогда тривиальное решение $\boldsymbol{x} \equiv \mathbf{0}$ неустойчиво (см. [13]).
2. Пусть для системы (s) (см. 1) существует ограниченная положительно определенная функция $V(t, x) \in C_{t \boldsymbol{x}}^{(1,1)}(Z)$, производная которой $\dot{V}(t, x)$ в силу системы (а) отрицательно определенная. Тогда для любого $\varepsilon>0$ суммарное время пребывания нетривиального решения $x=x(t) \quad\left(t_{0} \leqslant t<\infty\right)$ вне $\varepsilon$-окрестности центра притяжения $O$ ограничено.
3. Пусть 1) $A=\left[a_{j k}\right]$ – постоянная $(n \times n)$-матрица и все решения системы
\[
\frac{d x}{d t}=A x
\]

ограничены на полуоси $t_{0} \leqslant t<\infty ;$ 2) $\boldsymbol{f}(t, x) \in C\left(I_{l}^{+} \times \| \boldsymbol{x}_{\|} \leqslant h\right)$, иричем
\[
\|f(t, x)\| \leqslant g(t)\|x\|,
\]

гле
\[
\int_{t_{0}}^{\infty} g(t) d t<\infty .
\]

Тогда тривиальное решение $\boldsymbol{y}=\mathbf{0}$ системы
\[
\frac{d y}{d t}=A y+f(t, y)
\]

устойчиво по Ляпунову при $t \rightarrow \infty$.
4. Пусть для приведенной системы
\[
\frac{d x}{d t}=X(t, x) \quad(X(t, 0)=0),
\]
жительно определенная квадратичная форма
\[
V(x)=(A x, x),
\]

подная производная которой $\dot{V}_{\mathrm{a}}(t, x)$ в ситу системы (a) удовлетворяет неравенству
\[
\dot{V}_{\mathrm{a}}(t, x) \leqslant-(B x, x),
\]

причсм – $(B x, x)$-отрицательно опредетенная квадратичная форма ( $A$ и $B$ – постоянные симметрические $(n \times n)$-матрицы). Тогда для возмущенной системы.
\[
\frac{d y}{d t}=X(t, y)-Y(t, y),
\]

где

если постоянная Линшица $N$ – достагочно мала, то ее тривиальное решение $\boldsymbol{y}=\mathbf{0}$ – асимптотически устойчиво при $t \rightarrow \infty$. Доказать.
5. Пусть
\[
\frac{d x}{d t}=A x+f(t, x),
\]

где $A$ – постоянная $(n \times n)$-матриа, $\operatorname{Re} \lambda_{j}(A) \leqslant-\sigma<0(j=1, \ldots, n)$ н $f(t, x) \in C\left(I_{t}^{+} \times x: x\right)$ причем
\[
\| f(t, x) \leqslant M e^{x t}: x \mid 1+\beta
\]
$(\alpha>0, \beta>0, M>0$ – постоянные). Тогда, если $\alpha<M \sigma$, то тривиальное решение $\boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ системы (а) асимптотисски устойчиво ( $\mathrm{R}$ a markischna).
6. Пусть
\[
\frac{d x}{d t}=A(t) x+f(t, x),
\]

где $A(t) \in C\left[t_{0}, \infty\right)$ и $f(t, x) \in C\left(I_{i}^{+} \times{ }_{i} x \|<H\right)$.
Если а) $f(t, x) \mid \leqslant \lambda(t)\|x\| ;$
б) $\lambda_{j}\left[A_{s}(t)\right] \leqslant \mu(t)(j=1, \ldots, n)$, где
\[
A_{s}(t)=\frac{1}{2}\left[A(t)+A^{T}(t)\right] ;
\]
B)
\[
\int_{t_{0}}^{\infty}[\lambda(t)+\mu(t)] d t=-\infty,
\]

то тривиальное решение $\boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ системы (а) асимптотически устойчиво в целом ( $\mathrm{W}$ о п $\mathrm{g}$ ).
7. Пусть
\[
\frac{d x}{d t}=X(t, x) \quad(X(0, x)=0)
\]

II
\[
\frac{d \tilde{x}}{d t}=X(t, \tilde{x})+R(t, \tilde{x})
\]

где $X(t, x), R(t, x) \in C_{t x}^{(0,1)}(Z)$ и $Z=I_{t}^{+} \times(\|x\|<h)$.
Ести существует положительно, определенная скалярная функция $V(t, x) \in C_{t x}^{(0,1)}(Z)$, удовлетворяющая в $Z$ условиям:
a)
\[
W_{1}(x) \leqslant V(t, x) \leqslant W_{2}(x), \quad \dot{V}(t, x) \leqslant-W_{3}(x),
\]

где $W_{k}(x)(k=1,2,3)$ – положительно определенные функции; б)
\[
\sup \left|\frac{\partial v}{\partial x_{j}}\right|<\infty \quad(j=1, \ldots, n),
\]

то тривиальное решение $\boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ сисгемы (А) устойчиво при постоянно действующих возмущениях $R(t, x)$, т. е. для пюбого $\varepsilon>0(0<\varepsilon<h)$ существует $\delta=\delta(\varepsilon)>0$ такое, что из неравенств
\[
\left\|\tilde{x}\left(t_{0}\right)\right\|<\hat{,}, \quad\|R(t, \tilde{x})\|<\delta \quad \text { при } \quad t \geqslant t_{0}, \quad\|\tilde{x}\|<\varepsilon
\]

вытекает неравенство
\[
\|\tilde{x}(t)\|<\varepsilon \text { для всех } t \geqslant t_{0}
\]
( $М$ а $л и н)$.
8. Пусть
\[
\frac{d x}{d t}=f(t, x) \quad\left(f(t, x) \in C_{t x}\left(I_{t}^{+} \times \mathscr{\mathscr { R }}_{x}^{n}\right)\right),
\]

причем
\[
\|f(t, x)\| \leqslant \lambda(t) \varphi(\|x\|),
\]

где $\lambda(t)(0 \leqslant t<\infty)$ и $\varphi(r)(0<r<\infty)$ положительны, непрерывны и таковы, что
\[
\int_{0}^{\infty} \lambda(t) d t<\infty, \quad \int_{0}^{\infty} \frac{d r}{\varphi(r)}=\infty .
\]

Тогда решение $x\left(t ; t_{0}, x_{0}\right)$ равномерно ограничено, т. е. $\sup _{t}\left\|x\left(t ; t_{0}, x_{0}\right)\right\| \leqslant$ $\leqslant C\left(r_{0}\right)<\infty$ при $0 \leqslant t<\infty$ и $\left\|x_{0}\right\| \leqslant r_{0}<\infty$ (Винтне р).
9. Пусть
\[
\ddot{x}+f(x, \dot{x}) \dot{t}+g(x)=e(t),
\]

где $f(x, \dot{x}), g(x) \in C\left(\mathscr{R}^{2}\right)$ п $e(t) \in C[0, \infty)$.

Если а) $f(x, \dot{x}) \geqslant 0$;
б) $G(x)=\int_{0}^{x} g(\xi) d \xi>0$ при $x
eq 0$ и $G(x) \rightarrow \infty$ ॥ри $|x| \rightarrow \infty$; в) $\int_{0}^{\infty}|e(t)| d t<\infty$, то каждое решение $x(t)$ предельно ограничено вместе со своей производной $\dot{x}(t)$ при $t \rightarrow \infty$ (см. §17) (Анто си е вич). Указание. Рассмотреть функцию Ляпунова
\[
\left.V(t, x, y)=\sqrt{\frac{y^{2}}{2}+G(x)}-\int_{0}^{t} \right\rvert\, e\left(t_{1}\right) ! d t_{1} .
\]
10. Пусть для автономной системы
\[
\frac{d x}{d t}=X(x) \quad(X(0)=0), \quad \text { (isitas) }
\]

где $\boldsymbol{X}(\boldsymbol{x}) \in C\left(\mathscr{R}_{\boldsymbol{x}}^{n}\right)$, существует скалярная функция $V(\boldsymbol{x}) \in C^{(1)}\left(\mathscr{R}_{\boldsymbol{x}}^{n}\right)$, удовлетворяющая в ограниченной области $\mathrm{S}_{l}=\left\{x \in \mathscr{R}_{x}^{n}: \” V(x)<l\right\}$ условиям:
а) $V(x)>0$ при $x
eq 0$; б) $\dot{V}(x) \leqslant 0$. Далее, пусть $M$-максимальное непустое инвариантное множество (т.е. множество, содержащее вместе с точкой $x_{0}$ всю траекторию $\left\{x\left(t, x_{0}\right),-\infty<t<+\infty\right\}$ ) такое, что
\[
M \subset \Omega_{l} \cap\{\dot{V}(x)=0\} .
\]

Тогда каждое решение $\boldsymbol{x}(t)$ системы (شы), начинающееся в $\Omega_{l}$, неограниченно приближается к $M$ при $t \rightarrow \infty$ (Ле фшец и Ла-Салль [45]).
11. Пусть $\boldsymbol{x}=\left(x_{1}, \ldots, x_{p}\right), \boldsymbol{y}=\left(y_{1}, \ldots, y_{q}\right)$ и
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=f(t, x, y), \\
\frac{d y}{d t}=g(t, x, y),
\end{array}
\]

где $f, g \in C_{t x y}^{(0,1,1)}\left(I_{t}^{+} \times \mathscr{R}_{x}^{p} \times \mathscr{R}_{y}^{q}\right)$, причем $f(0, x, y)=g(0, x, y)=0$ при $t \geqslant t_{0}$.

Говорят, что начало координат $O x$ системы (а) квазиустойчиво, если для всякого $\varepsilon>0$ существует $\delta=\delta\left(\varepsilon, t_{0}\right)>0$ такое, что любое решение $\tilde{x}(t)$ вспомогательной системы
\[
\frac{d \tilde{x}}{d t}=f(t, \tilde{x}, \eta(t)),
\]

где $\eta(t)$ – непрерывный $q$-мерный вектор, гри $\left\|\tilde{x}\left(t_{0}\right)\right\|<\delta$ и $\left\|\eta\left(t_{0}\right)\right\|<\delta$ удовлетворяет неравенству
\[
\|\tilde{x}(t)\|<\varepsilon
\]

на любом отрезке $t_{0} \leqslant t \leqslant t_{1}$, для которого $\|\boldsymbol{\eta}(t)\| \leqslant \varepsilon$.
Доказать теорему Персидского (см. [21]): если начала координат как $O_{x}$, так и $O_{y}$, систем (a) и (b), соответственно, квазиустойчивы, то начало координат $O$ полной системы ( (a), (b) ) также устойчиво.

12. Исследовать на устойчивость тривиальное решение $x=0$ скалярного уравнения
\[
\begin{array}{c}
\ddot{x}+x=\mu \dot{x}\left(a x^{2}+2 b x \dot{x}+c \dot{x}^{2}\right) \\
\left(a>0, \quad a c-b^{2}>0\right),
\end{array}
\]

где $a, b, c$ – постоянные и $\mu$-действительный скалярный параметр (см. [21]).
13. Исследовать на орбитальную устойчивость периодическое решенис $\xi=\sin t$ скалярного уравнения
\[
\ddot{x}+\mu \dot{x}\left(x^{2}+\dot{x}^{2}-1\right)+x=0,
\]

где $\mu$ – действительный скалярный параметр.
14. Для треугольной нелинейной системы
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d x_{1}}{d t}=f_{1}\left(x_{1}\right), \\
\frac{d x_{2}}{d t}=f_{2}\left(x_{1}, x_{2}\right) \\
\cdots \ldots \ldots \ldots \\
\frac{d x_{n}}{d t}=f_{n}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)
\end{array}\right\}
\]

где $f_{j} \in C^{1}\left(\mathscr{R}_{x}^{n}\right)(j=1, \ldots, n)$, получить достаточные условия асимптотической орбитальной устойчивости ее $\omega$-периодического решения
\[
x_{j}=p_{j}(t) \quad(j=1, \ldots, n) .
\]