В этом параграфе мы устағовим некоторые достаточные условия существования ограниченного на всей оси $I_{t}=\{-\infty<t<+\infty\}$ решения дифференциальной системы.
Предварительно докажем одну лемму (см. [61]).
Лемма. Пусть
\[
\frac{d y}{d t}=A y+\boldsymbol{f}(t),
\]
где $\boldsymbol{y}=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right), \quad A=\left[a_{j k}\right]$ – постоянная $(n \times n)$-матрица, $f(t) \in C(-\infty,+\infty)$, причем $\operatorname{Re} \lambda_{j}(A)
eq 0 \quad(j=1, \ldots, n)$ и
\[
\sup _{t}\|f(t)\|=\Gamma<\infty .
\]
Тогда существует матрица $G(t) \in C^{\infty}(0<|t|<\infty)$, имеющая следующие свойства:
1) $G(+0)-G(-0)=E_{n}$, где $E_{n}-$ единичная $(n \times n)$-матрица;
2) $\|G(t)\| \leqslant c e^{-\alpha|t|}(t
eq 0)$, где с и $\alpha$ – положительные постоянные;
3) $\dot{G}(t)=A G(t)$ при $t
eq 0$;
4)
\[
\eta(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} G\left(t-t_{1}\right) f\left(t_{\mathrm{i}}\right) d t_{1}
\]
представляет собой единственкое ограничнное на $I_{t}$ решение системы (5.10.1).
Доказательство. С помощью неособенной постоянной $(n \times n)$-матрицы $S$ матрицу $A$ можно привести к следующему виду:
\[
A=S^{-1} \operatorname{diag}(P, N) S \text {, }
\]
где характеристические числа матрицы $P$ имеют положительные вещественные части:
\[
\operatorname{Re} \lambda_{j}(P)>0 \quad(j=1, \ldots, m),
\]
а характеристические числа матрицы $N$ имеют отрицательные вещественные части:
\[
\operatorname{Re} \lambda_{j}(N)<0 \quad(j=m+1, \ldots, n) .
\]
Положим
\[
\begin{array}{c}
G(t)=-S^{-1} \operatorname{diag}\left(e^{P t}, 0\right) S \text { при } t<0, \\
G(t)=S^{-1} \operatorname{diag}\left(0, e^{N t}\right) S \text { при } t>0 .
\end{array}
\]
Очевидно, нмеем $G(t) \in C^{\infty}(0<|t|<\infty)$. Кроме того,
\[
G(+0)-G(-0)=E_{n}
\]
и, таким образом, свойство 1) выполнено.
Далее, полагая
\[
0<\alpha_{1}<\min _{j} \lambda_{j}(P)
\]
и
\[
0<\alpha_{2}<\min _{i}\left[-\lambda_{j}(N)\right],
\]
получим
\[
\left\|e^{P t}\right\| \leqslant c_{1} e^{\alpha_{1} t} \quad \text { при } t \leqslant 0
\]
и
\[
\left\|e^{N t}\right\| \leqslant c_{2} e^{-\alpha_{\mathrm{i}} t} \quad \text { при } t \geqslant 0,
\]
где $c_{1}$ и $c_{2}$ – некоторые положительные постоянные. Отсюда вытекает свойство 2):
\[
\|G(t)\| \leqslant c e^{-a: t \mid} \quad(t
eq 0),
\]
где $\alpha=\min \left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)$ и $c$ – положительная постоянная.
Дифференцируя по $t$ формулу (5.10.3), будем иметь
\[
\begin{array}{l}
\dot{G}(t)=-S^{-1} \operatorname{diag}\left(P e^{P t}, 0\right) S= \\
\quad=-S^{-1} \operatorname{diag}(P, N) S \cdot S^{-1} \operatorname{diag}\left(e^{P t}, 0\right) S=A G(t) \quad \text { при } \quad t<0 .
\end{array}
\]
Аналогично из формулы (5.10.4) получим
\[
G(t)=A G(t) \quad \text { при } t>0 .
\]
Следовательно, имеет место свойство 3 ).
Наконец, из неравенства (5.10.5) выводим
\[
\int_{-\infty}^{+\infty}\|G(t)\| d t \leqslant 2 c \int_{0}^{\infty} e^{-\alpha t} d t=\frac{2 c}{\alpha} .
\]
Поэтому интеграл (5.10.2) сходится для любого $t \in(-\infty,+\infty)$, причем сходимость равномерна на каждом конечном интервале $a<t<b$. Так как
\[
\boldsymbol{\eta}(t)=\int_{-\infty}^{t} G\left(t-t_{1}\right) \boldsymbol{f}\left(t_{1}\right) d t_{1}+\int_{i}^{\infty} G\left(t-t_{1}\right) \boldsymbol{f}\left(t_{1}\right) d t_{1},
\]
то, формально дифференцируя по параметру $t$, будем иметь
\[
\begin{aligned}
\dot{t}(t)=[G(+0)-G(-0)] & f(t)+ \\
\quad+\int_{-\infty}^{t} A G\left(t-t_{1}\right) & f\left(t_{1}\right) d t_{1}+\int_{i}^{\infty} A G\left(t-t_{1}\right) \boldsymbol{f}\left(t_{1}\right) d t_{1} \equiv \\
& \equiv f(t)+A \eta(t) \quad \text { при }-\infty<t<+\infty .
\end{aligned}
\]
Дифференцирование законно, так как несобственные интегралы, полученные в результате формального дифференцирования, сходятся равномерно на каждом кснечном интервале $(a, b) \in I_{t}$. Итак, $\eta(t)$ является решением системы (5.10.1). Оценивая $\eta(t)$ по норме, на основании (5.10.6) будем иметь
\[
\|\boldsymbol{\eta}(t)\| \leqslant \sup _{t}\|\boldsymbol{f}(t)\| \cdot \int_{-\infty}^{\infty}\left\|G\left(t-t_{1}\right)\right\| d t_{1} \leqslant \Gamma \cdot \frac{2 c}{\alpha}=\Gamma_{1}<\infty .
\]
Следовательно, решение $\boldsymbol{\eta}(t)$ ограничено на действительной оси $-\infty<t<+\infty$.
То, что ограниченное решение $\boldsymbol{\eta}(t)$ единственно, следует из того, что для двух ограниченных на $I_{t}$ решений $\boldsymbol{\eta}(t)$ и $\boldsymbol{\eta}_{1}(t)$ их разность
\[
\boldsymbol{\xi}(t)=\boldsymbol{\eta}_{1}(t)-\boldsymbol{\eta}(t)
\]
является решением однородной системы
\[
\frac{d x}{d t}=A x
\]
единственным ограниченным на $I_{t}$, решением которой является тривиальное решение $\boldsymbol{x} \equiv \mathbf{0}$.
Таким образом, свойство 4) также выполнено.
Следствие. Для ограниченного решения $\boldsymbol{\eta}(t)$ системы (5.10.1) справедлива оценка
\[
\sup _{t}\|\boldsymbol{\eta}(t)\| \leqslant k \sup _{t}\|\boldsymbol{f}(t)\|,
\]
где постоянная $k$ зависит только от матриць $A$ (см. (5.10.7)).
3амечание. Если свободный член $f(t)$ системы (5.10.1) есть $\omega$-периодическая вектор-функция:
\[
f(t+\omega) \equiv f(t) \quad(\omega>0),
\]
то ограниченное решение $\boldsymbol{\eta}(t)$ также $\omega$-периодично.
Действительно, на основании формулы (5.10.2) имеем
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{\eta}(t+\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty} G\left(t+\omega-t_{1}\right) \boldsymbol{f}\left(t_{1}\right) d t_{1} & \\
& =\int_{-\infty}^{+\infty} G\left(t-t_{1}\right) \boldsymbol{f}\left(t_{1}+\omega\right) d t_{1} \equiv \boldsymbol{\eta}(t) .
\end{aligned}
\]
Теорема Боля (см. [62]). Пусть дана действительная система
\[
\frac{d y}{d t}=A y+\varphi(t, y) \text {, }
\]
где $\boldsymbol{y}=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right), A=\left[a_{j k}\right]$ – постоянная $(n \times n)$-матрица, $\varphi(t, y) \in C_{t y}\left(I_{t} \times\|y\|<\infty\right)$.
Если
1) $\operatorname{Re} \lambda_{j}(A)
eq 0 \quad(j=1, \ldots, n)$, причем $\operatorname{Re} \lambda_{j}(A)>0 \quad n p u$ $j=1, \ldots, m$, Re $\lambda_{j}(A)<0$ nри $j=m+1, \ldots, n(0 \leqslant m \leqslant n)$;
2) $\sup _{t}\|\varphi(t, 0)\|=\Gamma<\infty$;
3) выполнено условие Липшица
$\|\varphi(t, y)-\varphi(t, z)\| \leqslant N\|y-z\| \quad$ при $\boldsymbol{y} \in \mathscr{R}_{y}, \boldsymbol{z} \in \mathscr{R}_{y}$,
то при достаточно малой константе Липшица $N$
1′) существует решение $\eta=\eta(t)$ системы (5.10.8), определенное и ограниченное на всей оси $I_{t}{ }^{1}$ );
$2^{\prime}$ ) в пространстве е $\mathscr{R}_{\text {у }}^{n}$ имеютоя многообразия $S_{m}^{+}$и $S_{n-m}^{-}$, соответственно, измерений $m$ и $n-m$ такие, что решения $y\left(t ; 0, \boldsymbol{y}_{0}\right)$ системь (5.10.8) обладают свойствами:
\[
\lim _{t \rightarrow+\infty}\left[y\left(t ; 0, y_{0}\right)-\eta(t)\right]=0, \text { если } \boldsymbol{y}_{0} \in S_{m}^{+},
\]
и
\[
\lim _{t \rightarrow-\infty}\left[y\left(t ; 0, y_{0}\right)-\eta(t)\right]=0, \text { если } y_{0} \in S_{n-m}^{-} .
\]
Доказательство. 1) Принимая $\varphi(t, y)$ за свободный член, по аналогии с формулой (5.10.2), рассмотрим интегральное уравнение
\[
\boldsymbol{y}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} G\left(t-t_{1}\right) \varphi\left(t_{1}, y\left(t_{1}\right)\right) d t_{1},
\]
где $G(t)$ – функция, определенная в лемме. В силу свойств 1), 2 , 3) и 4) функции $G(t)$ непрерывное ограниченное решение $\eta(t)$ интегрального уравнения (5.10.11) является также решением дифференциального уравнения (5.10.8).
Пусть
\[
c_{1}=\int_{-\infty}^{+\infty}\|G(t)\| d t \quad\left(c_{1}<\infty\right)
\]
и
\[
y^{(0)}(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} G\left(t-t_{1}\right) \varphi\left(t_{1}, 0\right) d t_{1} .
\]
1) Стјчаи $m=0$ и $m=n$ не исключаются,
На основании условия 2) имеем
\[
\begin{array}{l}
\left\|\boldsymbol{y}^{(0)}(t)\right\| \leqslant \int_{-\infty}^{+\infty}\left\|G\left(t-t_{1}\right)\right\|\left\|\varphi\left(t_{1}, 0\right)\right\| d t_{1} \leqslant \\
\quad \leqslant \sup _{t_{1}}\left\|\varphi\left(t_{1}, 0\right)\right\| \int_{-\infty}^{+\infty}\left\|G\left(t-t_{1}\right)\right\| d t=\Gamma c_{1}=\Gamma_{1} .
\end{array}
\]
Выберем число $H$ такое, что
\[
H>2 \Gamma_{1} .
\]
В пространстве $R$ непрерывғых и ограниченных на $I_{t}$ векторфункций $\boldsymbol{y}(t)$, где
\[
\sup _{t}\|y(t)\|<H
\]
рассмотрим оператор $T$, определяемый правой частью интегрального уравнения (5.10.11):
\[
T y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} G\left(t-t_{1}\right) \varphi\left(t_{1}, y\left(t_{1}\right)\right) d t_{1} .
\]
Так как при $\|\boldsymbol{y}\|<H$ имеем
\[
\sup _{t . y}\|\varphi(t, \boldsymbol{y})\| \leqslant \sup _{\boldsymbol{t}}\|\varphi(t, 0)\|+N \sup _{y}\|\boldsymbol{y}\|<\Gamma+N H,
\]
то при $y(t) \in R$ интеграл (5.10.13) сходится, причем равномерно на каждом конечном промежутхе $a<t<b$. Отсюда легко убедиться, что если $\boldsymbol{y}(t) \in R$, то $T \boldsymbol{y}(t)$ имеет смысл для любого $t \in I_{t}$ и $T y(t) \in C\left(I_{t}\right)$. Далее, при $y(t) \in R$ будем иметь
\[
T y(t)=\boldsymbol{y}^{(0)}(t)+\int_{-\infty}^{\infty} G\left(t-t_{1}\right)\left[\varphi\left(t_{1}, y\left(t_{1}\right)\right)-\varphi\left(t_{1}, 0\right)\right] d t_{1} .
\]
Отсюда
\[
\begin{aligned}
\mid T y(t) \| & \leqslant\left\|\boldsymbol{y}^{(0)}(t)\right\|+ \\
& +N \sup _{t}\|\boldsymbol{y}(t)\| \int_{-\infty}^{\infty}\left\|G\left(t_{1}\right)\right\| d t_{1} \leqslant \Gamma_{1}+N H c_{1} .
\end{aligned}
\]
Если выбрать константу Липшица $N$ столь малой, чтобы
\[
N<\frac{1}{2 c_{1}},
\]
то из неравенства (5.10.14), учитывая, что $\Gamma_{1}<\frac{H}{2}$, получим
\[
\sup _{t}\|T y(t)\| \leqslant \Gamma_{1}+\frac{H}{2}<H,
\]
Таким образом, при $N$, удовлетворяющем неравенству (5.10.15), получаем, что если $y(t) \in R$, то $T y(t) \in R$. В дальнейшем мы будем предполагать, что условие (5.10.15) выполнено.
Для функций $\boldsymbol{y}(t), \boldsymbol{z}(t) \in R$ введем расстояние $\mathrm{p}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{z})$, полагая
\[
\rho(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{z})=\sup _{t}|\boldsymbol{y}(t)-\boldsymbol{z}(t)| \mid .
\]
Тогда $R$ будет являться метрическим пространством (см. §5), причем это пространство полное.
Убедимся теперь, что при условии (5.10.15) отображение $T y(t)$ будет сжатым (§5). Действительно, если $\boldsymbol{y}(t), \boldsymbol{z}(t) \in R$, то из формул
\[
T y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} G\left(t-t_{1}\right) \varphi\left(t_{1}, y\left(t_{1}\right)\right) d t_{1}
\]
и
\[
T z(t)=\int_{-\infty}^{\infty} G\left(t-t_{1}\right) \varphi\left(t_{1}, y\left(t_{1}\right)\right) d t_{1},
\]
используя условие Липшица 3), получим
$\|T \boldsymbol{y}(t)-T \boldsymbol{z}(t)\| \leqslant$
\[
\leqslant N \sup _{t}\|\boldsymbol{y}(t)-\boldsymbol{z}(t)\| \int_{-\infty}^{\infty}\left\|G\left(t-t_{1}\right)\right\| d t_{1}=N c_{1} \rho(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{z}) .
\]
Отсюда
\[
p(T y, T z) \leqslant q p(y, z),
\]
где
\[
q=N c_{1}<\frac{1}{2}
\]
в силу неравенства (5.10.15).
Таким образом, выполнены все условия принципа сжатых отображений (§5) и, следовательно, существует непрерывное ограниченное на $I_{t}$ решение $\eta(t)$ интегрального уравнения (5.10.11), а значит, и дифференциального уравнения (5.10.8), причем
\[
\sup _{t}\|\boldsymbol{\eta}(t)\|<H .
\]
Решение $\boldsymbol{\eta}(t)$ может быть найдено методом последовательных приближений
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{y}^{(0)}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} G\left(t-t_{1}\right) \varphi\left(t_{1}, 0\right) d t_{1}, \\
\boldsymbol{y}^{(p)}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} G\left(t-t_{1}\right) \varphi\left(t_{1}, \boldsymbol{y}^{(p-1)}\left(t_{1}\right)\right) d t_{1} \\
(p=1,2, \ldots) .
\end{array}
\]
2) В системе (5.10.8) положим
\[
\boldsymbol{y}=\boldsymbol{\eta}(t)+\boldsymbol{x} .
\]
Тогда будем иметь
\[
\frac{d x}{d t}=A x+\psi(t, x),
\]
где
\[
\boldsymbol{\psi}(t, \boldsymbol{x})=\boldsymbol{\varphi}(t, \boldsymbol{\eta}(t)+\boldsymbol{x})-\boldsymbol{\varphi}(t, \boldsymbol{\eta}(t)) .
\]
Очевидно, имеем
\[
\psi(t, 0)=0
\]
и
\[
\left\|\boldsymbol{\Psi}\left(t, x^{\prime}\right)-\boldsymbol{\psi}(t, \boldsymbol{x})\right\| \leqslant N\left\|\boldsymbol{x}^{\prime}-\boldsymbol{x}\right\| \quad\left(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}^{\prime} \in \mathscr{\mathscr { R }}_{x}^{n}\right),
\]
причем
\[
\varphi(t, x) \underset{t}{\rightarrow} 0 \text { при } x \rightarrow 0 .
\]
Отсюда на основании теоремы сб условной устойчивости (гл. IV, $\S 22$ ) заключаем о существовании многообразий $S_{m}^{+}$и $S_{n-m}^{-}$, обладающих, соответственно, свойствами (5.10.9) и (5.10.10).
Замечание. Теорема остается в силе, если предположить, что условие Липшица выполнено лишь в области: $\|\boldsymbol{y}\|<\boldsymbol{H}$, $\|\boldsymbol{z}\|<H$, где постоянная $H$ удовлетворяет неравенству (5.10.12). Следствие 1. Если $\varphi(t, y)$ w-периодична по $t$, то ограниченное решение $\boldsymbol{\eta}(t)$ также $\omega$-периодично.
Действительно, в этом случае из равенства
\[
\boldsymbol{\eta}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} G\left(t-t_{1}\right) \varphi\left(t_{1}, \boldsymbol{\eta}\left(t_{1}\right)\right) d t_{1}
\]
получаем
\[
\begin{array}{c}
\eta(t+\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} G\left(t+\omega-t_{1}\right) \varphi\left(t_{1}, \eta\left(t_{1}\right)\right) d t_{1}= \\
=\int_{-\infty}^{\infty} G\left(t-t_{1}\right) \varphi\left(t_{1}+\omega, \eta\left(t_{1}+\omega\right)\right) d t_{1}= \\
=\int_{-\infty}^{\infty} G\left(t-t_{1}\right) \varphi\left(t_{1}, \quad \eta\left(t_{1}+\omega\right)\right) d t_{1} .
\end{array}
\]
Отсюда
\[
\begin{array}{l}
\|\boldsymbol{\eta}(t+\omega)-\boldsymbol{\eta}(t)\| \leqslant \\
\leqslant \int_{-\infty}^{\infty}\left\|G\left(t-t_{1}\right)\right\|\left\|\boldsymbol{\varphi}\left(t_{1}, \eta\left(t_{1}+\omega\right)\right)-\boldsymbol{\varphi}\left(t_{1}, \eta\left(t_{1}\right)\right)\right\| d t_{1} \leqslant \\
\leqslant N \sup _{t}\|\eta(t+\omega)-\eta(t)\| c_{1}, \\
\end{array}
\]
где
\[
c_{1}=\int_{-\infty}^{\infty} \mid G(t) \| d t .
\]
Следовательно,
\[
\sup _{t}\|\eta(t+\omega)-\eta(t)\| \leqslant c_{1} N \sup _{t}\|\eta(t+\omega)-\eta(t)\|,
\]
а так как $c_{1} N<1$, то
\[
\sup _{t}\|\boldsymbol{\eta}(t+\omega)-\eta(t)\| \leqslant 0,
\]
T. e.
\[
\eta(t+\omega) \equiv \eta(t),
\]
что и требовалось доказать.
Следствие 2. Если для всех характеристических чисел $\lambda_{j}(A)$ матрицы $A$ выполнено условие:
\[
\operatorname{Re} \lambda_{j}(A)<0,
\]
то система (5.10.8) конвергентна (гл. IV, § 16).
Действительно, в этом случає ограниченное решение $\eta(t)$ единственно (ср. гл. IV, § 16, лемма 1) и для любого решения $y\left(t ; t_{0}, y_{0}\right)$ системы $(5.10 .8)$ имеем
\[
\lim _{t \rightarrow \infty}\left\|_{i} y\left(t ; t_{0}, y_{3}\right)-\eta(t)\right\|=0 .
\]
