Рассмотрим линейную дифференциальную систему
\[
\frac{d y_{j}}{d t}=\sum_{k=1}^{n} a_{j k}(t) y_{k}+f_{j}(t) \quad(j=1, \ldots, n),
\]

где $a_{j k}(t), f_{j}(t) \in C\left(I^{+}\right)$, т. е. коэффициенты системы и свободные члены ее непрерывны в интервале $I^{+}=(a<t<\infty)$, причем $a$ число или символ – $\infty$. Если не оговорено противное, то функции $a_{j k}(t)$ и $f_{j}(t)$ предполагаются действительными. Что касается решений $y_{j}=y_{j}(t)(j=1, \ldots, n)$, то, вообще говоря, мы будем считать их комплекснозначными.

Можно также предполагать функции $a_{j k}(t)(j, k=1, \ldots, n)$ и $f_{j}(t)(j=1, \ldots, n)$ кусочно непрерывными на $I^{+}$. В этом случае под решением $y_{j}(t)(j=1, \ldots, n)$ понимаются непрерывные на $I^{+}$функции, удовлетворяющие уравнениям (2.2.1) в интегральной форме
\[
y_{j}(t)=c_{j}+\int_{i_{0}}^{t}\left[\sum_{k=1}^{n} a_{i k}(\tau) y_{k}(\tau)+f_{j}(\tau)\right] d \tau
\]
$\left(j=1, \ldots, n ; t_{0} \in I^{+} ; c_{j}\right.$ – постоянные).
Введя векторно-матричные обозначения
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{y} & =\operatorname{colon}\left[y_{1}, \ldots, y_{n}\right], A(t)=\left[a_{j k}(t)\right], \\
\boldsymbol{f}(t) & =\operatorname{colon}\left[f_{1}(t), \ldots, f_{n}(t)\right],
\end{aligned}
\]

систему (2.2.1) можно записать более просто:
\[
\frac{d y}{d t}=A(t) y+f(t),
\]

где $A(t) \in C\left(I^{+}\right), \quad f(t) \in C\left(I^{+}\right)$.
Для линейной системы (2.2.2) справедлива следующая те о рема существования идинственности решений (см. $[9]-[11])$ : для любой системы чисел $t_{0} \in I^{+}, \boldsymbol{y}_{0}=\operatorname{colon}\left[y_{01}, \ldots, y_{0 n}\right]$ существует решение $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}(t)$ скстемь $(2.2 .2)$, определенное для всех $t \in I^{+}$и удовлетворяющее начальному условию:
\[
\boldsymbol{y}\left(t_{0}\right)=\boldsymbol{y}_{0},
\]

причем решение с такими свойствами единственно в $I^{+}$.
Пусть
\[
X(t)=\left[x_{j k}(t)\right](\operatorname{det} X(t)
eq 0)
\]
– фундаментальная матрица (иными словами, фундаментальная система решений, записанная в виде ( $n \times n$ ) -матрицы) соответствующей однородной дифференциальной системы
\[
\frac{d x}{d t}=A(t) x,
\]
т. е. матрица, состоящая из $n$ линейно независимых ее решений:
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{x}^{(1)}(t) & =\operatorname{colon}\left[x_{11}(t), \ldots, x_{n 1}(t)\right] ; \\
\cdot & \cdot \\
\boldsymbol{x}^{(n)}(t) & =\operatorname{colon}\left[x_{1 n}(t), \ldots, x_{n n}(t)\right] .
\end{aligned}
\]

В записи $\left[x_{j k}(t)\right]$ первый индекс $j$ обозначает номер координаты, а второй $k$ – номер решения, так что в фундаментальной матрице (2.2.4) решения располагаются по столбцам.

Покажем, что матрица $X(t)$ удовлетворяет матричному уравнению
\[
\dot{X}(t)=A(t) X(t) .
\]

Действительно, так как функция $x_{j k}(t)$ удовлетворяет $j$-му уравнению системы (2.2.5), то имеем
\[
\frac{d x_{j k}}{d t}=\sum_{s=1}^{n} a_{j s}(t) x_{s k}(t) .
\]

Следовательно, вспоминая правило перемножения матриц, получаем
\[
\dot{X}(x)=\left[\frac{d x_{j k}}{d t}\right]=\left[\sum_{s=1}^{n} a_{j s}(t) x_{s k}(t)\right] \equiv A(t) X(t),
\]

что и требовалось доказать.
Заметим, что при нашем доказательстве не понадобилась неособенность матрицы $X(t)$. Поэтому люба я матрица $X(t)$, столбцы которой представляют собой решения линейной однородной системы (2.2.5), удовлетворяет матричному уравнению (2.2.6).

Обратно, если $(n \times n)$-матрица $X(t)=\left[x_{j k}(t)\right]$ удовлетворяет матричному уравнению $(2.2 .6)$, то столбцы ее
\[
\boldsymbol{x}^{(k)}=\operatorname{colon}\left[x_{1 k}(t), \ldots, x_{n k}(t)\right] \quad(k=1, \ldots, n)
\]

представляют решения линейной однородной системы (2.2.5). Если при этом $\operatorname{det} X(t)
eq 0$, то матрица $X(t)$ является фундаментальной.
Действительно, очевидно, имеем
\[
\boldsymbol{x}^{(k)}(t)=X(t) e_{k},
\]

где $\boldsymbol{e}_{k}=\operatorname{colon}[0, \ldots, 1, \ldots, 0]$. Умножая справа на $e_{k}$ уравнение (2.2.6), получим
\[
\frac{d}{d t}\left[X(t) e_{k}\right]=A(t)\left[X(t) e_{k}\right]
\]

T. .
\[
\frac{d \boldsymbol{x}^{(k)}}{d t}=A(t) \boldsymbol{x}^{(k)} \quad(k=1, \ldots, n) .
\]

Если $X(t)$ – фундаментальная матрица системы (2.2.5), то, как известно (см. [9]-[121), каждое решение этой системы может быть записано в виде
\[
\boldsymbol{x}(t)=X(t) c,
\]

где $\boldsymbol{c}=$ colon $\left[c_{1}, \ldots, c_{n}\right]$ – некоторая постоянная матрица-столбец.
Пусть решение $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}(t)$ удовлетворяет начальному условию $\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)=\boldsymbol{x}_{0}$. Полагая в тождестве $(2: 2.8) t=t_{0}$, будем иметь
\[
\left.\boldsymbol{x} t_{0}\right)=X\left(t_{0}\right) c
\]

отсюда $\boldsymbol{c}=X^{-1}\left(t_{0}\right) \boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)$. Следовательно,
\[
\boldsymbol{x}(t)=X(t) X^{-1}\left(t_{0}\right) \boldsymbol{x}\left(t_{0}\right) .
\]

Вводя матрицу Коши
\[
K\left(t, t_{0}\right)=X(t) X^{-1}\left(t_{0}\right),
\]

получим
\[
\boldsymbol{x}(t)=K\left(t, t_{0}\right) \boldsymbol{x}\left(t_{0}\right) .
\]

В частности, если фундаментальная матрица $X(t)$ нормирована nри $t=i_{0}$, т. е. $X\left(t_{0}\right)=E$, где $E$ – единичная матрица, то формула (2.2.9) прннимает вид
\[
\boldsymbol{x}(t)=X(t) \boldsymbol{x}\left(t_{0}\right) .
\]

Заметим, что матрица Коши не зависит от выбора фундаментальной матрицы $X(t)$. Действительно, если $\bar{X}(t)$ есть другая фундаментальная матрица системы (2.2.1), то имеем $\check{X}(t)=X(t) C$, где $C$– постоянная неособенная матрица. Отсюда $\tilde{X}^{-1}(t)=C^{-1} X^{-1}(t)$ и, следовательно,
\[
\hat{K}\left(t, \quad t_{0}\right)=\hat{X}(t) \tilde{X}^{-1}\left(t_{0}\right)=X(t) C C^{-1} X^{-1}\left(t_{0}\right)=K\left(t, t_{0}\right) .
\]

Любое решение $y=\boldsymbol{y}(t)$ неоднородной системы может быть записано в виде
\[
y(t)=\tilde{y}(t)+X(t) \boldsymbol{c},
\]

где $\tilde{y}(t)$ – некоторое фиксированное решение ее и $c$ – постоянный $(n \times 1)$-вектор. Если $\tilde{y}(t)$ таково, что $\tilde{y}\left(t_{0}\right)=\mathbf{0}$, то, очевидно,
\[
c=X^{-1}\left(t_{0}\right) y\left(t_{0}\right)
\]

и, следовательно,
\[
\boldsymbol{y}(t)=\tilde{y}(t)+K\left(t, t_{0}\right) \tilde{y}\left(t_{0}\right) .
\]