Рассмотрим квазилинейную систему
\[
\frac{d y}{d t}=A y+f(t)+\mu \varphi(t, y),
\]

где $\boldsymbol{y}=\left(y_{1}, \ldots, \quad y_{n}\right) ; \quad A=\left[a_{j k}\right]$ – постоянная $(n \times n)$-матрица; $\boldsymbol{f}(t) \in C\left(I_{t}\right) \quad$ и $\quad \boldsymbol{\varphi}(t, \boldsymbol{y}) \in C\left(I_{t} \times \mathscr{R}_{y}^{n}\right)-(n \times 1)$-векторы; $\mu-$ малый скалярный параметр, причем выполнено условие Липшица
\[
\|\boldsymbol{\varphi}(t, \boldsymbol{z})-\varphi(t, \boldsymbol{y})\| \leqslant N\|\boldsymbol{z}-\boldsymbol{y}\|
\]
( $y \in \mathscr{R}_{y}^{n}, z \in \mathscr{R}_{y}^{n}, N-$ постоянная).

Теорема Бирюк
[75]. Если
1) $\operatorname{Re} \lambda_{j}(A)
eq 0$
2) $f(t)$ – почти периодична по $t$;
3) $\varphi(t, y)$ – почти периодична по $t$ равномерно по у на каждом компакте $Y$,
то при $|\mu|<\mu_{0}$, где $\mu_{0}$ достаточно мало, система (18.1) допускает почти периодическое решение $\boldsymbol{\eta}=\boldsymbol{\eta}(t, \mu)$.

Доказательство. В силу теоремы Боля (гл. V, § 10) система (18.1) при $|\mu| \leqslant \mu_{1}$ имеет равномерно ограниченное на оси $I_{t}$ решение $\boldsymbol{\eta}=\boldsymbol{\eta}(t, \mu)$, удовлетворяющее интегральному уравнению
\[
\boldsymbol{\eta}(t, \mu)=\int_{-\infty}^{\infty} G\left(t-t_{1}\right)\left[\boldsymbol{f}\left(t_{1}\right)+\mu \varphi\left(t_{1}, \boldsymbol{\eta}\left(t_{1}, \mu\right)\right)\right] d t_{1},
\]

где матрица $G(t)$ такова, что
\[
\|G(t)\| \leqslant c e^{-\alpha|t|}
\]
(с и $\alpha$ – положительные постоянные).
Пусть
\[
\|\boldsymbol{\eta}(t, \mu)\|<b<\infty \text { при } t \in I_{t} \quad \text { и } \quad|\mu| \leqslant \mu_{1} .
\]

Покажем, что при достаточно малом $|\mu|$ вектор-функция $\boldsymbol{\eta}(t, \mu)$ почти периодична по $t$. Пусть $\tau=\tau_{f}(\varepsilon)$ – общий почти период вектор-функции $\boldsymbol{f}(t)$ и семейства $\boldsymbol{\varphi}(t, \boldsymbol{y})(\|\boldsymbol{y}\| \leqslant b)$. Из формулы (18.3) при $|\mu| \leqslant \mu_{1}$ имеем
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{\eta}(t+\tau, \mu) & =\int_{-\infty}^{\infty} G\left(t+\tau-t_{1}\right)\left[\boldsymbol{f}\left(t_{1}\right)+\mu \varphi\left(t_{1}, \boldsymbol{\eta}\left(t_{1}, \mu\right)\right)\right] d t_{1}= \\
& =\int_{-\infty}^{\infty} G\left(t-t_{1}\right)\left[\boldsymbol{f}\left(t_{1}+\tau\right)+\mu \varphi\left(t_{1}+\tau, \boldsymbol{\eta}\left(t_{1}+\tau, \mu\right)\right)\right] d t_{1} .
\end{aligned}
\]

Отсюда с учетом (18.2) и (18.4) получим
\[
\begin{array}{c}
\|\boldsymbol{\eta}(t+\tau, \mu)-\boldsymbol{\eta}(t, \mu)\| \leqslant \int_{-\infty}^{\infty}\left\|G\left(t-t_{1}\right)\right\|\left\{\left\|\boldsymbol{f}\left(t_{1}+\tau\right)-\boldsymbol{f}\left(t_{1}\right)\right\|+\right. \\
+|\mu|\left[\left\|\boldsymbol{\varphi}\left(t_{1}+\tau, \boldsymbol{\eta}\left(t_{1}+\tau, \mu\right)\right)-\boldsymbol{\varphi}\left(t_{1}, \boldsymbol{\eta}\left(t_{1}+\tau, \mu\right)\right)\right\|+\right. \\
\left.\left.+\left\|\boldsymbol{\varphi}\left(t_{1}, \boldsymbol{\eta}\left(t_{1}+\tau, \mu\right)\right)-\boldsymbol{\varphi}\left(t_{1}, \boldsymbol{\eta}\left(t_{1}, \mu\right)\right)\right\|\right]\right\} d t_{1} \leqslant \\
\leqslant\left\{\sup _{\boldsymbol{t}}\|\boldsymbol{f}(t+\tau)-\boldsymbol{f}(t)\|+|\mu|\left[\sup _{t, \boldsymbol{y}}\|\boldsymbol{\varphi}(t+\tau, \boldsymbol{y})-\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{y})\|+\right.\right. \\
\left.\left.+N \sup _{t} \| \boldsymbol{\eta}(t+\tau, \mu)-\boldsymbol{\eta}(t, \mu)\right] \|\right\} \int_{-\infty}^{\infty}\|G(t)\| d t< \\
<\left\{\varepsilon+|\mu| \varepsilon+N|\boldsymbol{\mu}| \sup _{\boldsymbol{t}}\|\boldsymbol{\eta}(t+\tau, \mu)-\boldsymbol{\eta}(t, \mu)\|\right\} c_{1},
\end{array}
\]

где
\[
c_{1}=\int_{-\infty}^{\infty}\|G(t)\| d t \leqslant \frac{2 c}{\alpha} .
\]

Поэтому
\[
\begin{aligned}
\sup _{t} \| \eta(t+\tau, \mu) & -\eta(t, \mu) \| \leqslant \\
& \leqslant(1+|\mu|) c_{1} \varepsilon+c_{1} N|\mu| \sup _{t}\|\eta(t+\tau, \mu)-\eta(t, \mu)\|
\end{aligned}
\]

и, следовательно,
\[
\sup _{t}\|\eta(t+\tau, \mu)-\eta(t, \mu)\| \leqslant \frac{(1+|\mu|) c_{1}}{1-c_{1} N|\mu|} \varepsilon,
\]

если только
\[
|\mu|<\min \left(\frac{1}{c_{i} N}, \mu_{1}\right)=\mu_{0} .
\]

Таким образом, при достаточно малом $|\mu|$ решение $\eta(t, \mu)$ почти периодическое.
3амечание. Почти периодическое решение $\eta(t, \mu)$ системы (18.1) может быть найдено-методом последовательных приближений:
\[
\boldsymbol{\eta}(t, \mu)=\lim _{p \rightarrow \infty} \boldsymbol{\eta}_{p}(t, \mu)
\]

где
\[
\boldsymbol{\eta}_{0}(t, \mu)=\int_{-\infty}^{\infty} G\left(t-t_{1}\right) \boldsymbol{f}\left(t_{1}\right) d t_{1} \equiv \boldsymbol{y}_{0}(t)
\]
– единственное почти периодическое решение системы
\[
\frac{d y}{d t}=A y+f(t)
\]

и
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{\eta}_{p+1}(t, \mu)=\int_{-\infty}^{\infty} G\left(t-t_{1}\right)\left[f\left(t_{1}\right)+\mu \varphi\left(t_{1}, \eta_{p}\left(t_{1}, \mu\right)\right)\right] d t_{1} \\
(p=0,1,2, \ldots) .
\end{array}
\]

Taк как
\[
\boldsymbol{\eta}_{p}(t, \mu) \vec{\rightarrow} \boldsymbol{\eta}(t, \mu) \text { при }|\mu|<\mu_{0},
\]

то решение $\eta(t, \mu)$ непрерывно по $\mu$ в окрестности точки $\mu=0$ и
\[
\lim _{\mu \rightarrow 0} \eta(t, \mu)=y_{0}(t) .
\]