Пусть в $n$-мерном пространсгве $\mathfrak{R}^{n}$ задана линейная однородная система
\[
\frac{d x}{d t}=A(t) x,
\]

где $A(t) \in C\left[t_{0}, \infty\right), \sup _{t}\|A(t)\|<\infty$ и $-\infty<\alpha_{1}<\alpha_{2}<\ldots<$ $<\alpha_{m}<+\infty(m \leqslant n)$ — ее спектр, расположенный в порядке возрастания.

Как известно (см. [9], [10]), совокупность всех решений $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}(t)\left(t_{0} \leqslant t<\infty\right)$ системы (3.4.1) представляет собой линейное пространство $\hat{\Re}^{n}$ (пространство решений), точками которого являются отдельные решения, а любая фундаментальная система
\[
\hat{X}(t)=\left\{\boldsymbol{x}^{(1)}(t), \ldots, \boldsymbol{x}^{(n)}(t)\right\},
\]

состоящая из максимального числа линейно независимых решений $\hat{\boldsymbol{x}}_{s}(t)(s=1, \ldots, n)$, служит базисом.

Пусть фундаментальная система $\hat{X}(t)$ содержит $\hat{n}_{s}$ решений с характеристическим показателем $\alpha_{s}(s=1, \ldots, m)$, причем некоторые $\hat{n}_{s}$ могут быть и нулями. Величину
\[
\sigma_{\hat{x}}=\sum_{s=1}^{m} \hat{n}_{s} \alpha_{s}
\]

где $\sum_{s=1}^{m} \hat{n}_{s}=n$, будем называть суммой характеристических показателей системы $\hat{X}(t)$. Так как число характеристических показателей линейной системы конечно, то существуют фундаментальные системы $X(t)$ с наименьшей суммой характеристических показателей, т. е.
\[
\sigma_{X}=\min _{\hat{x}} \sigma_{\hat{x}} .
\]

Такие фундаментальные системы и соответствующие им фундаментальные матрицы будем называть нормальными (в смысле Ляпунова).

Определение 1. Фундаментальная система называется нормальной, если сумма ее характеристических показателей есть наименьшая по сравнению с другими фундаментальными системами.

Если матрица $A(t)$ действительна, то для каждого характеристического показателя $\alpha_{s}$ существуют действительные решения с таким показателем, и в этом случае нормальную фундаментальную систему можно также полагать действительной.

Пусть $N_{s}(s=1, \ldots, m)$ — мағсимальное число линейно независимых решений системы (3.4.1), обладающих характеристическим показателем $x_{s}$. Рассмотрим совокупность $\mathfrak{M} i_{s}$ всех решений $\boldsymbol{x}(t)$, включая тривиальное, характеристические показатели которых не превышают числа $\alpha_{s}$, т. е.
\[
\mathfrak{M}_{s}=\left\{\boldsymbol{x}(t): \chi[\boldsymbol{x}(t)] \leqslant \alpha_{s}\right\} .
\]

В частности, имеем $\mathfrak{M}_{0}=\hat{O}, \mathfrak{M}_{n}=\hat{\mathfrak{R}}^{n}$. Из теорем о характеристических показателях следует, что если $\boldsymbol{x}(t) \in \mathfrak{M}_{s}$ и $\boldsymbol{y}(t) \in \mathfrak{M}_{s}$, то $c \boldsymbol{x}(t) \in \mathfrak{M}_{s} \quad\left(c-\right.$ постоянная) и $\boldsymbol{x}(t)+\boldsymbol{y}(t) \in \mathfrak{M}_{s}$. Поэтому $\mathfrak{M}_{s}$
является линейным подпространством (см. приложение) пространства решений $\hat{\mathfrak{R}}^{n}$.

Лемма 1. Число $N_{s}$ совпадает с размерностью линейного подпространства $\mathfrak{M}_{s}$, т. е.
\[
N_{s}=\operatorname{dim} \mathfrak{M}_{s}(s=1, \ldots, m) .
\]

Доквзательство. В самом деле, по определению каждое решение с характеристическим показателем $\alpha_{s}$ входит в $\mathfrak{M}_{s}$, т. е.
\[
\operatorname{dim} \mathfrak{M}_{s} \geqslant N_{s} .
\]

С другсй стороны, пусть $\left\{\boldsymbol{x}^{(p)}(t), \boldsymbol{y}^{(q)}(t)\right\}$ — некоторый базис пространства $9 i_{s}$, где
\[
\chi\left[x^{(p)}(t)\right]<\alpha_{s} \text { н } \chi\left[y^{(q)}(t)\right]=\alpha_{s} .
\]

Этот базис обязательно должен содержать решение с наибольшим характеристическим показателем $a_{s}$, так как в противном случае существовали бы решения системы (3.4.1), которые нельзя представить в виде линейной комбинации базисных решений. Пусть $y^{(r)}(t)$— решение системы (3.4.1) такое, что $\chi\left[y^{(r)}(t)\right]=x_{s}$. Система решений $\left\{\boldsymbol{x}^{(p)}(t)+\boldsymbol{y}^{(r)}(t), \boldsymbol{y}^{(\zeta)}(t)\right\}$ образует новый базис подпространства $\mathfrak{M}_{s}$. Действительно, если
\[
\sum_{p} a_{p}\left[\boldsymbol{x}^{(p)}(t)+\boldsymbol{y}^{(r)}(t)\right]+\sum_{q} b_{q} \boldsymbol{y}^{(q)}(t)=0,
\]

To
\[
\sum_{p} a_{p} \boldsymbol{x}^{(p)}(t)+\left(\sum_{p} a_{p}+b_{r}\right) \boldsymbol{y}^{(r)}(t)+\sum_{q
eq r} b_{q} \boldsymbol{y}^{(q)}(t) \equiv 0 .
\]

Отсюда в силу линейной независимости решений $\boldsymbol{x}^{(p)}(t)$ и $\boldsymbol{y}^{(q)}(t)$ получим
\[
a_{p}=0, \sum_{p} a_{p}+b_{r}=0, b_{q}=0 \text { при } q
eq r,
\]

и, значит, все $b_{q}=0$. Таким образом, система решений
\[
\left\{\boldsymbol{x}^{(p)}(t)+\boldsymbol{y}^{(r)}(t), \boldsymbol{y}^{(q)}(t)\right\}
\]

есть базис подпространства $\mathfrak{M}_{s}$, причем, очевидно, каждый элемент его обладает характеристическим показателем $a_{s}$. Следовательно,
\[
\operatorname{dim} \mathfrak{M}_{s} \leqslant N_{s} .
\]

Из неравенств (3.4.5) и (3.4.6) следует равенство (3.4.4). Следствие 1. Имеет место строгое неравенство

где $N_{m}=n$.
\[
N_{1}<N_{2}<\ldots<N_{m},
\]

Следствие 2. Ecли $\hat{n}_{s}(s=1, \ldots, m)$ — число решений $с х а$ рактеристическим показателем $a_{s}$, входяцих в произвольную фундаментальную систему $\hat{X}(t)$, то справедливы неравенства
\[
\hat{n}_{1}+\hat{n}_{2}+\ldots+\hat{n}_{s} \leqslant N_{s}(s=1, \ldots, m) .
\]

Действительно, каждая часть фундаментальной системы $\hat{X}(t)$, включающая все линейно независимые решения с характеристическими показателями, не превосходящими $\alpha_{s}$, очевидно, содержится в подпространстве $\mathfrak{M}_{s}$.
3амечание. Число элементов (в обобщенном понимании) линейного пространства размерности $p$ будем условно обозначать символом $\infty^{p}$.

В этом смысле можно сказать, что линейная система (3.4.1) имеет
\[
\infty^{N_{s}}-\infty^{N_{s-1}}
\]

решений с характеристическим показателем $\alpha_{s}(s=1, \ldots, m$; $N_{0}=0$ ). Таким образом, почти в с решения линейной однородной дифференциальной системы обладают наибольшим характеристическим показателем
\[
x=\max _{s} x_{s}
\]

П рим р. Пусть общее решение тинейной дифференциальной системы имеет вид
\[
x=c_{1} a e^{t}+c_{2} b e^{2 t}+c_{3} c e^{3 t},
\]

где $c_{1}, c_{9}, c_{3}$ — действительные произвольные постоянные и $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ — постоянные ненулевые векторы. Тогда каждое решение в пространстве 0 c cll $c_{1} c_{3}$ будет харакгеризоваться вектором $c=\left(c_{1}, c_{2}, c_{2}\right)$ (рис. 17). Спектр системы, очевидно, $\{1,2,3\}$. Решениям $x$ таким, что
\[
\chi[x]=1 \text {, }
\]
Рис. 17.
соответствует прямая $\mathscr{R}^{1}=\left\{c_{2}=0, c_{3}=0\right\}$ с исключенным нулевым вектором (рис. 17). Решениям $x$ с характеристическим показателем
\[
\chi[x]=2
\]

отвечает плоскость
\[
\mathscr{R}^{2}=\left\{c_{3}=0\right\}
\]

с исключенной прямой $\mathscr{\ell}^{1}$. Наконец, решсниям $x$ с максимальным характеристическим чистом
\[
\chi[x]=3
\]

соответствует трехмерное пространство $\mathscr{R}^{3}=0 c_{1} c_{2} c_{3}$ с исключенной плоckocTblo e:2.

Чтобы охарактеризовать нормальные фундаментальные системы решений, введем понятие несжимаемости системы функци й.

Определение 2. Мы скажем, что система ненулевых векторфункций $\boldsymbol{x}^{(1)}(t), \ldots, \boldsymbol{x}^{(k)}(t)(k \leqslant n)$ обладает свойством несжимаемости, если характеристический показатель любой существенной их линейной комбинации
\[
y=\sum_{j \leqslant k} c_{j} \boldsymbol{x}^{(\cdot)}(t) \quad\left(c_{j}
eq 0\right),
\]

где $c_{j}$ постоянны, совпадает с наибольшим из характеристических показателей комбинируемых решений, т. е. для всякой комбинации $y$ имеем
\[
\chi[y]=\max _{j} \chi\left[x^{(j)}(t)\right] .
\]

Очевидно, если ненулевые вектор-функции обладают свойством несжимаемости и характеристические числа их отличны от то эти вектор-функции линейно независимы. Обратное неверно.

Заметим, что совокупность вектор-функций с различными характеристическими числами, эчевидно, обладает свойством несжимаемости.

Лемма 2. Если фундаментальная система $X(t)$ обладает свойством несэимаемости и $n_{s}(s=1, \ldots, m)$ — число ее решений с характеристическим показателем $\alpha_{s}$, а $N_{s}$ — максимальное число линейно независимых решений системы с характеристическим показателем $\alpha_{s}$, то справедливь равенства
\[
n_{1}+n_{2}+\ldots+n_{s}=N_{s}(s=1, \ldots, m),
\]
т. е. в этом случае суммы $\sum_{k=1}^{s} n_{k}(s=1, \ldots, m)$ достигают своих наибольших значений.

Доказательство. Действительно, по свойству несжимаемости решение $\boldsymbol{x}(t)$, обладающее характеристическим показателем $\alpha_{s}$, может быть линейной комбинацией лишь тех решений из фундаментальной системы $X(t)$, характеристические показатели которых не превышают $a_{s}$, т. е.
\[
N_{s} \leqslant n_{1}+n_{2}+\ldots+n_{s} \text {. }
\]

С другой стороны, всегда
\[
n_{1}+n_{2}+\ldots+n_{s} \leqslant N_{s} .
\]

Сопоставляя неравенства (3.4.9) и (3.4.10), получаем равенства (3.4.8).

Теорема Ляпунова (о нормальности фундаментальной системы). Фундаментальная система линейной системы (3.4.1) является нормальной тогда и только тогда, когда она обладает свойством несжимемости.

Доказательство. 1). Докажем сначала необходимость условий теоремы, т. е. допустим, что система обладает свойством несжимаемости, и докажем, что она нормальная.

Предположим противное: пусть существует фундаментальная система $Y(t)=\left\{\boldsymbol{y}^{(1)}(t), \ldots, \boldsymbol{y}^{(n)}(t)\right\}$ такая, что
\[
\sigma_{Y}<\sigma_{X},
\]

где
\[
\sigma_{Y}=\sum_{s=1}^{m} v_{s} x_{s}, \quad \sigma_{X}=\sum_{s=1}^{m} n_{s} x_{s} \quad\left(\sum_{s=1}^{m} v_{s}=\sum_{s=1}^{m} n_{s}=n\right),
\]
$x_{s}$ — характеристические показатели нетривиальных решений системы (3.4.1) и ${ }_{s}, n_{s}(s=1, \ldots, m)$ — числа линейно независимых решений с характеристическим показателем $x_{s}$, содержащихся, соответственно, в фундаментальных системах $Y(t)$ и $X(t)$. Для определенности в матрицах $Y(t)$ и $X(t)$ решения расположим в порядке возрастания их характеристических показателей.

Пусть $N_{s}^{\prime}=\sum_{k=1}^{s} n_{k}(s=1, \ldots, m)$ — максимальное число линейно независимых решений системы с характеристическим показателем $\alpha_{s}$. Вводя обозначение
\[
N_{s}^{\prime}=\sum_{k=1}^{s}
u_{k} \quad(s=1, \ldots, m),
\]

в силу лемм 1 и 2 получаем
\[
\begin{array}{c}
N_{1}^{\prime} \leqslant N_{1}, N_{2}^{\prime} \leqslant N_{2}, \ldots, N_{m-1}^{\prime} \leqslant N_{m-1}, \\
N_{m}^{\prime}=N_{m}=n,
\end{array}
\]

причем
\[
v_{s}=N_{s}^{\prime}-N_{s-1}^{\prime}, n_{s}=N_{s}-N_{s-1} \quad\left(s=1, \ldots, m ; N_{0}^{\prime}=N_{0}=0\right) .
\]

Имеем
\[
\begin{aligned}
\sigma_{Y} & =\sum_{s=1}^{m}
u_{s} \alpha_{s}=\sum_{s=1}^{m}\left(N_{s}^{\prime}-N_{s-1}^{\prime}\right) \alpha_{s}= \\
& =N_{m}^{\prime} \alpha_{m}-\sum_{s=1}^{m-1} N_{s}^{\prime}\left(\alpha_{s+1}-\alpha_{s}\right) \geqslant \\
& \geqslant N_{m} \alpha_{m}-\sum_{s=1}^{m=1} N_{s}\left(\alpha_{s+1}-\alpha_{s}\right)= \\
& =\sum_{s=1}^{m} n_{s} \alpha_{s}=\sigma_{X}
\end{aligned}
\]

что противоречит неравенству (3.4.11).

Итак, несжимаемая система $X$ нормальная.
2) Докажем теперь достаточность условия теоремы, т. е. предположим, что система $X$ нормальная, и докажем, что она обладает свойством несжимаемости.

ГІредположим противное: пусть существует линейная комбинация
\[
\boldsymbol{y}=\sum_{j=1}^{p} c_{j} \boldsymbol{x}^{(j)}(t) \quad\left(c_{p}
eq 0\right)
\]

такая, что
\[
\chi[\boldsymbol{y}]<\max _{j} \chi\left[\boldsymbol{x}^{(j)}(t)\right]=\chi\left[\boldsymbol{x}^{(p)}(t)\right] .
\]

Рассмотрим систему решений
\[
Y=\left\{\boldsymbol{x}^{(1)}(t), \ldots, \boldsymbol{x}^{(p-1)}(t), \boldsymbol{y}(t), \boldsymbol{x}^{(p+1)}(t), \ldots, \boldsymbol{x}^{(n)}(t)\right\} .
\]

Система $Y$ является фундаментальной. В самом деле, пусть
\[
\sum_{j
eq p} a_{j} \boldsymbol{x}^{(j)}(t)+a_{p} \boldsymbol{y}(t) \equiv 0,
\]

где
\[
\sum_{j=1}^{n}\left|a_{i}\right|
eq 0 .
\]

Отсюда в силу линейной незавхсимости решений $\boldsymbol{x}^{(j)}(t)$ имеем
\[
a_{p}
eq 0 \text {. }
\]

Подставляя в тождество (3.4.15) выражение для $\boldsymbol{y}(t)$ (3.4.13), будем иметь
\[
\sum_{j p}\left(a_{j}+a_{p} c_{j}\right) \boldsymbol{x}^{(j)}(t)+a_{p} c_{p} \boldsymbol{x}^{(p)}(t)+\sum_{j>p} a_{j} \boldsymbol{x}^{(J)}(t) \equiv \mathbf{0} .
\]

Из последнего тождества, очевидно, получаем
\[
a_{p} c_{p}=0,
\]

что невозможно в силу условий (3.4.13) и (3.4.16). Следовательно, система $Y$ фундаментальная.
На основании неравенства (3.4.14) находим
\[
\sigma_{Y}<\sigma_{X},
\]

что противоречит нормальности системы $X$.
Таким образом, всякая нормальная система $X$ обладает свойством несжимаемости.

Следствие 1. Во всех нормальных фундаментальных системах $X(t)$ количество $n_{\text {s }}$ решений $с$ характеристическим показателем $\alpha_{s}(s=1, \ldots, m)$ одно и тоже.

Действительно, в силу леммы 2 получаем

где
\[
\begin{array}{c}
n_{s}=N_{s}-N_{s-1} \quad\left(s=1, \ldots, m ; N_{0}=0\right), \\
N_{s}=\operatorname{dim} \mathfrak{M}_{s} .
\end{array}
\]

Следствие 2. Всякая нормальная фундаментальная система реализует весь спектр линейной системы.
Действительно, так как

то
\[
\begin{array}{c}
0=N_{0}<N_{1}<\ldots<N_{m}=n, \\
n_{s}=N_{s}-N_{s-1} \geqslant 1 \quad(s=1, \ldots, m) .
\end{array}
\]

Свойство несжимаемости Ляпунов положил в основу понятия нормальности фундаментальной системы (см. [13]).

Определение 3. Совокупность всех характеристических показателей $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}$ нетривиальных решений линейной однородной системы (3.4.1), где каждый повторяется столько раз, сколько $n_{s}$ $(s=1, \ldots, m)$ линейно независимых решений с характеристическим показателем $\alpha_{s}$ содержится в некоторой ее нормальной фундаментальной системе $X_{t}$, будем называть полным спектром системы (3.4.1), а сумму
\[
S=\sum_{k=1}^{n} \alpha_{k} \equiv \sum_{s=1}^{m} n_{s} \alpha_{s}
\]
— суммой характеристических показателей линейной системы ( $n_{s}$ — кратности элементов спектра).

Теорема Ляпунова (о построении нормальной фундаментальной систеиы решений). Пусть дана линейная дифференциальная система
\[
\frac{d x}{d t}=A(t) x,
\]

где $\boldsymbol{x}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), A(t) \in C(a, \infty), \sup _{t}\|A(t)\|<\infty$, u nyсть $Z(t)=\left\{z^{(1)}(t), \ldots, z^{(n)}(t)\right\}$ — ее фундаментальная матрица. Тогда суцествует постоянная треугольная матрица.

такая, что
\[
X(t)=Z(t) C
\]

есть нормальная фундаментальная матрица системы (3.4.17).

Доказательство. 1) Пусть
\[
X(t)=\left\{\boldsymbol{x}^{(1)}(t), \ldots, \boldsymbol{x}^{(n)}(t)\right\} .
\]

Подберем числа $c_{j k}(k<j)$ так, чтобы

причем
\[
\begin{array}{l}
\chi\left[\boldsymbol{x}^{(s)}(t)\right]=\min _{b_{s+1}, s^{\prime}, \ldots, b_{n s}} \chi\left[\boldsymbol{z}^{(s)}(t)+b_{s+1, s} \boldsymbol{z}^{(s)}(t)+\ldots+b_{n s} \boldsymbol{z}^{(n)}(t)\right] \\
(s=1, \ldots, n) .
\end{array}
\]

Очевидно, справедлива формула (3.4.18). Кроме того, так как $\operatorname{det} C=1$, то
\[
\operatorname{det} X(t)=\operatorname{det} Z(t) \cdot \operatorname{det} C=\operatorname{det} Z(t)
eq 0
\]

и, следовательно, $X(t)$ есть фундаментальная матрица системы (3.4.17).
2) Докажем теперь, что так построенная матрица $X(t)$ является нормальной фундаментальной матрицей системы (3.4.17).

Пусть $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{m}(m \leqslant n)$ — полная совокупность различных характеристических показателей системы $X$. Рассмотрим произвольную группу решений $\boldsymbol{x}^{\left(n_{1 s}\right)^{\prime}}(t), \ldots, \boldsymbol{x}^{\left(n_{k s}\right)^{\prime}}(t)$ из $X(t)$, обладающих одним и тем же характепистическим показателем
\[
\chi\left[\boldsymbol{x}^{\left(n_{j s}\right)}(t)\right]=\alpha_{s} \quad(j=1, \ldots, k ; s \in[1, m]) .
\]

Для любой их линейной комбиғации
\[
\boldsymbol{y}(t)=\sum_{j} a_{j} \boldsymbol{x}^{\left(n_{i s}\right)}(t) \quad\left(a_{j}
eq 0\right)
\]

имеем
\[
\chi[y(i)] \leqslant \alpha_{s} .
\]

С другой стороны, полагая
\[
n_{p s}=\min _{j} n_{j s},
\]

на основании структуры формул (3.4.20) получаем
\[
y(t)=a_{p} x^{\left(n_{p s} s^{\prime}\right.}(t)+\sum_{n_{j s}>n_{p s}} a_{j} x^{i n_{j j^{\prime}}^{\prime}}(t)=a_{p}\left[z^{i n} p s^{\prime}(t)+\sum_{j>n_{p s}} b_{j}^{\prime} z^{\left(j^{\prime}\right.}(t)\right],
\]

где $a_{p}
eq 0$ и $b_{j}^{\prime}$ — некоторые постоянные, не обязательно отличные от нуля. Отсюда, учитывая способ комплектования функций $\boldsymbol{x}^{(j)}(t)$, находим

Таким образом,
\[
\chi\left[\sum_{j} a_{j} \boldsymbol{x}^{\left\langle n_{i s}{ }^{t}\right.}(t)\right]=\alpha_{s}\left(a_{j}
ot
eq 0\right) .
\]

Рассмотрим теперь произвольную линейную комбинацию
\[
\sum_{j} b_{j} x^{\left(n_{i}{ }^{\prime}\right.}(t) \quad\left(b_{j}
eq 0\right)
\]

решений из фундаментальной матрицы $X(t)$. Выделяя из них максимальные совокупности решений $\boldsymbol{x}^{\left(n{ }_{j s} s^{\prime}\right.}(t)$, обладающих одинаковыми характеристическими показателями $\alpha_{s}$, и учитывая формулу (3.4.22); будем иметь
\[
\begin{aligned}
\%\left[\sum_{j} b_{j} \boldsymbol{x}^{\left(n_{j^{\prime}}(t)\right]=}\left[\sum_{s} \sum_{j} b_{j s} \boldsymbol{x}^{\left(n_{s}^{\prime}\right.}(t)\right]=\right. & \max _{s} \chi\left[\sum_{j} b_{j s} \boldsymbol{x}^{\left(n_{i s}{ }^{\prime}\right.}(t)\right]= \\
& =\max _{s} \alpha_{s}=\max _{j} \chi\left[\boldsymbol{x}^{\left(n_{j}\right)}(t)\right] .
\end{aligned}
\]

Следовательно, система $X$ обладает свойством несжимаемости и в силу теоремы Ляпунова являстся нормальной.

Следствие. Если линейная система (3.4.17) имеет треугольную фундаментальную матрицу

то для этой системы существует нормальная треугольная матрица $X(t)=\left(x_{j k}(t)\right)$, где $x_{j k}(t)=0$ при $k>j$, причем $x_{j j}(t)=$ $=z_{j j}(t)$.
Этот результат непосредственно вытекает из формулы (3.4.19).