Рассмотрим действительную дифференциальную систему
\[
\frac{d x}{d t}=A x+\varphi(t, x),
\]

где $A$-постоянная матрица и $\varphi(t, \boldsymbol{x}) \in C \quad(0 \leqslant t<\infty$, $\boldsymbol{x} \|<H)^{1}$ ), причем $\varphi(t, \boldsymbol{x})=0(\|\boldsymbol{x}\|)$ равномерно по $t$, т. е.
\[
\stackrel{\varrho}{\|x\|} \rightarrow \underset{t}{\rightarrow} 0 \text { при } \boldsymbol{x} \rightarrow 0
\]
(\”x\| – евклидова норма вектора $\boldsymbol{x}$ ).
Систему (а) будем называть квазилинейной; очевидно, эта система допускает тривиальное решение $\boldsymbol{x}=0$.

Теорема Ляпунова. Eсли все собственные значения $\lambda_{j}(A)$ $(j=1, \ldots, n)$ матрицы $A$ имеют отрицательные вещественные tacmu:
\[
\operatorname{Re} \lambda_{j}(A)<0 \quad(j=1, \ldots, n),
\]

то тривиальное решение $\boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ квазилинейной системы (а) асимптотически устойчиво по ляпунову при $t \rightarrow+\infty$.

Доказательство (см. [10]). Пусть $\xi(t, \boldsymbol{x})$ – действительное решение соответствующей линейной системы
\[
\frac{d \xi}{d t}=A \xi
\]

определяемое начальным условием:
\[
\xi(0, x)=x \text {. }
\]
1) Для простоты принимаем $t_{0}=0$.

Если $\Xi(t)$ – нормированная фундаментальная матрица (матрицант) системы (b) такая, что
\[
\Xi(0)=E \text {, }
\]

то, очевидно, имеем
\[
\xi(t, \boldsymbol{x})=\Xi(t) \boldsymbol{x} .
\]

Нз условия (4.10.2) вытекает (см. гл. I, § 13), что
\[
\|\Xi(t)\| \leqslant N e^{-\alpha t} \text { при } t \geqslant 0,
\]

где $\max \operatorname{Re} \lambda_{j}(A)<-\alpha<0$ и $N-$ некоторая положительная постоянная. Отсюда
\[
\|\boldsymbol{\xi}(t, \boldsymbol{x})\| \leqslant N e^{-a t}\|\boldsymbol{x}\| \text { при } t \geqslant 0 .
\]

Рассмотрим функцию
\[
V(\boldsymbol{x})=\int_{0}^{\infty}\|\boldsymbol{\xi}(\tau, \boldsymbol{x})\|^{2} d \tau .
\]

Из (4.10.3), используя известные свойства скалярного произведения, имеем
\[
\begin{aligned}
V(\boldsymbol{x})=\int_{0}^{\infty}(\boldsymbol{\Xi}(\tau) \boldsymbol{x}, & \boldsymbol{\Xi}(\tau) \boldsymbol{x}) d \tau= \\
& =\int_{0}^{\infty}\left(\boldsymbol{\Xi}^{T}(\tau) \boldsymbol{\Xi}(\tau) \boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}\right) d \tau=(\boldsymbol{S} \boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}),
\end{aligned}
\]

где
\[
S=\int_{0}^{\infty} \Xi^{T}(\because) \Xi(\tau) d \tau,
\]
a $\Xi^{T}(\tau)$ – транспонированная мстрица относительно матрицы $\Xi(\tau)$. Таким образом, $V(\boldsymbol{x})$ представляет собой квадратичную форму относительно переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}$ с действительной симметрической матрицей $S$.

На основании неравенства (4.10.4) интеграл в правой части равенства (4.10.6) сходится и, следовательно, функция $V(\boldsymbol{x})$ определена и конечна для каждой точки $x \in \mathscr{\mathscr { R }}_{x}^{n}$, причем в силу свойства единственности решений системы (b) имеем

и
\[
\begin{array}{c}
V(x)>0 \text { при } x
eq 0 \\
V(0)=0 .
\end{array}
\]

Используя так называемое еруппоюе свойство решений автономной системы (b) (рис. 37)
\[
\xi(\tau, \xi(t, x))=\xi(t+\tau, x),
\]

получим
\[
\begin{aligned}
V(\xi(t, x))=\int_{0}^{\infty}\|\xi(\tau, \xi(t, x))\|^{2} d \tau & = \\
& =j_{0}^{\infty}\|\boldsymbol{\xi}(t+\tau, \boldsymbol{x})\|^{2} d \tau=\int_{t}^{\infty} \| \xi\left(\tau, x,{ }^{2} d \tau .\right.
\end{aligned}
\]

Отсюда производная по времени $t$ функции $V(\boldsymbol{x})$ в точке $\boldsymbol{x}$ в силу системы (b) будет равна
\[
\begin{array}{c}
\dot{V}_{b}(x)=\left[\frac{d}{d t} V(\xi(t, x))\right]_{t=0}= \\
=\left\{\frac{d}{d t} \int_{t}^{\infty}\|\xi(\tau, x)\|^{2} d \tau\right\}_{t=0}= \\
=\left[-\left.\|\xi(t, x)\|^{2}\right|_{t=0}=-\|x\|^{2} .\right.
\end{array}
\]

Найдем теперь производную по времени $t$ функции $\boldsymbol{V}(\boldsymbol{x})$ в точке $\boldsymbol{x}$ в силу системы (а). Нмеем
\[
\begin{aligned}
\dot{V}_{\mathrm{a}}(\boldsymbol{x})=(\operatorname{grad} V, A \boldsymbol{x})+ & (\operatorname{grad} V, \varphi(t, \boldsymbol{x}))= \\
= & \dot{V}_{\mathrm{b}}(\boldsymbol{x})+(\operatorname{grad} V, \varphi(t, \boldsymbol{x})) .
\end{aligned}
\]

Полагая
\[
S=\left[S_{j k}\right] \text { и } \boldsymbol{x}=\operatorname{colon}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right),
\]

из формулы (4.10.6) находим
\[
V(\boldsymbol{x})=\sum_{j, k} S_{j k} x_{j} x_{k} \quad\left(S_{j k}=S_{k j}\right) .
\]

Отсюда
\[
\begin{aligned}
\operatorname{grad} V=\operatorname{colon}\left(\frac{\partial V}{\partial x_{1}}, \ldots,\right. & \left.\frac{\partial V}{\partial x_{n}}\right)= \\
& =2 \operatorname{colon}\left(\sum_{k} S_{!_{k}} x_{k}, \ldots, \sum_{k} S_{n k} x_{k}\right)=2 S \boldsymbol{x} .
\end{aligned}
\]

Кроме того, из условия (4.10.1) получаем
\[
\|p(t, x)\|<\varepsilon\|x\|
\]

при $\|\boldsymbol{x}\| \leqslant h_{\approx}<H$, где $\varepsilon>0$ произвольно мало. Следовательно, из формулы (4.10.8), учитывая соотношение (4.10.7) и используя неравенство Коши, имеем
\[
\begin{aligned}
\dot{V}_{\mathrm{a}}(\boldsymbol{x}) \leqslant-\|\boldsymbol{x}\|^{2}+i & (\operatorname{grad} V, \varphi(t, \boldsymbol{x})) \| \leqslant \\
& \leqslant-\|\boldsymbol{x}\|^{2}+2\|S\|\|\boldsymbol{x}\| \varepsilon\|\boldsymbol{x}\|= \\
& =-\|\boldsymbol{x}\|^{2}(1-2 \varepsilon\|S\|)<-\frac{1}{2}\|\boldsymbol{x}\|^{2}<0, \quad(4.10 .10)
\end{aligned}
\]

если только $0<\varepsilon<\frac{1}{4\|S\|}$ и $0<\|\boldsymbol{x}\|<h_{\text {s }}$, причем $\dot{V}_{\mathfrak{a}}(\mathbf{0})=0$.
Таким образом, для системы (a) в некоторой окрестности точки $O$ существует положительно определенная функция $V(\boldsymbol{x})$, не зависящая от времени $t$ и допускающая отрицательно определенную производную $\dot{V}_{\mathrm{a}}(\boldsymbol{x})$, в силу этой системы.

На основании второй теоремы Ляпунова (\$ 4) тривиальное решение $\boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ системы (а) асимптотически устойчиво в смысле Ляпунова при $t \rightarrow \frac{1}{1} \infty$.

Следствие, $B$ условиях теоремы тривиальное решение $\boldsymbol{x}=0$ экспоненциально устойчиво при $t \rightarrow \infty$ (см. теорему из $\S 8$ ).

Замечание. Доказательство теоремы можно получить также с помоцью метода вариации произвольной постоянной, исходя из формулы
\[
\boldsymbol{x}(t)=\Xi(t) x(0)+\int_{0}^{t} \boldsymbol{\Xi}(t-\tau) \varphi(\tau, \boldsymbol{x}(\tau)) d \tau
\]

и применяя неравенство Гронуолла-Беллмана (ср. с теоремой 2 из § 12 гл. II).

Из теоремы Ляпунова, в частности, вытекают достаточные условия устойчивости состояния равновесия.
Пусть нелинейная автономная система имеет вид
\[
\frac{d y}{d t}=f(y),
\]

где
\[
\boldsymbol{f}(\boldsymbol{y}) \in C^{2}(\|\boldsymbol{y}\|<H) .
\]

Если
\[
\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{y}_{0}\right)=0 \quad\left(\left\|\boldsymbol{y}_{0}\right\|<H\right),
\]

то $y=y_{0}$ есть состояние равновесия системы (4.10.11). Положим
\[
y=y_{0}+x .
\]

Тогда
\[
f(y)=f\left(y_{0}\right)+f^{\prime}\left(y_{0}\right) x+o(\|x\|)=A x+o(\|x\|),
\]

где
\[
A=\boldsymbol{f}^{\prime}\left(\boldsymbol{y}_{0}\right)=\left[\boldsymbol{f}_{; k}^{\prime}\left(\boldsymbol{y}_{0}\right)\right]
\]
– матрица Якоби.

Принимая $\boldsymbol{x}$ – отклонение вектора $\boldsymbol{y}$ от положения равновесия $\boldsymbol{y}_{0}$ – за новую переменную, будем иметь
\[
\frac{d x}{d t}=A \boldsymbol{x}+o(\|\boldsymbol{x}\|) .
\]

На основании теоремы Ляпунова имеем следующий результат. Теорема. Если есе собстбенные значения матрицы Якоби $\boldsymbol{f}^{\prime}\left(\boldsymbol{y}_{0}\right)$ имеют отрицательные вещестеенные части, то состояние равновесия $y=y_{0}$ нелинейной автономной системы (4.10.11) асимптотически устойчиво по Ляпунову при $t \rightarrow \infty$.

Прим ер. Уравнение нелинейных колебаний маятника в сонротивляющейся среде имеет вид
\[
\ddot{b}+a \dot{\theta}+b \sin \theta=0,
\]

гле $\theta$-угловая координата (рис. 38 ), а $a, b$ – положительные постоянные. Отсюда получаем систему
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d \theta}{d t}=\omega, \\
\frac{d \omega}{d t}=-a \omega-b \sin \theta .
\end{array}\right\}
\]

Рис. 38.
Исследуем устойчивость состояния равновесия: $\theta_{0}=0, \omega_{0}=0$ системы (4.10.13). Вводя обозначения
\[
\boldsymbol{y}=(\theta, \omega) \text { и } \boldsymbol{y}_{0}=\left(\theta_{0}, \omega_{0}\right),
\]

будем иметь
\[
f(y)=\left[\begin{array}{c}
\omega \\
-a \omega-b \sin \theta
\end{array}\right]
\]

и
\[
f^{\prime}(y)=\left[\begin{array}{lc}
0 & 1 \\
-b \cos \theta & -a
\end{array}\right] \text {. }
\]

Следовательно,
\[
f^{\prime}\left(y_{0}\right)=\left[\begin{array}{rr}
0 & 1 \\
-b & -a
\end{array}\right] .
\]

Отсюда получаем характеристическое уравнение
\[
\operatorname{det}\left[f^{\prime}\left(y_{0}\right)-\lambda E\right] \equiv\left|\begin{array}{cc}
-\lambda & 1 \\
-b & -\lambda-a
\end{array}\right| \equiv \lambda^{2}+a \lambda+b=0 .
\]

Так как $a>0$ и $b>0$, то для характеристического уравнения выолнено условие Гурвица $n$, следовательно, исследуемое состояние равновесия асимитопнсски устойчиво.
Теореманеустойчивости. Пусть квазилинейная система
\[
\frac{d \boldsymbol{x}}{d t}=A \boldsymbol{x}+\varphi(t, \boldsymbol{x}),
\]

где $A=\left[a_{j k}\right]$ – постоянная матрица и $\varphi(t, \boldsymbol{x}) \in C\left(I_{t}^{+} \times\|\boldsymbol{x}\|<H\right)$ такова, что
\[
\frac{\varphi(t, x)}{x} \rightarrow 0 \text { при } x \rightarrow 0
\]

Если хотя бы одно собственное значение $\lambda_{j}=\lambda_{j}(A)(j=1, \ldots, n)$ матриць $A$ обладает положительной вечестеенной частью, то тривиальное ретение $\boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ этой системь неустойчиво по Jяпунову $n$ pu $t \rightarrow \infty$.

Доказательство (см. [6]). Без нарушения общности рассуждения можно положить
\[
\operatorname{Re}_{i}(A)>0 \quad(j=1, \ldots, m)
\]

H
\[
\operatorname{Re} \lambda_{m+k}(A) \leqslant 0 \quad(k=1, \ldots, n-m),
\]

где $1 \leqslant m \leqslant n^{1}$ ). Пусть $S$ – постоянная неособенная матрица, приводяиая матрицу $A$ к почти треугольному виду (см. следствие 2 теоремы 2 из $\$ 6$ гл. I), т. е.
\[
S^{-1} A S=\Lambda+B,
\]

где $\Lambda=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}\right), B=\left[b_{j k}\right], b_{j k}=0$ при $j \geqslant k$ и $\|B\| \leqslant \varepsilon_{0}$, причем положительное число $\varepsilon_{0}$ может быть выбрано сколь угодно мальм.
Произведем в системе (4.10.14) замену переменной:
\[
\boldsymbol{x}=e^{\Delta t} S \boldsymbol{y},
\]

где $\alpha$ – положительное число такое, что
\[
0<\alpha<\min _{1 \leqslant j \leqslant m} \operatorname{Re} \lambda_{j}(A),
\]

а матрица $S$ и вектор $y$, вообе говоря, комплексные Тогда будем иметь
\[
e^{a t} S \frac{d y}{d t}+e^{\alpha t} \alpha S y=e^{\alpha t} A S y+\varphi\left(t, e^{\alpha t} S y\right),
\]
T. e.
\[
\frac{d y}{d t}=(\Lambda \cdots \alpha E) \boldsymbol{y}+B \boldsymbol{y}+\boldsymbol{\psi}(t, y),
\]
1) В дальнейших рассуждениях мы предполагаем, что $m<n$, так как при $m=n$ доказательство теоремы очевидным образом упрощается.

где матрица $\Lambda-\alpha E$ не имеет собственных значений с нулевой вещественной частью и
\[
\boldsymbol{\psi}(t, \boldsymbol{y})=e^{-\alpha t} S^{-1} \varphi\left(t, e^{n t} S \boldsymbol{y}\right) .
\]

Так как
\[
\|\boldsymbol{\varphi}(t, \boldsymbol{x})\| \leqslant \varepsilon\|\boldsymbol{x}\| \text { при }\|\boldsymbol{x}\| \leqslant h(\varepsilon) \quad(h(\varepsilon)>0),
\]

To
\[
\|\boldsymbol{\psi}(t, \boldsymbol{y})\| \leqslant e^{-x}\left\|S^{-1}\right\| \varepsilon e^{x t}\|S\|\|\boldsymbol{y}\| \leqslant \varepsilon\left\|S^{-1}\right\|\|S\| \boldsymbol{y} \|,
\]

если $\|\boldsymbol{x}\| \leqslant e^{x t}\|S\|\|\boldsymbol{y}\| \leqslant h(\hat{\varepsilon})$, т. е. если
\[
\|y\| \leqslant e^{-b t}\|S\|^{-1} h(\varepsilon)
\]

где $\varepsilon>0$ произвольно мало.
Полагая $\boldsymbol{y}=\operatorname{colon}\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)$,
\[
\psi(t, y)=\operatorname{colon}\left[\psi_{1}(t, y), \ldots, \psi_{n}(t, y)\right]
\]

и
\[
\mu_{s}=\lambda_{s}(A)-\alpha \quad(s=1, \ldots, n),
\]

систему (4.10.16) можно записать в координатной форме

где $\operatorname{Re} \mu_{j}>0(j=1, \ldots, m)$ и $\operatorname{Re} \mu_{m+k}<0(k=1, \ldots, n-m)$. Отсюда, переходя к комплексно-сопряженным величинам, получим
Пусть
\[
V(y)=\frac{1}{2}\left\{\sum_{j=1}^{m}\left|y_{j}\right|^{2}-\sum_{k=1}^{n-m}\left|y_{m+k}\right|^{2}\right\} .
\]

Так как
\[
\frac{d}{d t}\left|y_{s}\right|^{2}=\frac{d}{d t}\left(y_{s} \bar{y}_{s}\right)=\bar{y}_{s} \frac{d y_{s}}{d t}+y_{s} \frac{d \bar{y}_{s}}{d t} \quad(s=1, \ldots, n),
\]

то из уравнений $(4.10 .18)$ и (4.10.19) будем иметь
\[
\dot{V}(y)=\sum_{i=1}^{m} \operatorname{Re} \mu_{j}\left|y_{i}\right|^{2}+\left.\sum_{k=1}^{n-m}\left(-\operatorname{Re} \mu_{m+k}\right) y_{m+k}\right|^{2}+p(t, y) \| y^{2},
\]

где $\rho(t, y)=O(\varepsilon)$ (т. е. $\rho(t, y)$ – величина порядка $\varepsilon$, равномерно относительно $t$ и $y$ ) в области (4.10.17). Полагая
\[
\beta=\min _{j, k}\left(\operatorname{Re} \mu_{j},-\operatorname{Re} \mu_{m+k}\right),
\]

при достаточно малом $\varepsilon>0$ находим
\[
\dot{V}(y) \geqslant\left[\beta-\left\lvert\, p(t, y)\|\| \boldsymbol{y}\left\|^{2} \geqslant \frac{\beta}{2}\right\| y^{\prime 2} \geqslant \beta V(y) .\right.\right.
\]

Следовательно, при $t_{0}=0$ и $V(\boldsymbol{y}(0))>0$ получаем
\[
V(\boldsymbol{y}(t)) \geqslant V(\boldsymbol{y}(0)) e^{\beta t},
\]
T. e.
\[
\|\boldsymbol{y}(t)\|^{2} \geqslant 2 V(\boldsymbol{y}(0)) e^{\rho t},
\]

если только
\[
\|\boldsymbol{y}(t)\| \leqslant e^{-a t}\|S\|^{-1} h(\varepsilon) .
\]

Пусть $\delta>0$ произвольно мало. Выберем $\boldsymbol{y}(0)$ так, чтобы выполнялись неравенства
\[
0<\|y(0)\|<\delta, \quad V(\boldsymbol{y}(0))>0
\]
(этого можно добиться, положив, например, $y_{m+k}=0(k=1, \ldots$ $\ldots, n-m)$ ). Тогда из неравенства (4.10.20) вытекает, что существует момент $t_{1}>0$ такой, что
\[
\left\|y\left(t_{1}\right)\right\| \geqslant e^{-a t_{1}}\|S\|^{-1} h(\varepsilon) .
\]

Возвращаясь к прежней переменной $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}(t)$, в силу формулы (4.10.15) будем иметь $\|\boldsymbol{x}(0)\| \leqslant\|S\|\|\boldsymbol{y}(0)\|<\|S\| \delta$ и
\[
\left\|\boldsymbol{x}\left(t_{1}\right)\right\| \geqslant \frac{e^{a t_{1}}}{\left\|S^{-1}\right\|}\left\|\boldsymbol{y}\left(t_{1}\right)\right\| \geqslant \frac{\|S\|^{-1}}{\left\|S^{-1}\right\|} h(\varepsilon),
\]

где $\varepsilon>0$ фиксировано. Так как $\delta>0$ произвольно мало, то отсюда следует, что тривиальное решение $\boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ квазилинейной системы (4.10.14) неустойчиво по Ляпунову при $t \rightarrow \infty$.
Теорема доказана.