Рассмотрим действительную дифференциальную систему
$$\frac{dx}{dt}=Ax+\phi (t,x),$$

где $A$-постоянная матрица и $\phi (t,\mathit{x})\in C(0⩽t<\mathrm{\infty }$, $\mathit{x}\Vert <H{)}^1$ ), причем $\phi (t,\mathit{x})=0(\Vert \mathit{x}\Vert )$ равномерно по $t$, т. е.
$$\stackrel{\varrho }{\Vert x\Vert }\to \underset{t}{\to }0\text{ при }\mathit{x}\to 0$$
(\»x\| — евклидова норма вектора $\mathit{x}$ ).
Систему (а) будем называть квазилинейной; очевидно, эта система допускает тривиальное решение $\mathit{x}=0$.

Теорема Ляпунова. Eсли все собственные значения ${\lambda }_j(A)$ $(j=1,\dots ,n)$ матрицы $A$ имеют отрицательные вещественные tacmu:
$$\mathrm{Re}{\lambda }_j(A)<0(j=1,\dots ,n),$$

то тривиальное решение $\mathit{x}=\mathbf{0}$ квазилинейной системы (а) асимптотически устойчиво по ляпунову при $t\to +\mathrm{\infty }$.

Доказательство (см. [10]). Пусть $\xi (t,\mathit{x})$ — действительное решение соответствующей линейной системы
$$\frac{d\xi }{dt}=A\xi$$

определяемое начальным условием:
$$\xi (0,x)=x\text{. }$$
1) Для простоты принимаем $t_0=0$.

Если $\mathrm{\Xi }(t)$ — нормированная фундаментальная матрица (матрицант) системы (b) такая, что
$$\mathrm{\Xi }(0)=E\text{, }$$

то, очевидно, имеем
$$\xi (t,\mathit{x})=\mathrm{\Xi }(t)\mathit{x}.$$

Нз условия (4.10.2) вытекает (см. гл. I, § 13), что
$$\Vert \mathrm{\Xi }(t)\Vert ⩽N{e}^{-\alpha t}\text{ при }t⩾0,$$

где $max\mathrm{Re}{\lambda }_j(A)<-\alpha <0$ и $N-$ некоторая положительная постоянная. Отсюда
$$\Vert \mathit{\xi }(t,\mathit{x})\Vert ⩽N{e}^{-at}\Vert \mathit{x}\Vert \text{ при }t⩾0.$$

Рассмотрим функцию
$$V(\mathit{x})={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\Vert \mathit{\xi }(\tau ,\mathit{x}){\Vert }^{2}d\tau .$$

Из (4.10.3), используя известные свойства скалярного произведения, имеем
$$\begin{array}{rl}V(\mathit{x})={\int }_0^{\mathrm{\infty }}(\mathbf{\Xi }(\tau )\mathit{x},& \mathbf{\Xi }(\tau )\mathit{x})d\tau =\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}({\mathbf{\Xi }}^T(\tau )\mathbf{\Xi }(\tau )\mathit{x},\mathit{x})d\tau =(\mathit{S}\mathit{x},\mathit{x}),\end{array}$$

где
$$S={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\Xi }}^T(\because )\mathrm{\Xi }(\tau )d\tau ,$$
a ${\mathrm{\Xi }}^T(\tau )$ — транспонированная мстрица относительно матрицы $\mathrm{\Xi }(\tau )$. Таким образом, $V(\mathit{x})$ представляет собой квадратичную форму относительно переменных $x_1,\dots ,x_n$ с действительной симметрической матрицей $S$.

На основании неравенства (4.10.4) интеграл в правой части равенства (4.10.6) сходится и, следовательно, функция $V(\mathit{x})$ определена и конечна для каждой точки $x\in {\mathcal{R}}_x^n$, причем в силу свойства единственности решений системы (b) имеем

и
$$\begin{array}{c}V(x)>0\text{ при }xeq0\\ V(0)=0.\end{array}$$

Используя так называемое еруппоюе свойство решений автономной системы (b) (рис. 37)
$$\xi (\tau ,\xi (t,x))=\xi (t+\tau ,x),$$

получим
$$\begin{array}{rl}V(\xi (t,x))={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\Vert \xi (\tau ,\xi (t,x)){\Vert }^{2}d\tau & =\\ & =j_0^{\mathrm{\infty }}\Vert \mathit{\xi }(t+\tau ,\mathit{x}){\Vert }^{2}d\tau ={\int }_t^{\mathrm{\infty }}\Vert \xi (\tau ,x,{}^{2}d\tau .\end{array}$$

Отсюда производная по времени $t$ функции $V(\mathit{x})$ в точке $\mathit{x}$ в силу системы (b) будет равна
$$\begin{array}{c}{\dot{V}}_b(x)={[\frac{d}{dt}V(\xi (t,x))]}_{t=0}=\\ ={\{\frac{d}{dt}{\int }_t^{\mathrm{\infty }}\Vert \xi (\tau ,x){\Vert }^{2}d\tau \}}_{t=0}=\\ =[-{\Vert \xi (t,x){\Vert }^2|}_{t=0}=-\Vert x{\Vert }^2.\end{array}$$

Найдем теперь производную по времени $t$ функции $\mathit{V}(\mathit{x})$ в точке $\mathit{x}$ в силу системы (а). Нмеем
$$\begin{array}{rl}{\dot{V}}_{\mathrm{a}}(\mathit{x})=(\mathrm{grad}V,A\mathit{x})+& (\mathrm{grad}V,\phi (t,\mathit{x}))=\\ =& {\dot{V}}_{\mathrm{b}}(\mathit{x})+(\mathrm{grad}V,\phi (t,\mathit{x})).\end{array}$$

Полагая
$$S=\left[S_{jk}\right]\text{ и }\mathit{x}=\mathrm{colon}(x_1,\dots ,x_n),$$

из формулы (4.10.6) находим
$$V(\mathit{x})=\sum _{j,k}{S}_{jk}{x}_j{x}_k(S_{jk}=S_{kj}).$$

Отсюда
$$\begin{array}{rl}\mathrm{grad}V=\mathrm{colon}(\frac{\partial V}{\partial x_1},\dots ,& \frac{\partial V}{\partial x_n})=\\ & =2\mathrm{colon}(\sum _k{S}_{{!}_k}{x}_k,\dots ,\sum _k{S}_{nk}{x}_k)=2S\mathit{x}.\end{array}$$

Кроме того, из условия (4.10.1) получаем
$$\Vert p(t,x)\Vert <\epsilon \Vert x\Vert$$

при $\Vert \mathit{x}\Vert ⩽h_{\approx }<H$, где $\epsilon >0$ произвольно мало. Следовательно, из формулы (4.10.8), учитывая соотношение (4.10.7) и используя неравенство Коши, имеем
$$\begin{array}{rl}{\dot{V}}_{\mathrm{a}}(\mathit{x})⩽-\Vert \mathit{x}{\Vert }^2+i& (\mathrm{grad}V,\phi (t,\mathit{x}))\Vert ⩽\\ & ⩽-\Vert \mathit{x}{\Vert }^2+2\Vert S\Vert \Vert \mathit{x}\Vert \epsilon \Vert \mathit{x}\Vert =\\ & =-\Vert \mathit{x}{\Vert }^2(1-2\epsilon \Vert S\Vert )<-\frac{1}{2}\Vert \mathit{x}{\Vert }^2<0,(4.10.10)\end{array}$$

если только $0<\epsilon <\frac{1}{4\Vert S\Vert }$ и $0<\Vert \mathit{x}\Vert <h_{\text{s }}$, причем ${\dot{V}}_{\mathfrak{a}}(\mathbf{0})=0$.
Таким образом, для системы (a) в некоторой окрестности точки $O$ существует положительно определенная функция $V(\mathit{x})$, не зависящая от времени $t$ и допускающая отрицательно определенную производную ${\dot{V}}_{\mathrm{a}}(\mathit{x})$, в силу этой системы.

На основании второй теоремы Ляпунова ($ 4) тривиальное решение $\mathit{x}=\mathbf{0}$ системы (а) асимптотически устойчиво в смысле Ляпунова при $t\to \frac{1}{1}\mathrm{\infty }$.

Следствие, $B$ условиях теоремы тривиальное решение $\mathit{x}=0$ экспоненциально устойчиво при $t\to \mathrm{\infty }$ (см. теорему из $\mathrm{\S }8$ ).

Замечание. Доказательство теоремы можно получить также с помоцью метода вариации произвольной постоянной, исходя из формулы
$$\mathit{x}(t)=\mathrm{\Xi }(t)x(0)+{\int }_0^t\mathbf{\Xi }(t-\tau )\phi (\tau ,\mathit{x}(\tau ))d\tau$$

и применяя неравенство Гронуолла-Беллмана (ср. с теоремой 2 из § 12 гл. II).

Из теоремы Ляпунова, в частности, вытекают достаточные условия устойчивости состояния равновесия.
Пусть нелинейная автономная система имеет вид
$$\frac{dy}{dt}=f(y),$$

где
$$\mathit{f}(\mathit{y})\in C^2(\Vert \mathit{y}\Vert <H).$$

Если
$$\mathit{f}\left({\mathit{y}}_0\right)=0(\Vert {\mathit{y}}_0\Vert <H),$$

то $y=y_0$ есть состояние равновесия системы (4.10.11). Положим
$$y=y_0+x.$$

Тогда
$$f(y)=f\left(y_0\right)+f^{\prime }\left(y_0\right)x+o(\Vert x\Vert )=Ax+o(\Vert x\Vert ),$$

где
$$A={\mathit{f}}^{\prime }\left({\mathit{y}}_0\right)=\left[{\mathit{f}}_{;k}^{\prime }\left({\mathit{y}}_0\right)\right]$$
— матрица Якоби.

Принимая $\mathit{x}$ — отклонение вектора $\mathit{y}$ от положения равновесия ${\mathit{y}}_0$ — за новую переменную, будем иметь
$$\frac{dx}{dt}=A\mathit{x}+o(\Vert \mathit{x}\Vert ).$$

На основании теоремы Ляпунова имеем следующий результат. Теорема. Если есе собстбенные значения матрицы Якоби ${\mathit{f}}^{\prime }\left({\mathit{y}}_0\right)$ имеют отрицательные вещестеенные части, то состояние равновесия $y=y_0$ нелинейной автономной системы (4.10.11) асимптотически устойчиво по Ляпунову при $t\to \mathrm{\infty }$.

Прим ер. Уравнение нелинейных колебаний маятника в сонротивляющейся среде имеет вид
$$\ddot{b}+a\dot{\theta }+b\sin \theta =0,$$

гле $\theta$-угловая координата (рис. 38 ), а $a,b$ — положительные постоянные. Отсюда получаем систему
$$\begin{array}{l}\frac{d\theta }{dt}=\omega ,\\ \frac{d\omega }{dt}=-a\omega -b\sin \theta .\end{array}\}$$

Рис. 38.
Исследуем устойчивость состояния равновесия: ${\theta }_0=0,{\omega }_0=0$ системы (4.10.13). Вводя обозначения
$$\mathit{y}=(\theta ,\omega )\text{ и }{\mathit{y}}_0=({\theta }_0,{\omega }_0),$$

будем иметь
$$f(y)=\left[\begin{array}{c}\omega \\ -a\omega -b\sin \theta \end{array}\right]$$

и
$$f^{\prime }(y)=\left[\begin{array}{lc}0& 1\\ -b\cos \theta & -a\end{array}\right]\text{. }$$

Следовательно,
$$f^{\prime }\left(y_0\right)=\left[\begin{array}{rr}0& 1\\ -b& -a\end{array}\right].$$

Отсюда получаем характеристическое уравнение
$$\det [f^{\prime }\left(y_0\right)-\lambda E]\equiv \left|\begin{array}{cc}-\lambda & 1\\ -b& -\lambda -a\end{array}\right|\equiv {\lambda }^2+a\lambda +b=0.$$

Так как $a>0$ и $b>0$, то для характеристического уравнения выолнено условие Гурвица $n$, следовательно, исследуемое состояние равновесия асимитопнсски устойчиво.
Теореманеустойчивости. Пусть квазилинейная система
$$\frac{d\mathit{x}}{dt}=A\mathit{x}+\phi (t,\mathit{x}),$$

где $A=\left[a_{jk}\right]$ — постоянная матрица и $\phi (t,\mathit{x})\in C(I_t^{+}\times \Vert \mathit{x}\Vert <H)$ такова, что
$$\frac{\phi (t,x)}{x}\to 0\text{ при }x\to 0$$

Если хотя бы одно собственное значение ${\lambda }_j={\lambda }_j(A)(j=1,\dots ,n)$ матриць $A$ обладает положительной вечестеенной частью, то тривиальное ретение $\mathit{x}=\mathbf{0}$ этой системь неустойчиво по Jяпунову $n$ pu $t\to \mathrm{\infty }$.

Доказательство (см. [6]). Без нарушения общности рассуждения можно положить
$${\mathrm{Re}}_i(A)>0(j=1,\dots ,m)$$

H
$$\mathrm{Re}{\lambda }_{m+k}(A)⩽0(k=1,\dots ,n-m),$$

где $1⩽m⩽n^1$ ). Пусть $S$ — постоянная неособенная матрица, приводяиая матрицу $A$ к почти треугольному виду (см. следствие 2 теоремы 2 из $\mathrm{\$}6$ гл. I), т. е.
$$S^{-1}AS=\mathrm{\Lambda }+B,$$

где $\mathrm{\Lambda }=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n),B=\left[b_{jk}\right],b_{jk}=0$ при $j⩾k$ и $\Vert B\Vert ⩽{\epsilon }_0$, причем положительное число ${\epsilon }_0$ может быть выбрано сколь угодно мальм.
Произведем в системе (4.10.14) замену переменной:
$$\mathit{x}=e^{\mathrm{\Delta }t}S\mathit{y},$$

где $\alpha$ — положительное число такое, что
$$0<\alpha <\underset{1⩽j⩽m}{min}\mathrm{Re}{\lambda }_j(A),$$

а матрица $S$ и вектор $y$, вообе говоря, комплексные Тогда будем иметь
$$e^{at}S\frac{dy}{dt}+e^{\alpha t}\alpha Sy=e^{\alpha t}ASy+\phi (t,e^{\alpha t}Sy),$$
T. e.
$$\frac{dy}{dt}=(\mathrm{\Lambda }\cdots \alpha E)\mathit{y}+B\mathit{y}+\mathit{\psi }(t,y),$$
1) В дальнейших рассуждениях мы предполагаем, что $m<n$, так как при $m=n$ доказательство теоремы очевидным образом упрощается.

где матрица $\mathrm{\Lambda }-\alpha E$ не имеет собственных значений с нулевой вещественной частью и
$$\mathit{\psi }(t,\mathit{y})=e^{-\alpha t}{S}^{-1}\phi (t,e^{nt}S\mathit{y}).$$

Так как
$$\Vert \mathit{\phi }(t,\mathit{x})\Vert ⩽\epsilon \Vert \mathit{x}\Vert \text{ при }\Vert \mathit{x}\Vert ⩽h(\epsilon )(h(\epsilon )>0),$$

To
$$\Vert \mathit{\psi }(t,\mathit{y})\Vert ⩽e^{-x}\Vert S^{-1}\Vert \epsilon e^{xt}\Vert S\Vert \Vert \mathit{y}\Vert ⩽\epsilon \Vert S^{-1}\Vert \Vert S\Vert \mathit{y}\Vert ,$$

если $\Vert \mathit{x}\Vert ⩽e^{xt}\Vert S\Vert \Vert \mathit{y}\Vert ⩽h(\hat{\epsilon })$, т. е. если
$$\Vert y\Vert ⩽e^{-bt}\Vert S{\Vert }^{-1}h(\epsilon )$$

где $\epsilon >0$ произвольно мало.
Полагая $\mathit{y}=\mathrm{colon}(y_1,\dots ,y_n)$,
$$\psi (t,y)=\mathrm{colon}[{\psi }_1(t,y),\dots ,{\psi }_n(t,y)]$$

и
$${\mu }_s={\lambda }_s(A)-\alpha (s=1,\dots ,n),$$

систему (4.10.16) можно записать в координатной форме

где $\mathrm{Re}{\mu }_j>0(j=1,\dots ,m)$ и $\mathrm{Re}{\mu }_{m+k}<0(k=1,\dots ,n-m)$. Отсюда, переходя к комплексно-сопряженным величинам, получим
Пусть
$$V(y)=\frac{1}{2}\{\sum _{j=1}^m{\left|y_j\right|}^2-\sum _{k=1}^{n-m}{\left|y_{m+k}\right|}^2\}.$$

Так как
$$\frac{d}{dt}{\left|y_s\right|}^2=\frac{d}{dt}\left(y_s{\overline{y}}_s\right)={\overline{y}}_s\frac{d{y}_s}{dt}+y_s\frac{d{\overline{y}}_s}{dt}(s=1,\dots ,n),$$

то из уравнений $(4.10.18)$ и (4.10.19) будем иметь
$$\dot{V}(y)=\sum _{i=1}^m\mathrm{Re}{\mu }_j{\left|y_i\right|}^2+{\sum _{k=1}^{n-m}(-\mathrm{Re}{\mu }_{m+k})y_{m+k}|}^2+p(t,y)\Vert y^2,$$

где $\rho (t,y)=O(\epsilon )$ (т. е. $\rho (t,y)$ — величина порядка $\epsilon$, равномерно относительно $t$ и $y$ ) в области (4.10.17). Полагая
$$\beta =\underset{j,k}{min}(\mathrm{Re}{\mu }_j,-\mathrm{Re}{\mu }_{m+k}),$$

при достаточно малом $\epsilon >0$ находим
$$\dot{V}(y)⩾[\beta -|p(t,y)\Vert \Vert \mathit{y}\Vert {}^2⩾\frac{\beta }{2}\Vert y^{\prime 2}⩾\beta V(y).$$

Следовательно, при $t_0=0$ и $V(\mathit{y}(0))>0$ получаем
$$V(\mathit{y}(t))⩾V(\mathit{y}(0))e^{\beta t},$$
T. e.
$$\Vert \mathit{y}(t){\Vert }^2⩾2V(\mathit{y}(0))e^{\rho t},$$

если только
$$\Vert \mathit{y}(t)\Vert ⩽e^{-at}\Vert S{\Vert }^{-1}h(\epsilon ).$$

Пусть $\delta >0$ произвольно мало. Выберем $\mathit{y}(0)$ так, чтобы выполнялись неравенства
$$0<\Vert y(0)\Vert <\delta ,V(\mathit{y}(0))>0$$
(этого можно добиться, положив, например, $y_{m+k}=0(k=1,\dots$ $\dots ,n-m)$ ). Тогда из неравенства (4.10.20) вытекает, что существует момент $t_1>0$ такой, что
$$\Vert y\left(t_1\right)\Vert ⩾e^{-a{t}_1}\Vert S{\Vert }^{-1}h(\epsilon ).$$

Возвращаясь к прежней переменной $\mathit{x}=\mathit{x}(t)$, в силу формулы (4.10.15) будем иметь $\Vert \mathit{x}(0)\Vert ⩽\Vert S\Vert \Vert \mathit{y}(0)\Vert <\Vert S\Vert \delta$ и
$$\Vert \mathit{x}\left(t_1\right)\Vert ⩾\frac{e^{a{t}_1}}{\Vert S^{-1}\Vert }\Vert \mathit{y}\left(t_1\right)\Vert ⩾\frac{\Vert S{\Vert }^{-1}}{\Vert S^{-1}\Vert }h(\epsilon ),$$

где $\epsilon >0$ фиксировано. Так как $\delta >0$ произвольно мало, то отсюда следует, что тривиальное решение $\mathit{x}=\mathbf{0}$ квазилинейной системы (4.10.14) неустойчиво по Ляпунову при $t\to \mathrm{\infty }$.
Теорема доказана.