Пусть $X=\left(x_{j k}\right)$ – квадратная матрица порядка $n$.
Определение. Под экспоненциалом квадратной матрицы $X$ понимается матричная функция
\[
\exp X \equiv e^{X}=\sum_{p=0}^{\infty} \frac{X^{p}}{p !} .
\]

Матричный ряд (1.12.1) сходится для любой квадратной матрицы $X$ и притом абсолютно. Действительно, составляя соответствующий ряд норм, будем иметь
\[
\sum_{p=0}^{\infty} \frac{\|X\|^{p}}{p !} \leqslant\|E\|+\sum_{p=1}^{\infty} \frac{\|X\|^{p}}{p !}<\infty,
\]

что и доказывает наше утверждение.
В частности, на основании формулы (1.12.2), используя I или II нормы, где $\|E\|=1$, имеем
\[
\left\|e^{X}\right\| \leqslant \sum_{p=00}^{\infty} \frac{X \|^{p}}{p !}=e^{\|X\|} .
\]

Пусть матрицы $X$ и $Y$ перестановочны, т. е.
\[
X Y=Y X \text {. }
\]

Докажем основное свойствоэкспоненциала матрицы
\[
e^{X} e^{\mathrm{Y}}=e^{X+Y} .
\]

Действительно, в силу абсолютной сходимости разложения (1.12.1) имеем
\[
e^{X} e^{Y}=\sum_{p=0}^{\infty} \frac{X^{p}}{p !} \cdot \sum_{q=0}^{\infty} \frac{Y^{q}}{q !}=\sum_{p=0}^{\infty} \sum_{q=0}^{\infty} \frac{X^{p} Y q}{p ! q !} .
\]

Положим
\[
p+q=s \quad(s=0,1,2, \ldots) ;
\]

тогда
\[
q=s-p \geqslant 0, \text { T. e. } p \leqslant s,
\]

и, следовательно,
\[
e^{X} e^{Y}=\sum_{s=0}^{\infty} \sum_{p=0}^{s} \frac{X^{p} Y^{s-p}}{p !(s-p) !}=\sum_{s=0}^{\infty} \frac{1}{s !} \sum_{p=0}^{s} C_{s}^{p} X^{p} Y^{s-p}, \quad \text { (1.12.4) }
\]

где
\[
C_{s}^{p}=\frac{s !}{p !(s-p) !}
\]

– число сочетаний из $s$ элементов по $p$. Так как матрицы $X$ и $Y$ перестановочны, то
\[
\sum_{p=0}^{s} C_{s}^{p} X^{p} Y^{s-p}=(X+Y)^{p} .
\]

Отсюда на основании формул (1.12.4) и (1.12.1) получаем
\[
e^{X} e^{Y}=\sum_{s=0}^{\infty} \frac{1}{s !}(X+Y)^{s}=e^{X+Y},
\]

что и требовалось доказать.
Из формулы (1.12.3), в частности, находим
\[
\left(e^{X}\right)^{-1}=e^{-X} \text {. }
\]

Отметим еще одно свойство экспоненциала матрицы. Если $X_{1}$ квадратная матрица, подобная матрице $X$, т. е.
\[
X_{1}=S X S^{-1} \quad(\operatorname{det} S
eq 0),
\]

то имеем
\[
e^{X_{1}}=\sum_{p=0}^{\infty} \frac{1}{p !}\left(S X S^{-1}\right)^{p}=S\left(\sum_{p=0}^{\infty} \frac{1}{p !} X^{p}\right) S^{-1}=S e^{X} S^{-1},
\]
T. e.
\[
\exp \left(S X S^{-1}\right)=S(\exp X) S^{-1}
\]
(cp, $\S 9$ ).