Теорема 1. Для всякой почти периодической функции $f(x)$ с рядом Фурье
\[
f(x) \propto \sum_{n} A_{n} e^{i \lambda_{n} x}
\]

имеет место равенство Парсеваля:
\[
\sum_{n}\left|A_{n}\right|^{2}=M\left\{|f(x)|^{2}\right\} .
\]

Доказательство. Рассмотрим свертку (§11)
\[
F(x)=M_{t}\{f(x+t) \overline{f(t)}\} \propto \sum_{n}\left|A_{n}\right|^{2} e^{i \lambda_{n} x} .
\]

Так как на основании неравенства Бесселя (§8) имп …
\[
\sum_{n}\left|A_{n}\right|^{2} \leqslant M\left\{|f(x)|^{2}\right\}<\infty,
\]

то ряд Фурье свертки $F(x)$ сходится равномерно и, следовательно, имеет место равенство
\[
\underset{t}{\mathrm{M}^{\prime}}\{f(x+t) \overline{f(t)}\}=\sum_{n}\left|A_{n}\right|^{2} e^{i \lambda} n^{x} .
\]

Полагая здесь $x=0$, очевидно, получим равенство Парсеваля (13.1).
Замечание. Если модули коэффициентов Фурье $a(\lambda)$ рассматривать как величины проекций п. п. функции $f(x)$ на орты $e_{\lambda}=e^{i \lambda x}$, то равенство Парсеваля представляет теорему Пифагора в пространстве п. п. функций II.

Определение. Говорят, что последовательность п. п. функций $f_{1}(x), f_{2}(x), \ldots, f_{n}(x), \ldots$ сходится в среднем к предельной п. п. функции $f(x)$, если
\[
M\left\{\left|f_{n}(x)-f(x)\right|^{\beta}\right\} \rightarrow 0 \text { при } n \rightarrow \infty .
\]

Аналогично ряд
\[
\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)
\]

сходится в среднем к $F(x)$, если последовательность частных сумм
\[
S_{n}(x)=\sum_{v=1}^{n} f_{v}(x)
\]

сходится в среднем к $F(x)$.
Теорема 2. Для всякой почти периодической функции $f(x)$ ее ряд Фурье сходится в среднем к $f(x)$ (при любом порядке слагаемых).
Доказательство. Для отрезка ряда Фурье
\[
\sum_{v=1}^{n} A_{v} e^{i \lambda_{v}}
\]

согласно (8.4) и (13.1) имеем
\[
M\left\{\left|f(x)-\sum_{v=1}^{n} A_{
u} e^{i \lambda_{
u} x}\right|^{2}\right\}=M\left\{|f(x)|^{2}\right\}-\sum_{v=1}^{n}\left|A_{v}\right|^{2}<\varepsilon,
\]

если $n>N(\varepsilon)$. А это и значит, что ряд Фурье функции $f(x)$ сходится в среднем к $f(x)$.