Пусть
\[
H=H\left(t, q_{1}, \ldots, q_{n}, p_{1}, \ldots, p_{n}\right) \equiv H(t, \boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}) \in C_{t q p}^{(0,1,1)}
\]

действительна и
\[
\frac{\partial H}{\partial q}=\operatorname{colon}\left(\frac{\partial H}{\partial q_{1}}, \ldots, \frac{\partial H}{\partial q_{n}}\right), \frac{\partial H}{\partial p}=\operatorname{colon}\left(\frac{\partial H}{\partial p_{1}}, \ldots, \frac{\partial H}{\partial p_{n}}\right) .
\]

Система
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d \boldsymbol{q}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p} \\
\frac{d p}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{q}}
\end{array}\right\}
\]

называется гамильтоновой или канонической с функцией Гамильтона $H$. Такие системы играют важную роль в теоретической механике (см. [32], [33]). Заметим, что если $H$ не зависит от $t$ :
\[
H=H(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}),
\]

то каноническая система (3.20.1) допускает первый интеграл
\[
H(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p})=\boldsymbol{h}=\mathrm{const} .
\]

Положим
\[
x=\left[\begin{array}{l}
q \\
p
\end{array}\right]
\]

и пусть
\[
J \equiv J_{2 n}=\left[\begin{array}{cc}
0 & E_{n} \\
-E_{n} & 0
\end{array}\right]
\]

– так называемая симплектическая единица. Тогда каноническую систему (3.20.1) можно записать в виде
\[
\frac{d x}{d t}=J \frac{\partial H}{\partial x},
\]

где
\[
\frac{\partial H}{\partial x}=\left[\begin{array}{l}
\frac{\partial H}{\partial q} \\
\frac{\partial H}{\partial p}
\end{array}\right] .
\]

Для единообразия введем обозначения: $q=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, $p=\left(x_{n+1}, \ldots, x_{2 n}\right)$. Тогда
\[
H=H(t, \boldsymbol{x}) .
\]

Пусть функция Гамильтона $H$ есть квадратичная форма переменных $x_{1}, \ldots, x_{2 n}$, т. е.
\[
H(t, \boldsymbol{x})=\frac{1}{2} \sum_{j, k} a_{j k}(t) x_{j} x_{k},
\]

где
\[
a_{j k}(t)=a_{k j}(t) .
\]

Из формулы (3.20.3) имеем
\[
\frac{\partial H}{\partial x}=\operatorname{colon}\left(\frac{\partial H}{\partial x_{1}}, \ldots, \frac{\partial H}{\partial x_{2 n}}\right)=\left[\begin{array}{c}
\sum_{k} a_{1 k}(t) x_{k} \\
\cdot . \cdot . \cdot \\
\sum_{k} a_{2 n, k}(t) x_{k}
\end{array}\right] \equiv A(t) \boldsymbol{x},
\]

где $a(t)=\left[a_{j k}(t)\right]$ – симметрическая матрица. Отсюда получаем линейную гамильтонову систему
\[
\frac{d x}{d t}=J A(t) x
\]

с функцией Гамильтона
\[
H(t, \boldsymbol{x})=\frac{1}{2}[A(t) x, x] .
\]

Заметим, что
\[
\mathrm{Sp}[J A(t)]=0 .
\]

Действительно, если
\[
A(t)=\left[\begin{array}{ll}
P(t) & Q(t) \\
Q(t) & R(t)
\end{array}\right],
\]

то
\[
J A(t)=\left[\begin{array}{rl}
0 & E_{n} \\
-E_{n} & 0
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}
P(t) & Q(t) \\
Q(t) & R(t)
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}
Q(t) & R(t) \\
-P(t) & -Q(t)
\end{array}\right]
\]

и, следовательно,
\[
\operatorname{Sp}[J A(t)]=0 .
\]

Пусть
\[
\boldsymbol{x}=\operatorname{colon}\left(x_{1}, \ldots, x_{2_{n}}\right), \quad \boldsymbol{y}=\operatorname{colon}\left(y_{1}, \ldots, y_{2_{n}}\right)
\]
– любые решения гамильтоновой системы (3.20.4) (векторыстолбцы). Через $\boldsymbol{x}^{T}$ обозначим транспонированное решение (вектор-строку)
\[
\boldsymbol{x}^{T}=\left(x_{1}, \ldots, x_{2 n}\right) .
\]

Лемма. Для лобых двух ренений $\boldsymbol{x}$ и $\boldsymbol{y}$ линейной гамильтоновой системы (3.20.4) остается постоянным их симплектическое произведение
\[
u=x^{T} J y .
\]

Доказательство. Дифференцируя функцию $u$, получим
\[
\frac{d u}{d t}=\frac{d x^{T}}{d t} J y+x^{T} J \frac{d y}{d t} .
\]

Так как $\boldsymbol{x}$ и $\boldsymbol{y}$ – решения системы (3.20.4), то
\[
\frac{d x}{d t}=J A(t) x \quad \text { и } \quad \frac{d y}{d t}=J A(t) y .
\]

Отсюда, учитывая симметричность матрицы $A(t)$ и то, что
\[
J^{T}=-J \text {, }
\]

получаем
\[
\frac{d x^{T}}{d t}=\left(\frac{d x}{d t}\right)^{T}=x^{T} A^{T}(t) J^{T}=-x^{T} A(t) J .
\]

Следовательно, принимая во внимание, что
\[
J J=J^{2}=-E_{2 n},
\]

из формулы (3.20.5) имеем
\[
\frac{d u}{d t}=-x^{T} A(t) J J y+x^{T} J J A(t) y=x^{T} A(t) y-x^{T} A(t) y \equiv 0 .
\]

Поэтому
\[
u=x^{T} J y \equiv \text { const. }
\]
3амечание. Лемма остается верной для $(2 n \times 2 n)$-матричных решений $X(t)$ и $Y(t)$ гамильтоновой системы (3.20.4), т. е.
\[
X^{T}(t) J Y(t)=C,
\]

где $C$ – постоянная $(2 n \times 2 n)$-матрица.