Пусть $A(t)$ – непрерывная $ю$-периодическая матрица. Основной промежуток $[0, \omega]$ с помощью точек
\[
0=t_{0}<t_{1}<\ldots<t_{m-1}<t_{m}=\omega
\]

разобьем на $m$ равных частей, и пусть
\[
h=\Delta t_{k} \equiv t_{k+1}-t_{k}=\frac{\omega}{m} .
\]
В дифференциальном уравнении
\[
\frac{d X}{d t}=A(t) X,
\]

где $X(0)=E$, следуя [30], заменим матрицу $A(t)$ кусочно-постоянной матрицей:
\[
\begin{aligned}
A_{h}(t) & =\bar{A}_{k} \text { при } t_{k} \leqslant t<t_{k+1} \\
(k & =0,1, \ldots, m-1),
\end{aligned}
\]

где
\[
\min _{t \in\left[t_{k^{\prime}} t_{k+1}\right]} A(t) \leqslant \bar{A}_{k} \leqslant \max _{t \in\left[t_{k^{\prime}} t_{k+1}\right]} A(t),
\]

например,
\[
\tilde{A}_{k}=\frac{1}{h} \int_{t_{k}}^{t_{k+1}} A(t) d t .
\]

Обозначим через $X_{h}=X_{h}(t)$ непрерывную матрицу, удовле’гворяющую в точках непрерывности коэффициента $A_{h}(t)$ дифференциальному уравнению
\[
\frac{d X_{h}}{d t}=A_{h}(t) X_{h},
\]

где $0 \leqslant t \leqslant \omega$ и $X_{h}(0)=E$. Обобщенное решение $X_{h}$ легко построить. На основании формул (3.18.2) имеем
\[
\frac{d X_{h}}{d t}=A_{k} X_{h} \text { при } t_{k}<t<t_{k+1}
\]
n
\[
\frac{d X_{h}}{d t}=A_{k+1} X_{h} \text { при } t_{k+1}<t<t_{k+9},
\]

где $A_{k}(k=0,1, \ldots, m-1)$ – постоянные матрицы. Отсюда
\[
X_{h}=e^{\left(t-t_{k}\right) \bar{A}_{k}} C_{i} \text { при } t_{k}<t<t_{k+1}
\]

и
\[
X_{h}=e^{\left(t-t_{k+1}\right) \bar{A}_{k+1} C_{k+1}} \text { при } t_{k+1}<t<t_{k+2} .
\]

Используя непрерывность решения $X_{h}$ в точке $t=t_{k+1}$, будем иметь
\[
C_{k+1}=e^{h \bar{A}_{k}} C_{k} \quad(k=0,1, \ldots, m-1) .
\]

Кроме того, при $k=0$ и $t=t_{0}=0$ получаем
\[
X_{h}(0)=E=C_{0} \text {. }
\]

Из формулы (3.18.4) последсвательно выводим
\[
\begin{array}{l}
C_{1}=e^{h \bar{A}_{0}} C_{0}=e^{h \bar{A}_{0}}, \\
C_{2}=e^{h \bar{A}_{1}} C_{1}=e^{h \bar{A}_{1}} \cdot e^{h \bar{A}_{0}}, \\
\text {… . . . . . . } \\
C_{m-1}=e^{h \bar{A}_{m-2}} \cdot e^{i \bar{A}_{m-3}} \ldots e^{h \bar{A}_{0}}, \quad \\
\end{array}
\]

причем, так как матрицы $A_{0}, A_{1}, \ldots, A_{m-2}$ в общем случае неперестановочны, то в формуле (3.18.5) нельзя применить правило перемножения экспоненциалов. Следовательно,
\[
X_{h}(t)=e^{\left(t-t_{k}\right) \bar{A}_{k}} \cdot e^{h \bar{A}_{k-1}} \ldots e^{h \bar{A}_{0}} \quad\left(t_{k}<t<t_{k+1}\right) .
\]

Таким образом, для последіего промежутка $\left(t_{m-1}, t_{m}\right)$ будем иметь
\[
X_{h}(t)=e^{\left(t-t_{m-1}\right) \bar{A}_{m-1} \cdot e^{h \bar{A}_{m-2}} \ldots e^{h \bar{A}_{0}}} \quad\left(t_{m-1}<t<t_{m}=\omega\right) .
\]

Отсюда, полагая, что $t \rightarrow t_{m}-0=\omega-0$, получим
\[
X_{h}(\omega)=e^{h \bar{A}_{m-1}} \cdot e^{h \bar{A}_{m-2}} \ldots e^{h \bar{A}_{0}} .
\]

Используя первую норму матрицы (см. § 8 из гл. I), оценим $X_{h}(\omega)-X(\omega) \|$. Из дифференциальных уравнений (3.18.1) и (3.18.3) имеем
\[
X(t)=E+\int_{0}^{\cdot} A\left(t_{1}\right) X\left(t_{1}\right) d t_{1}
\]

и
\[
X_{h}(t)=E+\int_{0}^{t} A_{h}\left(t_{1}\right) X_{h}\left(t_{1}\right) d t_{1} .
\]

Отсюда
\[
\begin{array}{l}
X_{h}(t)-X(t)=\int_{0}^{t}\left[A_{h}\left(t_{1}\right)-A\left(t_{1}\right)\right] X_{h}\left(t_{1}\right) d t_{1}+ \\
+\int_{0}^{t} A\left(t_{1}\right)\left[X_{h}\left(t_{1}\right)-X\left(t_{1}\right)\right] d t_{1} .
\end{array}
\]

Переходя $к$, норме при $0 \leqslant t \leqslant \omega$, получим
\[
\begin{array}{l}
\left\|X_{h}(t)-X(t)\right\| \leqslant \int_{0}^{t}\left\|A_{h}\left(t_{1}\right)-A\left(t_{1}\right)\right\|\left\|X_{h}\left(t_{1}\right)\right\| d t_{1}+ \\
+\int_{0}^{t}\left\|A\left(t_{1}\right)\right\|\left\|X_{h}\left(t_{1}\right)-X\left(t_{1}\right)\right\| d t_{1} .
\end{array}
\]
Пусть
\[
\|A(t)\| \leqslant M \quad \text { при } \quad 0 \leqslant t \leqslant \omega ;
\]

тогда
\[
\left\|A_{k}\right\| \leqslant M \quad(k=0,1, \ldots, m-1) .
\]

Из формулы (3.18.6) прл $t \in[0, \omega]$ находим
\[
\tilde{A}_{h}(t)\left\|e^{h}\right\| \vec{A}_{k}: e^{h \cdot \vec{A}_{h-1}} \ldots e^{h \| \bar{A}_{0}} \leqq e^{h m M}=e^{\omega M} .
\]

Так как матрица $A(t) \in C[0, \omega]$, то для каждого $\varepsilon>0$ существует $\varepsilon>0$ такое, что
\[
\left\|A\left(t^{\prime}\right)-A\left(t^{\prime \prime}\right)\right\|<\varepsilon
\]

если $t^{\prime}, t^{\prime \prime} \in[0, \omega]$ и $t^{\prime \prime}-t^{\prime \prime}:<\delta$. Отсюда при $h<\delta$ и $t \in[0, \omega]$ будем иметь
\[
A_{h}(t)-A(t) \mid<\varepsilon .
\]

Следовательно, из формулы (3.18.8) получаем
\[
\left\|X_{h}(t)-X(t) ; \leqslant \varepsilon \omega e^{\omega M}+\int_{0}^{t} M\right\| X_{h}\left(t_{1}\right)-X\left(t_{1}\right) \| d t_{1} .
\]

Применяя лемму Гронуолла–. Беллмана (гл. II, § 11), получим
\[
X_{h}(t)-X(t) \leqslant \varepsilon \omega e^{\omega M+M t} \quad \text { при } \quad 0 \leqslant t \leqslant \omega
\]

и, следовательно,
\[
\left\|X_{h}(\omega)-X(\omega)\right\| \leqslant \varepsilon \omega e^{2 \omega M},
\]

если $0<h<\delta$ (s).
Так как число $\varepsilon>0$ может быть взято произвольно малым, то из неравенства (3.18.9) будем иметь
\[
\lim _{h \rightarrow 0} X_{h}(\omega)-X(\omega) \|=0,
\]
T. e.
\[
\lim _{h \rightarrow 0} X_{h}(\omega)=X(\omega) .
\]

Рассмотрим характеристические уравнения
\[
\operatorname{det}[X(\omega)-\rho E]=0
\]

и
\[
\operatorname{det}\left[X_{h}(\omega)-\hat{\rho} E\right]=0 \text {, }
\]

и пусть $\rho_{j}, \hat{\rho}_{j}(h)(j=1, \ldots, n)$ – соответственно, корни этих равнений. Так как корни $\hat{\rho}_{j}(h)$ являются непрерывными функциями параметра $h$, то в силу соотношения (3.18.10) имеем
\[
\lim _{h \rightarrow 0} \hat{\rho}_{j}(h)=\rho_{j} \quad(j=1, \ldots, n) .
\]

Таким образом, выбрав $h$ достаточно малым, из уравнения (3.18.11) можно определить мультипликаторы $p_{j}$ с любой степенью точности.